第2章 专题强化练3 利用均值不等式求最值（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

专题强化练3　利用均值不等式求最值 1.已知两个正实数x,y满足x+y=1,则的最大值是(　　) A.　　　C.6　　　D.9 2.已知m,n均为正实数,且满足m2n+2mn2-4m-n=0,则m+2n的最小值为(　　) A.2　　　C.+9 3.已知x>y>0,且x2-y2=1,则2x2+3y2-4xy的最小值为(　　) A. 4.(多选题)已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则(　　) A.2a+b的最小值为8 B. C.ab的最大值为8 D.b+ 5.若a>0,b>0,则min的最大值是　　　　　　.(注:min{x,y}表示x,y中的较小者)  6.若正实数x,y满足-1,则x+2y的最大值为　　　　.  7.设a>2b>0,那么的最小值是　　　　.  8.已知x>0,y>0. (1)若不等式≥0恒成立,求实数m的最小值; (2)若x+y=1,≥9恒成立,求正实数a的最小值. 9.如图,我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC的直角边长分别为a,b,且直角三角形ABC的周长为1. (1)求直角三角形ABC面积的最大值; (2)求正方形ABDE面积的最小值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练3　利用均值不等式求最值 1.B 2.A 3.B 4.ACD 1.B　易得.因为正实数x,y满足x+y=1,所以≥5+2=9,当且仅当x=2y且x+y=1,即x=时取等号,则.故选B. 2.A　由题意得m2n+2mn2=mn(m+2n)=4m+n,所以m+2n=,所以(m+2n)2=≥9+2,当且仅当,即n=,m=1时,等号成立,所以(m+2n)min=+1.故选A. 3.B　由已知得x2-y2=(x+y)(x-y)=1. 设x+y=a,x-y=b, 则x=,且ab=1,a>0,b>0, 所以2x2+3y2-4xy=2-4·=1, 当且仅当a=3b,即a=时,等号成立. 故2x2+3y2-4xy的最小值为1. 4.ACD　由16=ab+2a+b得b=-2. 2a+b=2a+-4≥2-4=8,当且仅当2(a+1)=,即a=2时取等号,因此2a+b的最小值为8,A正确; ≥2,当且仅当a+1=b+2时取等号,因此,B错误; 16=ab+2a+b≥ab+2,当且仅当2a=b时取等号,解不等式得0<≤2,即ab≤8,因此ab的最大值为8,C正确; b+-2 =≥2, 当且仅当,即a=时取等号,因此b+,D正确. 故选ACD. 5.答案　 解析　令h=min,因为a>0,b>0,所以0<h≤a,0<h≤, 则h2≤,当且仅当a=时取等号, 而,当且仅当,即a=2b时取等号, 因此当a=,且a=2b,即a=时,hmax=,所以min. 6.答案　2 解析　∵,∴x2+4y2=2(3-xy),即(x+2y)2=6+2xy,∵2xy≤,∴(x+2y)2=6+2xy≤6+,整理得(x+2y)2≤8,又x,y均为正实数,∴0<x+2y≤2,当且仅当x=2y,即x=时取“=”. 7.答案　32 解析　因为a>2b>0,所以a-2b>0,所以b(a-2b)=(2b)(a-2b)≤,当且仅当2b=a-2b,即a=4b时,等号成立,所以≥8×2=32,当且仅当a2=,且a=4b,即a=时,等号成立. 8.解析　(1)∵x>0,y>0,≥0恒成立, ∴(x+y)≥-m恒成立, 又(x+y)≥4,当且仅当x=y时取等号,∴-m≤4,则m≥-4,故m的最小值为-4. (2)∵≥9恒成立,∴≥9. ∵x>0,y>0,a>0,x+y=1, ∴≥a+1+2,当且仅当y=x时,等号成立,∴≥9,∴+1≥3,∴a≥4. 故a的最小值为4. 9.解析　(1)因为直角三角形ABC的直角边长分别为a,b,且直角三角形ABC的周长为1, 所以1=a+b+≥2)·,当且仅当a=b时取等号, 解得0<,所以0<ab≤, 所以S△ABC=ab≤, 故直角三角形ABC面积的最大值为. (2)易得正方形ABDE的面积为a2+b2, 因为2(a2+b2)≥(a+b)2,当且仅当a=b时取等号, 所以a+b≤, 所以1=a+b+,所以a2+b2≥, 所以正方形ABDE面积的最小值为3-2. 学科网（北京）股份有限公司 $$