1.1.1 集合及其表示方法（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合 1.1.1　集合及其表示方法 基础过关练 题组一　集合的定义与元素的特点 1.下列各组对象不能构成集合的是(　　) A.参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B.小于的正整数 C.2023年高考数学试卷上的难题 D.所有无理数 2.下列说法中正确的是(　　) ①0与{0}表示同一个集合; ②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}; ③单词book的所有字母组成的集合中的元素共有4个; ④10以内的素数组成的集合是{0,2,3,5,7}. A.①④　　　B.②③　　　C.②　　　D.②④ 3.若a,b,c,d为集合A中的四个元素,则以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是(　　) A.矩形　　　B.平行四边形 C.菱形　　　D.梯形 4.若有一集合含且仅含三个元素:1,x,x2-x,则实数x的取值范围是　　　　　　.  题组二　集合的分类与集合相等 5.下列四个集合是空集的是(　　) A.{x|x+3=3}　 B.{x|x2+4=0} C.{x|x2-1=0}　 D.{x|x<0} 6.下列集合中与集合S={2,3}相等的是(　　) A.{(2,3)}　　　B.{(x,y)|x=2,y=3} C.{x|x2-5x+6=0}　　　D.{x=2,y=3} 7.(多选题)下列说法中错误的是(　　) A.{0}是空集 B.若a∈N,则-a∉N C.集合{x∈R|x2-2x+1=0}中只有一个元素 D.集合是有限集 题组三　元素与集合的关系 8.下列说法正确的个数为(　　) ①∈Q;②∈N*;③-1∈N;④2+∈Q;⑤∉Z. A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 9.若集合M中的元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是(　　) A.-1∉M　　　B.-11∈M C.3k2-1∈M　　　D.-34∉M 10.(多选题)设集合A={-1,1+a,a2-2a+5},若4∈A,则a的值可能为(　　) A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.3 11.设P,Q为两个非空实数集,定义集合A={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则A中元素的个数是　　　　.  12.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则a的取值范围为　　　　.  题组四　集合的表示 13.集合M=中元素的个数为(　　) A.4　　　B.5　　　C.10　　　D.12 14.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.方程+|y+2|=0的解组成的集合为{2,-2} B.由(a,b∈R)所确定的实数组成的集合为{-2,0,2} C.集合{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}即为{(0,8),(2,5),(4,2)} D.集合A=中含有三个元素 15.将表示成小数,则构成这个小数的所有数字组成的集合用列举法表示为　　　　.  16.用适当的方法表示下列集合: (1)不大于8的非负偶数组成的集合; (2)直线y=2x+1与y轴的交点坐标组成的集合; (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合. 17.用适当的方法表示下列集合: (1)所有能被3整除的数组成的集合; (2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标组成的集合; (3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值组成的集合B. 题组五　区间及其表示 18.区间(0,1]等于　　(　　) A.{0,1}　　　B.{(0,1]} C.{x|0<x≤1}　　　D.{x|0≤x≤1} 19.(多选题)下列集合写成区间的形式后含有“∞”的是(　　) A.　　　B.{x|1<x≤3} C.　　　D.{x|2≤x≤8} 20.若区间[2,a]的长度不超过5,则实数a的取值范围用区间表示为　　　　.  21.用区间表示下列集合: (1); (2){x|x<1}; (3){x|x≥4}. 能力提升练 题组一　集合中元素的特性 1.由实数x,-x,|x|,组成的集合中最多含有　(　　) A.2个元素　　　B.3个元素 C.4个元素　　　D.5个元素 2.若集合{a,b,c,d}与{1,2,3,4}相等,且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的,则符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是　　　　.  题组二　元素与集合的关系 3.(多选题)已知集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},则下列关系正确的是(　　) A.(1,2)∈B　　　B.A=B C.0∉A　　　D.2∈B 4.(多选题)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z}, B={x|x=3k,k∈Z},C={x|x=6k-1,k∈Z}.