2.1.2 基本不等式 2.1.3 基本不等式的应用（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

2.1.3　基本不等式的应用 1 | 基本不等式 2.1.2　基本不等式 　　一般地,对于正数a,b,我们把 称为a,b的算术平均数, 称为a,b的几何平 均数. 不等式 变形 等号成立的条件 注意 a2+b2≥2ab ab≤ ,ab≤   当且仅当a=b时等号成立 a,b∈R  ≥  a+b≥2  a≥0,b≥0 第2章　一元二次函数、方程和不等式 　　已知x,y都为正数,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值2 ; (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值 . 　　上述结论可归纳为“和定积最大,积定和最小”. 2 | 基本不等式与最值 第2章　一元二次函数、方程和不等式 1.不等式a2+b2≥2ab与不等式 ≤ 成立的条件一样吗? 不一样.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R, ≤ 成立的条件是a≥0,b≥0. 2.不等式a2+b2≥2ab与不等式 ≤ 中“=”成立的条件相同吗? 相同.都是当且仅当a=b时等号成立. 3.函数y= + 的最小值是2吗? 不是.方程 = 无解,所以 + ≥2中等号不成立. 知识辨析 第2章　一元二次函数、方程和不等式 1 利用基本不等式求最值的注意事项   　　利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正,二定,三相 等”. (1)“一正”:各项必须都是正值. 例如:代数式x+ ,当x<0时,绝不能认为x+ ≥2,即x+ 的最小值为2.事实上,当x<0 时,x+ =- ≤-2,当且仅当-x= ,即x=-1时,等号成立,此时x+ 取得最大 值-2. (2)“二定”:各项之和或各项之积为定值. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 例如:已知0<x< ,求(5-2x)x的最大值,需变形为(5-2x)·2x· ,这时2x+(5-2x)=5为定 值,且2x>0,5-2x>0.当2x=5-2x,即x= 时,[(5-2x)x]max= . (3)“三相等”:必须验证等号是否成立.特别是在连续使用基本不等式求最值时, 要求必须同时满足任何一步等号成立的字母取值存在且一致. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 2　利用基本不等式求最值   　　利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,并保 证等号成立,常见的方法技巧如下: (1)拆(裂项拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成 整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本 不等式凑定值创造条件. (2)并(分组并项):目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先对一组 应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值. (3)配(配式、配系数,凑出定值):有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需 要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配出的式子与待求式相乘后可 以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 (4)换(常值代换、变量代换):对条件变形,以进行“1”的代换,从而构造利用基本 不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求 + 的最小 值”和“已知 + =m(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型. 第2章　一元二次函数、方程和不等式  典例    (1)已知正实数m,n满足m(n-1)=4n,求m+4n的最小值; (2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值; (3)求 的最大值. 解析    (1)因为m>0,n>0,m(n-1)=4n, 所以 + =1, 所以m+4n=(m+4n) =8+ + ≥8+2 =16,当且仅当 = ,即m=8, n=2时等号成立. 所以m+4n的最小值为16. (2)由x>0,y>0,x+2y+xy=30,得y= (0<x<30). 第2章　一元二次函数、方程和不等式 所以xy= = =34- .因为x+2+ ≥2  =16,当且仅当x+2= ,即x=6时等号成立, 所以xy≤34-16=18.故xy的最大值为18. (3)因为12xy=2·3x·2y≤(3x)2+(2y)2=9x2+4y2,当且仅当3x=2y时取等号, 所以 ≤  = =13, 即当且仅当3x=2y≠0时, 有最大值13. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 $$