第3章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　忽视函数的定义域导致错误 1.已知f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f(x)是减函数,如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么实数m的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.(1,3)　　　　D. 2.函数f(x)=的递减区间是(　　) A.(-1,0) B.(-∞,-1)和(0,1) C.(0,1) D.(-∞,-1)和(0,+∞) 3.给出下列三个函数:①y=;②y=;③y=.其中与函数f(x)=x表示同一个函数的序号是　　　　.  易错点2　忽略分段函数自变量的范围导致错误 4.已知f(x)=若f(-1)=f(2),则a=　　　　;若f(x)是定义在R上的减函数,则a的取值范围是　　　　.  5.对任意x∈R,函数f(x)=max,则f(x)的最小值是　　　　.  6.已知[x]表示不超过x的最大整数,定义函数f(x)=x-[x].有下列结论: ①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0,1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数. 其中错误的是　　　　.(填序号)  易错点3　忽视对参数取值范围的讨论导致错误 7.已知函数f(x)=. (1)求函数f(x)的单调区间和值域(直接写出结果,不需要写出过程); (2)若函数f(x)在区间[k,k+1]上的最大值为,求实数k的值. 8.已知函数f(x)=-x2+2x-3. (1)求f(x)在区间[a,a+1]上的最大值g(a); (2)若(1)中的g(a)=-3,求a的值. 9.已知函数f(x)=其中a为实数. (1)若函数f(x)为定义域上的单调函数,求a的取值范围; (2)若a<7,使不等式f(x)-a>0成立的正整数解有且仅有一个,求a的取值范围. 思想方法练 一、数形结合思想在函数中的运用 1.函数f(x)=|x-2|·(x-4)的单调递减区间是(　　) A.[2,4]　　　　B.[2,3] C.[2,+∞)　　　　D.[3,+∞) 2.(多选)已知函数f(x)=x-1,g(x)=.记max{a,b}=则下列关于函数F(x)=max{f(x),g(x)}(x≠0)的说法正确的是(　　) A.当x∈(0,2)时,F(x)= B.函数F(x)的最小值为-2 C.函数F(x)在(-1,0)上单调递减 D.若关于x的方程F(x)=m恰有两个不相等的实数根,则-2<m<-1或m>1 二、分类讨论思想在函数中的运用 3.若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数,而y=在区间I上是减函数,则称函数y=f(x)在区间I上是“弱增函数”. (1)若函数h(x)=x2+x+b(m,b是常数)在区间(0,1]上是“弱增函数”,求m,b应满足的条件; (2)已知f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+k|x-4|(k是常数且k≠0),若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,求k的取值范围. 三、转化与化归思想在函数中的运用 4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=x++1,则f(x)≤3的解集是(　　) A.[0,1]　　　　 B.[-1,1] C.[-2,1]　　　　 D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 5.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2),且当x∈[-2,0)时, f(x)=-2x(x+2).若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 四、方程思想在函数中的运用 6.已知函数f(x)满足2f(x)=xf+,则f(3)=(　　) A.3　　B.　　 C.　　D. 7.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y), f=1. (1)求f(0)的值; (2)若f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围. 答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.A　∵f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数, ∴-1<x<1, f(-x)=-f(x),∴f(m-2)+f(2m-3)>0可转化为f(m-2)>-f(2m-3)=f(-2m+3). ∵f(x)是减函数, ∴∴1<m<.故选A. 2.B　当x≥0时, f(x)==,由-x2+1≥0,解得-1≤x≤1, 此时0≤x≤1,又y=-x2+1的图象为开口向下的抛物线,对称轴为直线x=0,所以在区间(0,1)上单调递减; 当x<0时, f(x)==,y=(x+1)2的图象为开口向上的抛物线,对称轴为直线x=-1,此时在(-∞,-1)上单调递减. 综上,函数f(x)=的递减区间是(-∞,-1)和(0,1). 故选B. 易错警示 (1)解决函数问题必须坚持“定义域优先”的原则;(2)求函数定义域之前,尽量不要对函数解析式进行变形,以免引起定义域的变化. 3.答案　② 解析　易知f(x)=x的定义域为R. ①y=的定义域为{x|x≠2},定义域不同,与f(x)=x不是同一个函数; ②y==x的定义域为R,与f(x)=x表示同一个函数; ③y==|x|,对应关系不同,与f(x)=x不是同一个函数. 4.答案　-; 解析　因为f(-1)=f(2), 所以(3a-1)×(-1)+4a=-2a, 所以a=-. 由题意知, 解得≤a<, 所以a∈. 5.答案　2 解析　在同一平面直角坐标系中画出y=-x+3,y=x+,y=x2-4x+3的图象,则f(x)的图象如图中实线部分所示. 由图可得, f(x)min=f(1)=-1+3=2. 故答案为2. 6.答案　①④ 解析　根据定义函数f(x)=x-[x]= 对于①,作出函数f(x)的部分图象如图所示,因此①中结论错误; 对于②,根据函数的图象可知函数的值域为[0,1),因此②中结论正确; 对于③,直线y=与函数f(x)的图象有无穷多个交点,因此③中结论正确; 对于④,根据函数的图象知,函数在每个小区间内单调递增,但是在整个定义域内不具备单调性,因此④中结论错误.故答案为①④. 易错警示 解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段范围,就用哪一段的解析式来解决问题,解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围. 7.解析　(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}, 当≥1,即0<x≤1时, f(x)=-1; 当<1,即x<0或x>1时, f(x)=1-. 