1.1.2 子集和补集（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

1.1.2　子集和补集 1 | 子集、集合相等、真子集 第1章　集合与逻辑 1.全集 　　如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集合U的元素和子集,就可以约定 把集合U叫作全集(或基本集). 2.补集 自然语言 若A是全集U的子集,U中不属于A的元素组成的 子集叫作A的补集,记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言   运算性质 ∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A 2 | 全集与补集 第1章　集合与逻辑 特别提醒    (1)研究一个集合A的补集须有两个前提条件:一是全集U是确定的,二 是A⊆U.不能脱离这两个条件研究补集. (2)补集不仅体现了集合间的关系,还是集合的一种基本运算.有些数学问题,当正 面解决比较困难时,可以考虑先解决其对立情形,再反过来便可解决原问题,即 “正难则反”,这种思想就是补集思想. 第1章　集合与逻辑 1.任何两个集合之间是否都有包含关系? 不一定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1},这两个集合就没有包含关系. 2.符号“∈”与“⊆”有何不同? 符号“∈”用来表示元素与集合间的关系,符号“⊆”用来表示集合与集合之间 的关系. 3.全集一定是实数集R吗? 不一定.全集是一个相对概念,随研究问题的不同而变化,如在实数范围内解不等 式时,全集为实数集R,而在整数范围内解不等式时,全集为整数集Z. 4.∁UA,A,U三者之间有什么关系? (1)∁UA表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,故∁UA⊆U. (2)求∁UA的前提条件为集合A是集合U的子集. 知识辨析 (3)若x∈U,则x∈A,x∈∁UA二者必居其一. 第1章　集合与逻辑 1　集合间的关系   判定两集合间基本关系的方法和关键   第1章　集合与逻辑  典例　判断下列各组集合之间的关系: (1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}; (2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4}; (3)A={x|x是文学作品},B={x|x是散文},C={x|x是叙事散文}; (4)M= x x=m+ ,m∈Z ,N= x x= - ,n∈Z ,P= x x= + ,k∈Z . 第1章　集合与逻辑 解析    (1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A. (2)A={x|0<2x-1<1}= , B={x|1<3x+1<4}={x|0<x<1}, 用数轴表示集合A,B,如图所示, 由图可知A⫋B. 第1章　集合与逻辑 (3)画出韦恩图,可知C⫋B⫋A. (4)解法一(元素特征法): M=  =  = , 第1章　集合与逻辑 N= =  = , P= = , ∴M⫋N=P. 解法二(列举法): M= , N= , P= , ∴M⫋N=P. 第1章　集合与逻辑 2　探究已知集合的子集个数   1.若集合A中含有n(n∈N+)个元素,则: (1)A的子集个数是2n; (2)A的非空子集个数是2n-1; (3)A的真子集个数是2n-1; (4)A的非空真子集个数是2n-2. 2.若有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,n∈N+,m≤n),且A⊆C⊆B,则符合条 件的有限集C的个数为2n-m. 3.写出给定集合的子集的两个注意点: (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写,以免重复或遗漏. (2)要注意空集和集合本身也是该集合的子集. 第1章　集合与逻辑  典例　对于任意两个数x,y(x,y∈N+),定义某种运算“◎”如下:①当  或 时,x◎y=x+y;②当 时,x◎y=xy, 则集合A={(x,y)|x◎y=10}的子集个数是 (        ) A.214　　　    B.213　     C.211　　　    D.27 思路点拨　解决集合的子集个数问题的关键是确定集合中元素的个数,题目中定 义的新运算“◎”包含两种运算情况:①当x,y∈N+,且x,y同为奇数或同为偶数时, 满足x◎y=x+y;②当x,y∈N+,且x为偶数,y为奇数时,满足x◎y=xy.可根据当x,y同为 奇数或者同为偶数时,x+y=10,当x为偶数,y为奇数时,xy=10的运算探究集合A中元 素的个数,再确定集合A的子集个数. C 第1章　集合与逻辑 解析    根据题意可知,当x,y∈N+,且x,y同为奇数或同为偶数时,x◎y=x+y;当x,y∈N +,且x为偶数,y为奇数时,x◎y=xy. 故集合A={(x,y)|x◎y=10}中,当x,y∈N+,且同为奇数或同为偶数时,x+y=10, 则(x,y)可取(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1); 当x,y∈N+,且x为偶数,y为奇数时,xy=10, 则(x,y)可取(2,5),(10,1). 所以(x,y)可取的情况共有11种, 即集合A中有11个元素, 所以集合A的子集个数为211. 故选C. 第1章　集合与逻辑 3　已知集合间的关系求参数   根据集合间的关系求参数的值或取值范围的方法 (1)若集合是用列举法表示的,则根据集合间元素的关系,列方程(组)求解,同时注 意考虑集合中元素的互异性;若集合是结合不等式描述的,则利用数轴列不等式 (组)求解,同时还要注意验证端点值的取舍. (2)涉及“A⊆B”或“A⫋B”的问题,若集合A中含有参数,通常要分A=⌀和A≠ ⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视. 第1章　集合与逻辑  典例　已知集合M={x|x2+2x-a=0}. (1)若⌀⫋M,求实数a的取值范围; (2)若N={x|x2+x=0}且M⊆N,求实数a的取值范围. 解析    (1)由题意得方程x2+2x-a=0有实数根, ∴Δ=22-4×(-a)≥0, 解得a≥-1, ∴实数a的取值范围是{a|a≥-1}. (2)∵N={x|x2+x=0}={0,-1},且M⊆N, ∴当M=⌀时,Δ=22-4×(-a)<0,解得a<-1; 当M≠⌀时, 第1章　集合与逻辑 令Δ=0,解得a=-1,此时M={-1},满足M⊆N,符合题意, 令Δ>0,解得a>-1,此时M中有两个元素, 若M⊆N,则M=N, 则需 此方程组无解, ∴a>-1不成立. 综上,实数a的取值范围为{a|a≤-1}. 第1章　集合与逻辑 4　“补集思想”的运用   “正难则反”策略在集合中运用的就是补集思想,即已知全集U,求其子集A 时,若直接求A较困难,则可先求∁UA,再利用∁U(∁UA)=A求A. 1.运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、问题较复杂时,或 含有至多、至少、存在唯一、不存在等词的问题中. 2.用补集思想解含参问题的步骤: (1)确定问题的反面; (2)求问题的反面对应的参数的取值集合; (3)取问题的反面对应的参数取值集合的补集,此时应特别注意全集的范围. 第1章　集合与逻辑  典例　已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若这三个 集合中至少有一个集合不是空集,求实数a的取值范围. 解析    假设三个集合都是空集,即方程x2+ax+1=0,x2+2x-a=0,x2+2ax+2=0均无实根, 则 即  解得- <a<-1, ∴当a≤- 或a≥-1时,三个方程中至少有一个方程有实根,即三个集合中至少有 一个集合不是空集. ∴a的取值范围为{a|a≤- 或a≥-1}. 第1章　集合与逻辑 $$