第2章 专题强化练2 三个“二次”的综合运用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

专题强化练2　三个“二次”的综合运用 40分钟 1.若关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的一个实数根小于-1,另一个实数根大于1,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|-2<m<2}　　　　B.{m|-2<m<0} C.{m|-2<m<1}　　　　D.{m|0<m<1} 2.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<3},则下列说法正确的是(　　) A.a<0 B.不等式ax+c>0的解集为{x|x<6} C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为x<x< 3.已知关于x的不等式ax2+bx+3>0,下列说法正确的是(　　) A.不等式ax2+bx+3>0的解集可能是{x|x>3} B.不等式ax2+bx+3>0的解集不可能是R C.不等式ax2+bx+3>0的解集可能是⌀ D.不等式ax2+bx+3>0的解集可能是{x|-1<x<3} 4.已知区间(a,b)是关于x的一元二次不等式mx2-2x+1<0的解集,则3a+2b的最小值是(　　) A.　　　　B.5+2 C.+　　　　D.3 5.已知函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0,若关于x的不等式x2+ax+b<c的解集为{x|m<x<m+4},则实数c的值为(　　) A.9　　　　B.8 C.6　　　　D.4 6.关于x的不等式(ax-1)2<x2恰有2个整数解,则实数a的取值范围是(　　) A.-<a≤-或<a≤ B.-<a≤-或≤a< C.-≤a<-或<a≤ D.-≤a<-或≤a< 7.已知关于x的不等式≤0的解集为空集,则实数k的取值范围是　　　　.  8.设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0(a∈Z)只有有限个整数解,且0是其中一个解,则全部不等式的整数解的和为　　　　.  9.已知关于x的不等式x2-5ax+b>0的解集为(-∞,1)∪(4,+∞). (1)求实数a,b的值; (2)若正实数x,y满足x+y=2,t=+,求t的最小值. 10.在①A∪B=A,②A∩B≠⌀,③B⊆∁RA这三个条件中任选一个,补充在下面问题(3)中,若问题中的实数m存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由. 已知一元二次不等式ax2-3x+2>0的解集为A={x|x<1或x>b},关于x的不等式ax2-(am+b)x+bm<0的解集为B(其中m∈R). (1)求a,b的值; (2)求集合B; (3)是否存在实数m,使得　　　　?  11.某工厂2025年年初用128万元购进一台新的设备,并立即投入使用,该设备使用后,每年的总收入为54万元,设使用x年后该设备的维修、保养费用为(2x2+6x)万元,盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式; (2)从第几年开始,使用该设备开始盈利? (3)使用若干年后,对设备的处理有两种方案:①年平均盈利额达到最大值时,以42万元的价格卖掉该设备;②盈利总额达到最大值时,以10万元的价格卖掉该设备.问哪种方案处理较为合理?请说明理由. 答案与分层梯度式解析 1.D　令y=x2+(m-1)x+m2-2,作出函数的大致图象如图所示, 由图象知,当x=-1时,y=m2-m<0,解得0<m<1;当x=1时,y=m2+m-2<0,解得-2<m<1. 综上可得,0<m<1,故选D. 2.ABC　由已知可得-2,3是方程ax2+bx+c=0的两根, 则由根与系数的关系可得且a<0,解得b=-a,c=-6a,故A正确; 对于B,ax+c>0化简为x-6<0,解得x<6,故B正确; 对于C,a+b+c=a-a-6a=-6a>0,故C正确; 对于D,cx2-bx+a<0化简为6x2-x-1<0,解得-<x<,故D错误.故选ABC. 3.D　对于A,若不等式ax2+bx+3>0的解集是{x|x>3},则a=0,且3b+3=0,解得b=-1,故原不等式为-x+3>0,解得x<3,与题设条件矛盾,故假设不成立,故A错误; 对于B,当时,不等式ax2+bx+3>0的解集为R,故B错误; 对于C,由于x=0满足ax2+bx+3>0,故不等式ax2+bx+3>0的解集不可能为⌀,故C错误; 对于D,若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x|-1<x<3},则关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0的两根分别为-1,3, 所以解得此时原不等式为-x2+2x+3>0,即x2-2x-3<0,解得-1<x<3,符合题意,故D正确.