画出函数f(x)的图象如图所示: 由图可知, f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞),单调递减区间为(0,1), f(x)的值域为[0,+∞). (2)当k+1<0,即k<-1时, f(x)在[k,k+1]上单调递增, 则f(x)max=f(k+1)==,则1-=,解得k=-2-; 当0<k<1时,因为k+1>1,所以f(x)在[k,1]上单调递减,在[1,k+1]上单调递增, 则f(x)max=max{f(k), f(k+1)}, 又f(k+1)<1<,所以f(k)==,即-1=,解得k=-1; 当k≥1时, f(x)在[k,k+1]上单调递增,所以f(x)max=f(k+1), 因为f(k+1)<1恒成立,所以此时f(x)max=无解. 综上,k=-2-或k=-1. 8.解析　(1)∵f(x)=-x2+2x-3的图象开口向下,图象的对称轴方程为x=1, ∴当a≥1时, f(x)在区间[a,a+1]上单调递减,g(a)=f(a)=-a2+2a-3; 当0<a<1时, f(x)在区间[a,a+1]上先增后减,g(a)=f(1)=-12+2-3=-2; 当a+1≤1,即a≤0时, f(x)在区间[a,a+1]上单调递增,g(a)=f(a+1)=-(a+1)2+2(a+1)-3=-a2-2. 综上所述,g(a)= (2)由(1)知,g(a)= ∵g(a)=-3,∴当g(a)=-a2-2=-3(a≤0)时,a=-1或a=1(舍去); 当g(a)=-a2+2a-3=-3(a≥1)时,a=2或a=0(舍去); 当g(a)=-2(0<a<1)时,不符合题意. 综上可得,a的值为-1或2. 易错警示 解决二次函数的最值问题关键是抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴指的是图象的对称轴,结合配方法,按照对称轴与区间的相对位置分类讨论求解. 9.解析　(1)当0<x≤2时, f(x)=-x,为减函数, 若f(x)为定义域上的单调函数,则当x>2时, f(x)=-x2+(a+2)x-2a也为减函数,且f(x)≤f(2)=0, 故解得a≤2. 故a的取值范围为(-∞,2]. (2)由函数的解析式,可得f(1)=3, f(2)=0, 当a<0时, f(2)=0>a, f(1)=3>a,不符合题意; 当0≤a≤2时,由(1)知f(x)为定义域上的减函数,仅有f(1)=3>a成立,符合题意; 当2<a<3时,在(0,2]上,仅有f(1)=3>a, 在(2,+∞)上, f(x)的最大值为f=<<a,不存在x满足f(x)-a>0,符合题意; 当3≤a<7时,在(0,2]上,不存在整数x满足f(x)-a>0, 在(2,+∞)上,-a=<-,不存在x满足f(x)-a>0,不符合题意. 综上所述,0≤a<3. 思想方法练 1.B　函数f(x)=|x-2|·(x-4)=画出函数f(x)的图象,如图所示: ∴函数的单调递减区间是[2,3],故选B. 2.ABD　由题意得F(x)=画出函数F(x)的图象,如图所示. 由图象知,当x∈(0,2)时,F(x)=,故A正确; 函数F(x)的最小值为-2,故B正确; 函数F(x)在(-1,0)上单调递增,故C错误; 方程F(x)=m恰有两个不相等的实数根,则-2<m<-1或m>1,故D正确.故选ABD. 方法总结 (1)准确画出函数的图象,注意函数的定义域.(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先进行适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解. 3.解析　(1)由题意,h(x)=x2+x+b(m,b是常数)在(0,1]上是增函数, =x++m-在(0,1]上是减函数, ∴-≤0,b≥1,∴m≥,b≥1. (2)f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+k|x-4|, 当x<1且x≠0时, f(x)=-(k+3)x+6+4k,=-(k+3)+, 若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,则无解; 当1≤x<2时, f(x)=-(k+1)x+4+4k,=-(k+1)+, 若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,则无解; 当2≤x<3时, f(x)=(1-k)x+4k,=1-k+, 若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,则解得0<k<1; 当3≤x<4时, f(x)=(3-k)x+4k-6,=3-k+, 若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,则解得<k<3; 当x≥4时, f(x)=(3+k)x+(-4k-6),=3+k+, 若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,则解得-3<k<-. 综上,k的取值范围是∪(0,1)∪. 方法总结 解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象,即需对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论,即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结,将各类情况总结归纳. 4.B　当x≥0时, f(x)=x++1,则f(x)在[0,+∞)上为增函数,且f(1)=1+1+1=3, 又函数f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(x)≤3⇔f(|x|)≤f(1)⇔|x|≤1, 解得-1≤x≤1,即x的取值范围为[-1,1],故选B. 5.D　由f(x)=2f(x+2)得f(x+2)=f(x),则f(x)=f(x-2). 当x∈[-2,0)时, f(x)=-2x(x+2)=-2(x+1)2+2,其最大值为2. 当x∈[0,2)时,x-2∈[-2,0), f(x)=×f(x-2)=×[-2(x-2+1)2+2]=-(x-1)2+1,其最大值为1, 同理,当x∈[2,4)时, f(x)max=, f(x)≤恒成立.依此类推,可知当x≥2时, f(x)≤恒成立.当x∈[0,2)时,由f(x)=得-(x-1)2+1=⇒(x-1)2=⇒x=或x=.结合图象(图略)知,若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m≥. 综上所述,m的取值范围是,故选D. 方法总结 函数、方程与不等式间的转化 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围. 6.B　在2f(x)=xf+中,分别令x=3和x=,得2f(3)=3f+①,2f=f(3)+3②, 联立①②消去f,解得f(3)=.故选B. 7.解析　(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0. (2)由题意知f(x)+f(2+x)=f(2x+2), f+f=f=2, ∴由f(x)+f(2+x)<2,可得f(2x+2)<f, 又f(x)在R上单调递增,∴2x+2<,∴x<-, ∴x的取值范围是. 方法总结 分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$