3.2.2 函数的奇偶性（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

3.2.2　函数的奇偶性 1 | 偶函数、奇函数的定义 1.用图象特征描述函数的奇偶性 (1)如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,就称F(x)是偶函数. (2)如果F(x)的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,就称F(x)是奇函数. 2.用数学符号语言描述函数的奇偶性 (1)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,则称F(x)为偶 函数. (2)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,则称F(x)为奇 函数. 第3章　函数的概念与性质 1.对于函数f(x)的定义域内的任意x,若f(-x)有定义且f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具 有奇偶性?若f(-x)-f(x)=0呢? 由f(-x)+f(x)=0,得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.由f(-x)-f(x)=0,得f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函 数. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)的值可直接确定吗?若f(x)为偶函数呢? 若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.若f(x)为偶函数且在x=0处有定义,则无 法直接确定f(0)的值. 3.若偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,那么f(3)和f(-2)的大小关系如何?若f(a)>f(b), 你能得到什么结论? f(-2)>f(3).若f(a)>f(b),则|a|<|b|. 知识辨析 第3章　函数的概念与性质 4.如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在区间(-b,-a)上的单调性如何? 如果偶函数g(x)在区间(a,b)上单调递减,那么g(x)在区间(-b,-a)上的单调性如何? 如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在区间(-b,-a)上单调递增.如果偶 函数g(x)在区间(a,b)上单调递减,那么g(x)在区间(-b,-a)上单调递增.   第3章　函数的概念与性质 1　如何判断函数的奇偶性   1.判断函数奇偶性的常见方法 (1)定义法:   第3章　函数的概念与性质 (2)图象法:   2.分段函数奇偶性的判断 　　判断分段函数的奇偶性时,必须判断每一段函数是否都具有相同的奇偶性, 也可以作出函数图象,结合对称性判断. 第3章　函数的概念与性质  典例　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= ; (2)f(x)=|x-2|+|x+2|; (3)f(x)=  思路点拨　先求函数的定义域,再计算f(-x)(必要时化简函数解析式),并判断f(-x) 与f(x)的关系,从而得出结论. 第3章　函数的概念与性质 解析    (1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1, 又|x+2|-2≠0,∴x≠0,且x≠-4, ∴函数f(x)的定义域为{x|-1≤x≤1,且x≠0},关于原点对称,且x+2>0, ∴f(x)= = , ∴f(-x)= =- =-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称. ∵f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x), ∴f(x)为偶函数. 第3章　函数的概念与性质 (3)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x); 当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x). 综上,函数f(x)为偶函数. 第3章　函数的概念与性质 2　函数奇偶性的应用   1.由函数的奇偶性求参数 (1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性 时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用. (2)若函数解析式中含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求参数的值;若定义域的 表示中含参数,则根据定义域关于原点对称,利用关于原点对称的区间端点值之 和为0求参数的值. 2.由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时,若函数具有奇偶性,则利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求 解;若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶 函数,然后利用其奇偶性求值. 第3章　函数的概念与性质 3.由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 (1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间. (2)把x对称转化到已知解析式的区间上,利用已知的解析式进行代入. (3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x). 第3章　函数的概念与性质  典例    (1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m的值为    1    ; (2)若f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,则f(2)的值为    6    ; (3)如果f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时, f(x)=x(1+ ),那么当x∈(-∞,0)时, f(x)=    x(1- )    . 解析    (1)解法一:∵f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立,即(m-2)· (-x)2+(m-1)·(-x)+3=(m-2)·x2+(m-1)x+3恒成立, ∴(m-1)x=0恒成立,∴m-1=0,即m=1. 解法二:若m=2,则f(x)=x+3,不是偶函数,舍去. 若m≠2,则f(x)图象的对称轴为直线x=- . ∵f(x)为偶函数,∴- =0,∴m=1. 第3章　函数的概念与性质 (2)设g(x)=x5+ax3+bx,则f(x)=g(x)+8. ∴f(-2)=g(-2)+8=10,∴g(-2)=2. 易知g(x)是奇函数,∴g(2)=-g(-2)=-2, ∴f(2)=g(2)+8=-2+8=6. (3)设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞), ∴f(-x)=-x(1+ )=-x(1- ). ∵f(x)是R上的奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=x(1- ),x∈(-∞,0). 第3章　函数的概念与性质 3　函数奇偶性与单调性的综合应用  1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间 上的单调性相反. 2.利用函数的奇偶性与单调性比较不同单调区间内的函数值的大小,关键是利用 奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内,然后利用单调性比较. 3.利用函数的奇偶性与单调性解决不等式问题时,一定要充分利用已知条件,把已 知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据函数的单调性列出不等式 (组),要注意函数的定义域对参数的影响. 第3章　函数的概念与性质  典例　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=2,且在[0,+∞)上单调递减,若对 任意x∈R, f(x2-a)+f(x)<2恒成立,则实数a的取值范围为 (    B    ) A.(-∞,-1)　　　    B.  C. 　　　    D.(1,+∞) 解析    令F(x)=f(x)-1,则F(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上单调递减,F(-x)=f(-x)-1, 又f(x)+f(-x)=2, 所以F(x)+F(-x)=f(x)+f(-x)-2=0, 所以F(x)=-F(x), 故F(x)为定义在R上的奇函数, 第3章　函数的概念与性质 故F(x)在R上为减函数. 由f(x2-a)+f(x)<2恒成立, 得F(x2-a)+F(x)<0恒成立, 即F(x2-a)<-F(x)=F(-x)恒成立, 可得x2-a>-x恒成立, 即a<x2+x= - 恒成立, 所以实数a的取值范围为 . 第3章　函数的概念与性质 素养　灵活应用奇函数的性质发展逻辑推理核心素养 素养解读 　　利用函数奇偶性的基本形式和规则,发现和理解所给函数与关联奇函数之间 的关系,并能用准确的数学语言表述求解过程.在此过程中发展逻辑推理的素养. 第3章　函数的概念与性质 典例呈现  例题　若关于x的函数f(x)= 的最大值为M,最小值为m,且M+ m=4,则实数a的值为　　　    . 第3章　函数的概念与性质 解题思路    f(x)= = +a. 令g(x)= ,可得函数g(x)的定义域关于原点对称,且g(-x)=  =- =-g(x), 所以函数g(x)为奇函数. 因为函数f(x)的最大值为M,最小值为m, 所以g(x)max=M-a,g(x)min=m-a. 又因为函数g(x)为奇函数, 所以M-a+m-a=0, 所以2a=M+m=4, 所以a=2. 第3章　函数的概念与性质 　　此类问题若从通性通法的角度来处理,就会比较烦琐或无法求解,如果能从所给函数式中分离或变形出奇函数,灵活利用函数的奇偶性,常能达到化难为易、事半功倍的效果,函数的奇偶性与函数其他性质的综合应用是高考的重点之一. 思维升华 第3章　函数的概念与性质 $$