22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

人教版 九年级上 22.2二次函数与一元二次方程 教学目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点） 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 我们已经知道，一元二次方程根的情况与“△=b2-4ac”有关： 1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根, 2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根, 3.当△＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根. x1=x2=- . 本节课我们将从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系，一起开启知识的旅程吧！ 回顾旧知 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题： 情境导入 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：解方程 15=20t−5t2， t2−4t+3=0, t1=1，t2=3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ h=20t−5t2 合作探究 （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？ O h t 20 2 解方程： 20=20t−5t2, t2−4t+4=0, t1=t2=2. ∴当球飞行2s时，它的高度为20m. h=20t−5t2 合作探究 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗? 20.5 解方程： 20.5=20t−5t2, t2−4t+4.1=0, 因为(−4)2−4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5m. h=20t−5t2 合作探究 从上面发现，二次函数与一元二次方程密切相关。求二次函数h=20t−5t2的函数值分别为15、20、20.5时所对应的自变量的值就相当于求一元二次方程20t−5t2=15、 20t−5t2 =20、 20t−5t2 =20.5的根； 反过来，求一元二次方程20t−5t2=15、 20t−5t2 =20、 20t−5t2 =20.5的根就相当于求二次函数h=20t−5t2的函数值分别为15、20、20.5时所对应的自变量的值。 下面，我们利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0 合作探究 8 合作探究 思考：如图是二次函数 (1)y＝x2＋x－2； (2)y＝x2－6x＋9； (3)y＝x2－x＋1. 的图象如图所示。观察并回答： （1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ （2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 探究一：二次函数与一元二次方程之间的关系 （1）y＝x2＋x－2 抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1. 合作探究 （2）y＝x2－6x＋9 抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3. 合作探究 （3）y＝x2－x＋1. 抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.即函数值不可能等于0. 由此得出方程x2－x＋1=0没有实数根. 合作探究 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2−x+1=0无解 3 x2−6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x−2=0，x1=−2，x2=1 合作探究 判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c （a>0）的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y x O y Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 x1 ； x2 x1 =x2 ＝－b/2a 没有实数根 归纳总结： 合作探究 1.若一元二次方程y＝x2－2x＋5无实根，则抛物线y＝x2－2x＋5 图 象位于（ ） A.X轴下方 B.第一、二、三象限 C.x轴上方 D.第二、三、四象限 C 2.二次函数y＝ax2－4x＋1的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 (　　) A．a<4 B．a<4且a≠0 C．a≤4 D．a≤4且a≠0 D 趁热打铁 3.若二次函数y=−x2+2x+c的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程−x2+2x+c=0的一个解x1=4，则另一个解x2= . −2 y O x 1 4 4.一元二次方程 3x2+bx−8=0的两个根是x1=−2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+bx−8与x轴的交点坐标是 . (−2，0) ( ，0) 趁热打铁 探究二：利用二次函数求一元二次方程的近似解 分析：一元二次方程 x²−2x−2=0 的根就是抛物线 y=x²−2x−2 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 例 利用函数图象求方程x2−2x−2=0的实数根(结果保留小数点后一位). 合作探究 解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示) 它与x轴的公共点的横坐标大约是- 0.7,2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根 为 x1≈-0.7，x2≈2.7. 合作探究 先求位于−1到0之间的根，由图象可估计这个根是−0.8或−0.7，利用计算器进行探索，见下表： x … −0.8 −0.7 … y … 0.24 −0.11 … 观察上表可以发现，当x分别取−0.8和−0.7时，对应的y由负变正，可见在−0.8与−0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2−2x−2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=−0.8或x=−0.7都符合要求.但当x=−0.7时更为接近0.故x1≈−0.7. 同理可得另一近似值为x2≈2.7. 合作探究 归纳总结：一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. (1)用描点法作二次函数的图象； (2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与x轴有两个交点,其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 ； (3)确定方程的解； 由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解. 合作探究 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 2< x < 2.33 B. 2.33 < x < 2.34 C. 2.34 <x< 2.35 D. 2.35 <x< 2.36 x 2.33 2.34 2.35 2.36 y=ax2+bx+c −0.05 −0.01 0.01 0.06 C 1.根据下列表格的对应值: 趁热打铁 1.抛物线y=-3x2-x+4与x轴的交点个数是（ 　) A．3 B．2 C．1 D．0 B 2.抛物线y=x2-5x+4与x轴的两个交点的坐标是（ 　) A.（1,0），（4,0） B.（-1,0），（-4,0） C.（-1, ） D.（4, ） A 3.函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么关于x一元 二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ 　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个同号的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 A 综合演练 4.二次函数y=-x2+4x+m的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为 。 5 x1 =5，x2 =-1 5.如图，二次函数y=-x2+2x+k（k ＜ 0）与x轴相较于A（ x1，0），B（ x2，0 ），点A在点B的左侧，当x= x2 -2时，y 0（填“＞”“=”或“＜”） x=2 x y 0 A B ＜ 综合演练 23 6、已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0. ∴此抛物线与x轴总有交点. 综合演练 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 所以正整数m的值为1. 解得 x1＝1，x2＝ 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 当m为正整数1时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 综合演练 7.已知函数y＝(k−3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k−3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k−3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2−4ac≥0. ∵b2−4ac＝22−4(k−3)＝−4k＋16， ∴−4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 综合演练 1.已知抛物线y=x2-4x+3 （1）求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）当x取何值时，y＞0？ 解：（1）∵y=x²-4x+3=（x-1)(x-3） ∴该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）； 知识拓展 1.已知抛物线y=x2-4x+3 （1）求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）当x取何值时，y＞0？ （2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0） ∵y=x2-4x+3=（x-2）²-1， ∴该抛物线的顶点坐标是（2，-1），且抛物 线的开口方向向上，大致图象如图所示： ∴当x＜1或x＞3时，y＞0． 知识拓展 说一说二次函数与一元二次方程的根的关系？ 本节课你有哪些收获？ 课堂总结 谢谢 $$