若a∈A,b∈B,c∈C,则下列结论中一定正确的是(　　) A.c-b∈A　　　B.a-c∈B C.a+b∈C　　　D.a+b+c∈B 5.设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠0,1). (1)若3∈A,试求出A中必含有的其他所有元素; (2)求证:若a∈A,则1-∈A; (3)集合A是不是单元素集?如果是,给出证明;如果不是,请说明理由. 题组三　集合的综合问题 6.设x1,x2,x3,x4是4个正整数,从中任取3个数求和所构成的集合为{25,26,27},则这4个数中最小的数为(　　) A.4　　　B.6　　　C.8　　　D.10 7.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若A是空集,求a的取值范围; (2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来; (3)若A中至少有一个元素,求a的取值范围. 题组四　集合的新定义问题 8.用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A={0,1},B={x|x(x+a)(x2+ax+1)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)=(　　) A.1　　　B.3　　　C.5　　　D.7 9.对于任意两个正整数,定义运算⊕:当m,n都是正偶数或都是正奇数时,m⊕n=m+n;当m,n一个为正偶数,另一个为正奇数时,m⊕n=m×n.例如4⊕6=4+6=10,3⊕7=3+7=10,3⊕4=3×4=12.在上述定义中,集合M={(a,b)|a⊕b=12,a,b∈N*}中的元素有　　　　个.  答案与分层梯度式解析 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合 1.1.1　集合及其表示方法 基础过关练 1.C 2.C 3.D 5.B 6.C 7.ABD 8.B 9.C 10.CD 13.D 14.BC 18.C 19.AC 1.C　 2.C　①中“0”不能表示集合,而“{0}”表示集合,故①错误;根据集合中元素的无序性可知②正确;根据集合中元素的互异性可知③错误;0不是素数,故④错误.故选C. 3.D　因为集合中的元素具有互异性,所以a,b,c,d互不相等.又矩形、平行四边形、菱形均有相等的边,梯形的四条边可以不相等,所以以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是梯形.故选D. 4.答案　xx≠0,1,2, 解析　由集合中元素的互异性可得x≠1,x2-x≠1,x2-x≠x,解得x≠0,1,2,. 5.B　集合{x|x+3=3}={0}≠⌀;集合{x|x2+4=0}表示方程x2+4=0的实数根组成的集合,而方程x2+4=0无实数根,所以该集合为空集;集合{x|x2-1=0}={-1,1};集合{x|x<0}表示小于0的实数组成的集合.故选B. 6.C　集合S是由数字2和3组成的集合. 对于A,B,集合中的元素都代表点(2,3),与集合S中的元素不同,A,B错误; 对于C,由x2-5x+6=0得x=2或x=3,与集合S中的元素相同,C正确; 对于D,该集合是由两个等式组成的集合,与集合S中的元素不同,D错误.故选C. 7.ABD　对于A,{0}中含有一个元素0,所以{0}不是空集,故A中说法错误; 对于B,当a=0时,a∈N,且-a∈N,故B中说法错误; 对于C,{x∈R|x2-2x+1=0}={x∈R|(x-1)2=0}={1},该集合中只有一个元素,故C中说法正确; 对于D,Q表示有理数,包括整数和分数,当x为正整数的倒数时,都有∈N,此时集合是无限集,故D中说法错误.故选ABD. 8.B　是有理数,故①正确;不是正整数,故②错误;-1不是自然数,故③错误;2+不是有理数,故④错误;不是整数,故⑤正确.综上可知,正确的说法有2个.故选B. 9.C　令3k-1=-1,解得k=0∈Z,∴-1∈M,故A不正确;令3k-1=-11,解得k=-∉Z,∴-11∉M,故B不正确;∵k∈Z,∴k2∈Z,∴3k2-1∈M,故C正确;令3k-1=-34,解得k=-11∈Z,∴-34∈M,故D不正确.故选C. 10.CD　∵4∈A,∴1+a=4或a2-2a+5=4, ∴a=3或a=1. 当a=3时,A={-1,4,8},符合题意; 当a=1时,A={-1,2,4},符合题意.故选CD. 归纳升华　当集合中的元素含有变量时,求得结果后,一般还要检验所求变量的值能否使集合满足元素的互异性. 11.答案　8 解析　因为集合A={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5},Q={1,2,6},0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11,所以集合A中的元素有1,2,3,4,6,7,8,11,共8个. 12.答案　(-4,-2] 解析　∵1∉A,2∈A,∴解得-4<a≤-2,∴a的取值范围为(-4,-2]. 13.D　∵x∈Z,y∈Z,y=,∴x+3的值可取±1,±2,±3,±4,±6,±12,∴x的值可取-2,-4,-1,-5,0,-6,1,-7,3,-9,9,-15,共12个.故选D. 14.BC　对于A,方程+|y+2|=0的解为其组成的集合为{(2,-2)},故A错误. 对于B,由(a,b∈R)知a≠0,b≠0, 当a,b同为正数时,=2; 当a,b一正一负时,=0; 当a,b同为负数时,=-2. 故由(a,b∈R)所确定的实数组成的集合为{-2,0,2},故B正确. 