第2章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　多次利用不等式的性质,导致所求代数式的取值范围扩大 1.已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,求9a-c的取值范围. 2.已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围. 易错点2　忽略基本不等式的应用条件而致错 3.已知a>0,b>0,则++2的最小值是　　　　.  4.若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的最大值为　　　　,+的最小值为　　　　.  易错点3　忽略二次项系数的符号而致错 5.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(　　) A.{x|x<-n或x>m}　　　　B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n}　　　　D.{x|-m<x<n} 6.若关于x的不等式ax2-6x+a2>0的解集为{x|m<x<1},则a=　　　　,m=　　　　.  易错点4　在分式不等式中忽略分母不等于0而致错 7.已知集合A=,B={0,1,2,4,8},则A∩B=(　　) A.{1,2,4,8}　　　　B.{0,1,2} C.{1,2}　　　　D.{0,1,2,4} 8.不等式≤1的解集是(　　) A.{x|-1<x≤1} B.{x|x≤-1或x≥1} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x<-1或x≥1} 9.解不等式:≤0. 思想方法练 一、函数与方程思想在解不等式中的应用 1.关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为　　　　　　　　.  2.∀x>-3,不等式>5m-m2恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  二、分类讨论思想在解不等式中的应用 3.设m∈R,关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为⌀. (1)求实数m的取值范围; (2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集. 4.设y=ax2+(1-a)x+a-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围; (2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R). 三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用 5.若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则实数a的值为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 6.已知不等式mx2-mx-1<0. (1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围; (2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围. 四、转化与化归思想在不等式问题中的应用 7.已知y=-x2+2x+λ. (1)当x∈R时,不等式y<0恒成立,求实数λ的取值范围; (2)当λ=0时,对任意x∈[0,2],m≥n>0,都有m2-n2y-2amn+4n2-2an2>0恒成立,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.解析　令得 ∴9a-c=y-x. ∵-4≤x≤-1,∴≤-x≤①. ∵-1≤y≤5,∴-≤y≤②. ①+②,得-1≤y-x≤20, ∴-1≤9a-c≤20. 2.解析　设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b, 则解得 ∴2a+3b=(a+b)-(a-b). ∵-1<a+b<3,2<a-b<4, ∴-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1, ∴-<2a+3b<. 易错警示 利用几个代数式的范围求某个代数式的范围时,不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围. 3.答案　4 解析　因为a>0,b>0, 所以由基本不等式可得++2≥2+2=+2≥2=4,当且仅当即时,等号成立, 因此,++2的最小值为4. 4.答案　2; 解析　∵a>0,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4,∴ab=a·2b≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,∴ab的最大值为2. ∵+=·=×≥×=,当且仅当a=b=时等号成立,∴+的最小值为. 易错警示 利用基本不等式求最值需满足“正”“定”“等”的条件才能应用,否则会导致错误.连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件成立. 5.B　原不等式可化为(x-m)(x+n)<0. 由m+n>0知m>-n, 所以原不等式的解集为{x|-n<x<m}. 故选B. 6.答案　-3;-3 解析　由题意知,a≠0,且1,m是关于x的方程ax2-6x+a2=0的两个根, ∴解得或 易知a<0,∴ 易错警示 二次项系数决定着不等式解集的取值方向,只有当二次项系数为正数时才能根据方程根的情况按照“大于取两端,小于取中间”的规律表示不等式的解集. 7.B　由≤0,得解得-2≤x<4,所以A={x|-2≤x<4}. 又B={0,1,2,4,8},所以A∩B={0,1,2}. 故选B. 8.D　不等式≤1,即-1≤0,所以≤0, 所以解得x≥1或x<-1, 所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}. 故选D. 9.解析　≤0⇔ax(x+1)≤0且x+1≠0. 当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≤0且x+1≠0⇔-1<x≤0, 此时原不等式的解集为{x|-1<x≤0}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1}; 当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≥0且x+1≠0⇔x<-1或x≥0, 此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}. 