1.1.1 集合及其表示方法（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

1.1 集合 知识 清单破 1.1.1　集合及其表示方法 知识点 1 集合 1.集合的定义:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合 (有时简称为集).组成集合的每个对象都是这个集合的元素. 2.元素与集合的关系:a属于集合A,用符号表示为a∈A;a不属于集合A,用符号表示为a∉A. 3.集合中元素的特点:确定性,互异性和无序性.若两个集合中的元素完全相同,则称它们相等. 4.集合的分类 有限集:含有有限个元素的集合; 无限集:含有无限个元素的集合. 把不含任何元素的集合称为空集,记作⌀,所以空集是有限集. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 几种常见的数集 常见的 数集 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 表示 N N+或N* Z Q R 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来 表示集合的方法称为列举法. 2.描述法:一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都 不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x) 表示为{x|p(x)}.这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称为描述法. 知识点 3 集合的表示方法 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 　　设a,b是两个实数,且a<b. 知识点 4 区间及其表示 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]   {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b)   {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b]   {x|a<x<b} 开区间 (a,b)   第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 定义 名称 符号 数轴 {x|x≥a} 半开半闭区间 [a,+∞)   {x|x>a} 开区间 (a,+∞)   {x|x≤a} 半开半闭区间 (-∞,a]   {x|x<a} 开区间 (-∞,a)   续表 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.某班个子很高的女生可以组成一个集合. (　    ) 2.集合{x∈N*|x<5}是用描述法表示的一个集合. (　    ) 3. ∉{x||x|<2}. (　    ) 4.{x|x2=4}={-2,2}. (　    ) 5.任何集合都可以用区间来表示. (　    ) 6.由1,1,2,2,3,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,2,3,3}. (　    ) 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . ✕ √ ✕ √ ✕ ✕ 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 讲解分析 疑难 1 集合中元素的特点 1.确定性——集合中的元素必须是确定的,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合, 任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来. 2.互异性——对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.集合中的任意两个元素必须 都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素. 3.无序性——集合中的元素可以任意排列.元素相同但排列顺序不同的集合是相等的集合. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知集合A中仅含有a+1,3a,a2+1三个元素,若1∈A,求实数a的值. 解析    若a+1=1,则a=0,3a=0,a2+1=1,不满足集合中元素的互异性,舍去; 若3a=1,则a= ,a+1= ,a2+1= ,符合题意; 若a2+1=1,则a=0,a+1=1,3a=0,不满足集合中元素的互异性,舍去. 综上所述,实数a的值为 . 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.方法的选择 　　元素个数少或者元素个数多但是有规律时可考虑用列举法;元素个数多且有公共属性或 者不宜列举时可考虑用描述法. 2.用列举法表示集合时的省略 　　元素个数多或元素个数无限时,在不发生误解的情况下,可按照规律列出几个元素作为 代表,其他元素用省略号表示.如从1到1 000的所有自然数组成的集合可以表示为{1,2,3,…,1 000},自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…}. 3.用描述法表示集合时的注意事项 (1)写清楚集合中的代表元素及其范围,如数或点等; (2)用于描述共同属性内容的语言要力求简洁、准确; (3)所有描述的内容都要写在“{}”内,且“{}”内不能出现“所有”“全体”等词语. 讲解分析 疑难 2 集合的表示方法 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 用适当的方法表示下列集合. (1)被3除余2的自然数组成的集合; (2)方程(x+1)(x2-2)=0的解组成的集合; (3)平面直角坐标系内第二象限的所有点组成的集合; (4)已知集合A= ,用列举法表示集合A. 思路点拨    (1)类比奇数可表示为2k+1,k∈Z的方法.(2)求出方程的解后用列举法表示.(3)结 合平面直角坐标系中第二象限内点的坐标的符号特征表示.(4)结合集合A中元素满足的共同 特征写出 的可能取值,进而用列举法表示. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)被3除余2的自然数可表示为3k+2,k∈N,用集合表示为{x|x=3k+2,k∈N}. (2)解方程(x+1)(x2-2)=0得x=-1或x=± ,则该方程的解组成的集合为{-1,- , }. (3)用有序实数对(x,y)作为代表元素,则用描述法表示此集合为{(x,y)|x<0且y>0}. (4)∵ ∈N,∴8-x可取的值有1,2,4,8,16,∴x的可能取值为7,6,4,0,-8, 又x∈N,∴x可取7,6,4,0, ∴ 可取16,8,4,2,∴A={2,4,8,16}. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 求解含参数的集合问题时,若参数的取值对解题有影响,则需对参数进行分类讨论. (1)对参数进行准确的逻辑划分:如在研究方程ax+b=0或ax2+bx+c=0时,要分a=0和a≠0讨论. (2)求参数的值或范围:先利用条件列出含参数的等式(或不等式),再求值(或范围),最后检验参 数的值是否符合题意. 讲解分析 疑难 3 集合中含参数问题的解法 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}. (1)若A中只有一个元素,求a的值; (2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围; (3)若A中至少有一个元素,求a的取值范围. 思路点拨    对参数a分类讨论:a=0 一元一次方程 直接求解;a≠0 一元二次方程  运用判别式Δ求解. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=0时,方程ax2+2x+1=0即2x+1=0,解得x=- ,符合题意; 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,若A中只有一个元素,则该方程有两个相等的实数 解,由Δ=4-4a=0得a=1,此时方程的解为x1=x2=-1,符合题意. 故当a=0或a=1时,A中只有一个元素. (2)若A中至多有一个元素,则A中只有一个元素或没有元素. 若A中没有元素,则方程ax2+2x+1=0无实数解, 则 解得a>1. 故结合(1)知,当a=0或a≥1时,A中至多有一个元素. (3)A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素,当A中有两个元素时,方程ax2+2x+1=0有两 个不相等的实数解,则 解得a<1且a≠0,结合(1)可知当a≤1时,A中至少有一个元素. 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 $$