1.2.2 充分条件和必要条件（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

1.2.2　充分条件和必要条件 1 | 充分条件和必要条件 　　当“若p,则q”成立,即p⇒q时,把p叫作q的充分条件,q叫作p的必要条件. 　　若p⇒/q,则p不是q的充分条件,q也不是p的必要条件. 特别提醒    对充分条件和必要条件的理解 (1)p⇒q可以理解为若p成立,则q一定也成立,即p对于q的成立是充分的;反过来,若 q不成立,则p必不成立,即q对于p的成立是必要的. (2)五种等价表述形式:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必 要条件;⑤p的必要条件是q. 第1章　集合与逻辑 　　如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.即p既是q的充分条件,又是q的必要条件, 此时我们称p是q的充分必要条件,简称充要条件.当然,此时q也是p的充分必要条件. 　　换句话说,如果一个命题和它的逆命题都成立,则此命题的条件和结论互为 充分必要条件. 特别说明    一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 充分条件;每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件;每一条 数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件. 2 | 充要条件 第1章　集合与逻辑 1.“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”所表示的推出关系是否相同? 相同.都是p⇒q. 2.若p是q的充要条件,则p与q是等价的,这种说法正确吗? 正确.若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q. 3.“p是q的充分而不必要条件”与“p的充分而不必要条件是q”的区别在哪里? ①“p是q的充分而不必要条件”说明p是条件,q是结论,是指“p⇒q,且q⇒/p”. ②“p的充分而不必要条件是q”说明q是条件,p是结论,等价于“q是p的充分而 不必要条件”,即“q⇒p,且p⇒/q”. 4.记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M⊆N,则p是q的什么条件?若N⊆M呢?若M=N呢? 若M⊆N,则p是q的充分条件;若N⊆M,则p是q的必要条件;若M=N,则p是q的充要条 知识辨析 件.   第1章　集合与逻辑 1　充分条件、必要条件和充要条件的判断   充分条件、必要条件和充要条件判断的常用方法 (1)定义法:直接利用定义进行判断. (2)利用集合间的包含关系进行判断.若设p对应的集合为A,q对应的集合为B,则: 记法 A={x|p(x)},B={x|q(x)} 关系 A⫋B B⫋A A=B A⊈B且B⊈A 图示         结论 p是q的充分而不必 要条件 p是q的必要而不充 分条件 p,q互为充要条件 p是q的既不充分又 不必要条件 第1章　集合与逻辑  典例    (多选)下列四个结论中,正确的有 (    AD    ) A.若x∈R,则“x>1”是“x>2”的必要而不充分条件 B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C.“a2>b2”是“a>b”的充分而不必要条件 D.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件 解析    ∵x>2⇒x>1,但x>1⇒/x>2,故A正确; AB2+AC2=BC2⇒△ABC为直角三角形,反之不成立,故B不正确; a2>b2⇒/a>b,a>b⇒/a2>b2,故C不正确; a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故D正确. 故选AD. 第1章　集合与逻辑 方法技巧    ①用定义判断充分条件、必要条件和充要条件时,要善于举反例,如 本题中选项C,当a=-2,b=1时,满足a2>b2,但不满足a>b;当a=0,b=-1时,满足a>b但不 满足a2>b2. ②常用集合间的包含关系判断充分条件、必要条件,如本题中选项A,{x|x>1}⫌{x |x>2},所以“x>1”是“x>2”的必要而不充分条件. 第1章　集合与逻辑 2　充分条件、必要条件的证明与探究   1.充要条件的证明 (1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“p⇒q”为真,又要证明命题“q⇒p” 为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(注意与“p的充要条件是q”的 区别) (2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行等价转化,注意转 化过程中必须保证前后是能互相推出的. 2.探求充分条件、必要条件的注意点 (1)分清条件和结论,明确探求的方向. (2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,得到使结论成立的充要条 件. 第1章　集合与逻辑 (3)利用集合之间的包含关系,探求使结论成立的必要而不充分条件或充分而不 必要条件等. 第1章　集合与逻辑  典例　下列条件中,使不等式组 成立的一个充分而不必要条件是  (    A    ) A.0<x<1　　　    B.0<x<2 C.0<x<3　　　    D.-1<x<1 解析    解不等式组 得0<x<2, 因为使“0<x<2”成立的充分而不必要条件应该满足其限定的x的取值集合为集 合{x|0<x<2}的一个真子集,所以结合选项易知A符合. 第1章　集合与逻辑 3　利用充分条件、必要条件确定参数的值(取值范围)   　　应用充分条件、必要条件求解参数问题时,一般结合充分条件、必要条件将 问题转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的方程(组) 或不等式(组)求解即可.最后确定范围时为避免漏解或多解,要注意对解集端点值 进行检验. 第1章　集合与逻辑  典例　给出下列三个条件:①充分而不必要条件;②必要而不充分条件;③充要 条件.请从中选择一个条件补充到下面的横线上并解答. 已知集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x<1+m},是否存在实数m,使得“x∈P”是“x ∈S”的　　　    ?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 第1章　集合与逻辑 解析    若选择①,即“x∈P”是“x∈S”的充分而不必要条件,则P⫋S, ∴ 解得m>3, 即实数m的取值范围为{m|m>3}. 若选择②,即“x∈P”是“x∈S”的必要而不充分条件,则S⫋P. 当S=⌀时,1-m≥1+m,解得m≤0,满足要求; 当S≠⌀时,1-m<1+m,解得m>0,则  解得m≤0,此时实数m不存在. 综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤0}. 若选择③,即“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则P=S,易知无法成立,则不存在实 数m,使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件. 第1章　集合与逻辑 $$