故选D. 4.C　由题知a,b是关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0的两个不同的实数根, 则有a+b=,ab=,m>0,所以=1,且a,b是两个不同的正数, 则有3a+2b=(3a+2b)·=≥=×(5+2)=+,当且仅当==时,等号成立,故3a+2b的最小值是+.故选C. 5.D　∵函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0, ∴=0,∴b=, ∴函数y=x2+ax+b=,其图象的对称轴为直线x=-. ∵不等式x2+ax+b<c的解集为{x|m<x<m+4}, ∴方程x2+ax+-c=0的根为m,m+4, ∴m+m+4=-a,解得m=, 又∵m2+am+-c=0, ∴c=m2+am+==4. 故选D. 6.B　不等式(ax-1)2<x2即不等式(ax-1)2-x2<0,即不等式[(a+1)x-1][(a-1)x-1]<0恰有2个整数解, ∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1. 当a>1时,不等式的解集为, ∵0<<,∴2个整数解为1,2, ∴2<≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得≤a<; 当a<-1时,不等式的解集为, ∵-<<0,∴2个整数解为-1,-2, ∴-3≤<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1), 解得-<a≤-. 综上所述,实数a的取值范围是-<a≤-或≤a<. 故选B. 7.答案　[0,4) 解析　∵x2-3x+7=+>0恒成立, ∴不等式等价于kx2-kx+1≤0的解集是⌀, 当k=0时,1≤0不成立,解集是⌀; 当k≠0时,解得0<k<4, 综上,0≤k<4. 8.答案　-10 解析　设y=ax2+8(a+1)x+7a+16, 对于任意一个给定的a值,只有其图象开口向下时才能满足y≥0的整数解只有有限个,∴a<0, ∵0是其中一个解,∴7a+16≥0,解得a≥-, ∴-≤a<0. 又a∈Z,∴a=-2或a=-1, 则不等式为-2x2-8x+2≥0或-x2+9≥0, 解得-2-≤x≤-2或-3≤x≤3. ∵x∈Z,∴x=-4,-3,-2,-1,0或x=-3,-2,-1,0,1,2,3, ∴全部不等式的整数解的和为-10. 故答案为-10. 9.解析　(1)由题意可知方程x2-5ax+b=0的解是1和4, 所以解得 (2)由(1)及已知得t=+=(x+y)=≥×(5+2)=,当且仅当=,且x+y=2,即x=,y=时,等号成立. 所以t的最小值为. 10.解析　(1)由一元二次不等式ax2-3x+2>0的解集为A={x|x<1或x>b}, 得a>0,且方程ax2-3x+2=0的两根分别为1,b, 所以 解得 (2)由(1),得不等式ax2-(am+b)x+bm<0即为x2-(m+2)x+2m<0,即(x-m)(x-2)<0. 当m<2时,m<x<2; 当m=2时,不等式无解; 当m>2时,2<x<m. 综上,当m<2时,B=(m,2);当m=2时,B=⌀;当m>2时,B=(2,m). (3)由(1)知A={x|x<1或x>2}, 选择①,A∪B=A,则B⊆A. 当m<2时,B=(m,2),不满足; 当m=2时,B=⌀,满足; 当m>2时,B=(2,m),满足. 所以实数m的取值范围是[2,+∞). 选择②,A∩B≠⌀, 当m<2时,B=(m,2),则m<1; 当m=2时,B=⌀,不满足; 当m>2时,B=(2,m),满足. 所以实数m的取值范围是(-∞,1)或(2,+∞). 选择③,B⊆∁RA,且∁RA=[1,2], 当m<2时,B=(m,2),则m≥1,所以1≤m<2; 当m=2时,B=⌀,满足; 当m>2时,B=(2,m),不满足. 所以实数m的取值范围是[1,2]. 11.解析　(1)由题意得,y=54x-(2x2+6x)-128=-2x2+48x-128(x∈N+). (2)令y>0,得-2x2+48x-128>0,即x2-24x+64<0,解得12-4<x<12+4, 又x∈N+,所以4≤x≤20. 故使用该设备的第四年开始盈利. (3)方案①:年平均盈利额=48-2≤48-4=16,当且仅当x=,即x=8时,等号成立, 故=16, 所以方案①的总利润为16×8+42=170(万元); 方案②:盈利总额y=-2x2+48x-128=-2(x-12)2+160,故x=12时,y取得最大值,最大值为160, 所以方案②的总利润为160+10=170(万元). 综上,方案①与方案②的总利润相同,但方案①的年数较少,所以选择方案①处理较为合理. 学科网（北京）股份有限公司 $$