对于C,由3x+2y=16,得y=,又x∈N,y∈N,所以x的取值为0,2,4, 当x=0时,y=8;当x=2时,y=5;当x=4时,y=2,故集合{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}即为{(0,8),(2,5),(4,2)},故C正确. 对于D,因为∈N,a∈Z,所以3-a的值可能为1,2,3,6,所以a的值为2,1,0,-3, 故A=={-3,0,1,2},共含有4个元素,故D错误. 故选BC. 15.答案　{1,2,5,6} 解析　因为=1.562 5,所以构成这个小数的所有数字组成的集合为{1,2,5,6}. 16.解析　(1)不大于8的非负偶数组成的集合是{0,2,4,6,8}. (2)将x=0代入y=2x+1,得y=1,故直线y=2x+1与y轴的交点坐标是(0,1),故直线y=2x+1与y轴的交点坐标组成的集合是{(0,1)}. (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}. 17.解析　(1){x|x=3n,n∈Z}. (2)(x,y)-1≤x≤2,-≤y≤1,且xy≥0. (3)因为x=|x|,所以x≥0. 又因为x∈Z,所以x∈N,故B={x|x∈N}. 18.C 19.AC　;{x|1<x≤3}=(1,3]; ;{x|2≤x≤8}=[2,8]. 20.答案　(2,7] 解析　由题意可知所以2<a≤7,即实数a的取值范围是(2,7]. 21.解析　(1). (2){x|x<1}可表示为(-∞,1). (3){x|x≥4}可表示为[4,+∞). 能力提升练 1.A 3.AC 4.AB 6.C 8.B 1.A　∵=-x,|x|=±x,∴由实数x,-x,|x|,组成的集合中最多含有2个元素.故选A. 2.答案　6 解析　若仅有①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,此时a=b,不满足集合中元素的互异性,故①不正确; 若仅有②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况; 若仅有③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,此时仅有(3,1,2,4)一种情况; 若仅有④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况. 综上,符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是6. 方法技巧　先用肯定条件确定参数的值,再用否定条件进行讨论. 3.AC　点(1,2)在函数y=x2+1的图象上,所以(1,2)∈B,故A正确;集合A为数集,集合B为点集,所以A≠B,故B错误;集合A={y|y=x2+1}=[1,+∞),所以0∉A,故C正确;集合B为点集,所以2∉B,故D错误.故选AC. 4.AB　由题意可设a=3m-1,b=3n,c=6p-1,m,n,p∈Z, 则c-b=3(2p-n)-1∈A,a-c=3(m-2p)∈B,a+b=3(m+n)-1∈A,当m+n不是偶数时,a+b∉C,a+b+c=3(m+n+2p)-2∉B,故选AB. 5.解析　(1)因为3∈A,所以∈A, 所以∈A,所以=3∈A, 所以A中必含有的元素为-,3. (2)证明:若a∈A,则∈A, 所以∈A. (3)不是.证明如下: 若A为单元素集,则a=, 即a2-a+1=0,方程无解, 所以a≠,所以集合A不可能是单元素集. 6.C　从4个正整数中任取3个数求和后可得4个和,则这4个和之和为3(x1+x2+x3+x4),必为3的倍数, 又27÷3=9,25÷3=8……1,26÷3=8……2, 所以这4个和为25,26,27,27, 则x1+x2+x3+x4=×(25+26+27+27)=35, 而35-25=10,35-26=9,35-27=8, 所以这4个数分别为8,8,9,10, 所以这4个数中最小的数为8.故选C. 7.解析　(1)若A是空集,则a≠0且Δ=9-8a<0,解得a>,所以a的取值范围为. (2)当a=0时,集合A={x|-3x+2=0}=,符合题意; 当a≠0时,由A中只有一个元素,得方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根,故Δ=9-8a=0,解得a=,此时集合A=. 综上可知,a的值为0或,当a=0时,元素为,当a=时,元素为. (3)结合(2)可知,当a=0时,A=,符合题意; 当a≠0时,若A中至少有一个元素,则方程ax2-3x+2=0有实数根,故Δ=9-8a≥0, 解得a≤. 综上可知,若集合A中至少有一个元素,则a的取值范围为. 8.B　∵A={0,1},A*B=1,∴C(B)=3或C(B)=1.当a=0时,B={x|x2(x2+1)=0}={0},C(B)=1,满足题意.当a≠0时,必有C(B)=3,则关于x的方程x2+ax+1=0有两个相等的实数根,故Δ=a2-4×1×1=0,解得a=±2,当a=2时,B={x|x(x+2)(x2+2x+1)=0}={-2,-1,0},满足题意,当a=-2时,B={x|x(x-2)·(x2-2x+1)=0}={0,1,2},满足题意.综上,S={-2,0,2},所以C(S)=3,故选B. 9.答案　15 解析　若a,b都是正偶数或都是正奇数,则由a⊕b=12,得a+b=12,又a,b∈N*所以a可以为1,2,3,…,11,与之相对应的b为11,10,9,…,1,共11种情况;若a,b一个为正偶数,另一个为正奇数,则由a⊕b=12,得ab=12,又a,b∈N*,所以a可以为1,3,4,12,与之相对应的b为12,4,3,1,共4种情况,所以集合M中的元素共有11+4=15个. 学科网（北京）股份有限公司 $$