综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1<x≤0};当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};当a<0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}. 易错警示 解分式不等式的关键是根据分式特征恰当变形,注意不可丢掉分母不为零的情况. 思想方法练 1.答案　{m|2-2<m<2+2} 解析　设函数y=x2-mx+m+2,其图象的对称轴为直线x=. 将一元二次不等式在某区间上的恒成立问题转化为研究二次函数的恒成立问题,体现了函数思想的应用. ①当≤-2,即m≤-4时, (-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2, 又∵m≤-4,∴无解; ②当-2<<4,即-4<m<8时, Δ=(-m)2-4(m+2)<0, 解得2-2<m<2+2, 又∵-4<m<8, ∴2-2<m<2+2; ③当≥4,即m≥8时, 42-m×4+m+2>0,解得m<6, 又∵m≥8,∴无解. 综上所述,m的取值范围为{m|2-2<m<2+2}. 2.答案　(-∞,1)∪(4,+∞) 解析　∵x>-3,∴x+3>0, ∴==(x+3)++2≥2+2=4, 当且仅当x+3=,即x=-2时等号成立, ∴5m-m2<4,即m2-5m+4>0,解得m<1或m>4, 故实数m的取值范围是(-∞,1)∪(4,+∞). 方法总结 求参数的取值范围一般有两条途径,其一,充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式组求解;其二,充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后应用函数知识求值域. 3.解析　(1)由题意得Δ=4m2-4(m+2)≤0,即m2-m-2≤0,解得-1≤m≤2. 故实数m的取值范围为[-1,2]. (2)mx2+(m-2)x-2≥0,即(mx-2)(x+1)≥0. 由于最高次项的系数中含有字母参数,因此需对字母进行分类讨论. ①当m=0时,不等式化为-2x-2≥0,解集为{x|x≤-1}; ②当0<m≤2时,>-1,此时不等式的解集为; ③当-1≤m<0时,<-1,此时不等式的解集为. 综上所述,当m=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当0<m≤2时,不等式的解集为xx≤-1或x≥;当-1≤m<0时,不等式的解集为x≤x≤-1. 4.解析　(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立. 当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意; 当a≠0时,需满足 解得a≥. 所以实数a的取值范围是. (2)不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1即为ax2+(1-a)x-1<0. 当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}. 当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1, 所以不等式的解集为. 当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0, ①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1}; ②当-1<a<0时,->1,不等式的解集为; ③当a<-1时,-<1,不等式的解集为. 综上所述,当a<-1时,不等式的解集为;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为. 方法总结 与参数有关的分类讨论问题 (1)由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同,所以要对某些问题中所求的变量进行讨论; (2)有的问题中虽然不需要对变量讨论,但要对参数讨论. 在求解时要注意讨论的对象,同时应明确讨论的目的. 5.D　函数y=x2-2ax+a的大致图象如图所示,由图象可知,若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则方程x2-2ax+a=-1有两个相等的实根, 所以4a2-4(a+1)=0,解得a=. 故选D. 6.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立; ②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立需满足解得-4<m<0. 综上,实数m的取值范围是{m|-4<m≤0}. (2)①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立; ②当m>0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向上,如图1,若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需满足 解得m<,此时0<m<; 图1 ③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,如图2,且对称轴为直线x=,若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需x=1时的函数值为负,m<0符合题意. 图2 综上,实数m的取值范围是. 方法总结 数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些属性. 7.解析　(1)当x∈R时,不等式-x2+2x+λ<0恒成立, 所以Δ=4+4λ<0,解得λ<-1. (2)当λ=0时,对任意x∈[0,2],m≥n>0,都有m2-n2y-2amn+4n2-2an2>0恒成立,即m2-n2(-x2+2x)-2amn+4n2-2an2>0,整理为n2x2-2n2x+m2-2amn+4n2-2an2>0对任意x∈[0,2],m≥n>0恒成立, 令函数y=n2x2-2n2x+m2-2amn+4n2-2an2,则其图象开口向上,对称轴为直线x=1, 所以只需ymin=n2-2n2+m2-2amn+4n2-2an2>0即可, 所以2a(mn+n2)<m2+3n2, 所以2a<=,令t=1+,t≥2, 则=t+-2≥2-2=2,当且仅当t=,即t=2时取等号, 所以2a<2,解得a<1. 方法总结 函数、方程与不等式间的转化 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$