1.1.3 集合的基本运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

知识点 1 交集 知识 清单破 1.1.3　集合的基本运算 概念 给定两个集合A,B,由既属于A又属于B的所 有元素(即A和B的公共元素)组成的集合,称 为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 图示   运算 性质 (1)A∩B=B∩A;(2)A∩A=A; (3)A∩⌀=⌀;(4)A⊆B⇔A∩B=A 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 并集 概念 给定两个集合A,B,由这两个集合的所有元素 组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读 作“A并B”) 图示   运算 性质 (1)A∪B=B∪A; (2)A∪A=A; (3)A∪⌀=A; (4)A⊆B⇔A∪B=B 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这 个给定的集合为全集.全集通常用U表示. 知识点 3 全集 知识点 4 补集 概念 如果集合A是全集U的一个子集,则由U中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作∁UA 图示   运算性质 ∁UA⊆U,∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A,A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀ 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). 2.∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 知识点 5 德·摩根定律 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.集合A={1,2,3,4},B={0,2,3},则A∪B={1,2,3,4,0,2,3}. (　    ) ✕ 2.若A∩B=C∩B,则A=C. (　    ) 提示 设A={0,1},B={1},C={1,2},则A∩B=C∩B,但A≠C. ✕ 3.两个集合的并集中元素的个数一定大于这两个集合的交集中元素的个数. (　    ) 提示 ✕ 如A∪A=A∩A,两者元素个数相同. 4.无理数集就是有理数集的补集. (　    ) ✕ 5.全集是由任何元素组成的集合. (　    ) ✕ 6.不同的集合在同一个全集中的补集也不同. (　    ) √ 7.研究A在U中的补集时,A中可以有不属于U的元素. (　    ) ✕ 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 疑难 1 利用集合的运算性质求参数的值或取值范围 讲解分析 1.将集合的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系.若集合中的元素能被一一列举,则 可用观察法得到不同集合之间的关系;若集合与不等式有关,则可利用数轴得到不同集合之 间的关系. 2.将集合之间的关系用方程(组)或不等式(组)表示出来. 3.对于涉及A∪B=A或A∩B=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为集合A与B之间的关系 求解,注意空集的特殊性. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若M∪N=M,求实数t的取值范围; (2)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},求使A⊆(A∩B)成立的实数a的取值范围. 解析    (1)由M∪N=M得N⊆M. 当N=⌀时,2t+1≤2-t,解得t≤ , 此时M∪N=M成立; 当N≠⌀时,结合数轴可得  解得 <t≤2.   综上所述,实数t的取值范围是{t|t≤2}. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由A⊆(A∩B),得A⊆B. 当A=⌀时,2a+1>3a-5,解得a<6,符合题意. 当A≠⌀时, 解得6≤a≤9. 综上,使A⊆(A∩B)成立的实数a的取值范围为{a|a≤9}. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 　　对于一些比较复杂、比较抽象、难以从正面入手的数学问题,在解题时可以调整思路, 从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这时能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将 问题解决,这就是“正难则反”的解题策略.这种“正难则反”的策略运用的是“补集思 想”,即已知全集U,求其子集A时,若直接求A较困难,则可先求∁UA,再由∁U(∁UA)=A求A. (1)运用“补集思想”解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、较复杂的问题,如至 多、至少、存在唯一、不存在等问题. (2)用“补集思想”解含参问题的步骤: ①否定已知条件,考虑问题的反面; ②求问题的反面对应的参数的集合; 疑难 2 “补集思想”的应用 讲解分析 ③求问题的反面对应的参数的集合的补集,注意全集的范围. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若三个集合中至少有一 个集合不是空集,求实数a的取值范围. 思路点拨    假设三个集合均为空集,求得a的取值集合 其补集满足题目要求. 解析    假设三个集合都是空集,即三个方程均无实根,则有 即  解得- <a<-1,∴当a≤- 或a≥-1时,三个方程中至少有一个方程有实根,即三个集合中至 少有一个集合不是空集. ∴a的取值范围为{a|a≤- 或a≥-1}. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用新定义可将问题转化为集合的交集、并集问题. 2.利用集合的交集、并集运算时的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的交集、并集的定义求解,但要注意集合中元 素的互异性. (2)对于元素个数无限的集合,进行交集、并集运算时,可借助数轴求解,但要注意端点值能否 取到. 疑难 3 集合的新定义问题 讲解分析 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 对任意两个集合M,N,定义运算“-”:M-N的运算结果为维恩图中阴影部分表示的集合, 定义运算“△”:M△N=(M-N)∪(N-M).若M={y|y=x2,x∈R},N={x|-3≤x≤3},则M△N=　　          . {x|-3≤x<0或x>3} 思路点拨    明确集合M,N中元素满足的条件,通过分析维恩图,理解“-”的意义,即有M-N=∁ M(M∩N),N-M=∁N(N∩M),然后按照“△”的运算规则计算即可. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意,得M={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}, ∵N={x|-3≤x≤3}, ∴M∩N=N∩M={x|0≤x≤3}, ∴M-N=∁M(M∩N)={x|x>3}, N-M=∁N(N∩M)={x|-3≤x<0}. 又∵M△N=(M-N)∪(N-M), ∴M△N={x|-3≤x<0或x>3}. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 　　在研究集合时,会遇到有关集合中元素个数的问题.我们把有限集合A中的元素个数记作 card(A).例如,A={a,b,c},则card(A)=3. 　　一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),如图1.  　      　　对于三个有限集合A,B,C,它们的并集中元素的个数公式是card(A∪B∪C)=card(A)+card(B) +card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),如图2. 疑难 4 有限集合的并集中元素的个数 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商 品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店这 三天售出的商品最少有 (　    ) A.25种　　　    B.27种　　　     C.29种　　　    D.31种 C 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解析    因为前两天都售出的商品有3种,所以第一天售出且第二天没有售出的商品有19-3=16(种); 同理,第三天售出的商品中有14种第二天未售出. 当三天售出的商品种数最少时,第一天和第三天售出的商品的种类重合的最多,设第一天、 第二天和第三天售出的商品种类构成的集合分别为A,B,C,则商品种类最少时,如图所示,商品 种类总数是19+13-3=29.   第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 $$