3.3 函数的应用（一） 3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

3.3　函数的应用(一) 知识点 1 常见的函数模型 知识 清单破 3.4　数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点 (1)直线型:即一次函数模型; (2)抛物线型:即二次函数模型,二次函数的最值问题是考查热点,现实生活中的最优、最省等 问题也离不开二次函数; (3)分段函数型:由于实际问题在不同的范围内有不同的理解和意义,因此这种模型的应用也 比较广泛. 第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 数学建模活动流程 第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.解决某一实际问题的函数模型是唯一的. (　    ) 2.对于一个实际问题,收集到的数据越多,建立的函数模型的拟合效果越好. (　    ) 3.在实际问题中,若变量间的对应关系不能用一个关系式给出,则需构建分段函数模型.　      (　    ) 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . ✕ √ √ 第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 疑难 1 建立函数模型解决实际应用问题 讲解分析 　　在实际问题中,涉及的两个变量之间的关系大多符合已知函数模型,如一次函数模型、 二次函数模型、反比例函数模型等,解决这种函数应用问题的常见步骤如下: (1)利用待定系数法求出函数解析式; (2)根据函数解析式,结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题. 在诸多函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.在根据实际问题得到二次函数的解析式 后,可以利用配方法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值,从而解决实际问题中的利 润最大、用料最省等问题. 第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表: 投资A种商 品金额(万 元) 1 2 3 4 5 6 所获纯利 润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商 品金额(万 元) 1 2 3 4 5 6 所获纯利 润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 　　该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,请你帮忙制订一个资金投入方案,使该 经营者获得最大纯利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两 位有效数字). 解析    设A种商品所获纯利润为y1(万元),B种商品所获纯利润为y2(万元),在平面直角坐标系 中,以投资金额为横坐标,所获纯利润为纵坐标,根据题表中数据画出散点图,如图所示.   第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 由散点图可以看出A种商品所获纯利润y1(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用二 次函数模型拟合. 取最高点(4,2),设y1=a(x-4)2+2(a≠0),把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2, 解得a=-0.15, 所以y1=-0.15(x-4)2+2. B种商品所获纯利润y2(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用一次函数模型拟合. 设y2=kx+b(k≠0),将点(1,0.25)和(4,1)代入,得  解得 所以y2=0.25x. 设下个月投入A,B两种商品的资金(万元)分别为xA,xB,获得的纯利润(万元)分别为yA,yB,总利润(万元)为W, 第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 则xA+xB=12,0<xA<12,0<xB<12, W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB, 所以W=-  + (0<xA<12). 当xA= ≈3.2时,W取最大值,约为4.1,此时xB=8.8, 即该经营者下月把12万元中的3.2万元投入A种商品,8.8万元投入B种商品时,可获得最大纯利 润,最大纯利润约为4.1万元. 第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 　　分段函数的解析式由几个不同的函数解析式组成,根据自变量取值范围的不同,由题设 条件确定出不同的函数解析式. 分段函数模型应用的关键是确定分段的边界点,即明确自变量的取值区间,对每一区间进行 分类讨论,从而写出函数解析式.需注意分段函数的最值是各区间上所有最值中的最值.要注 意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象求解. 应用分段函数时的三个注意点: (1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. (2)分段函数的定义域为每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数值域的求法:逐段求函数值的范围,取各段范围的并集得到函数的值域. 疑难 2 利用分段函数模型解决实际应用问题 讲解分析 第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元.已 知当月产量x(单位:台,x∈N*)超过400时,总收入R(单位:元)恒为80 000,当月产量x不超过400 时,R与x满足R=ax2+400x,且在x=400时,R取得最大值80 000. (1)将总收入R表示为月产量x的函数; (2)将利润P(单位:元)表示为月产量x的函数; (3)当月产量为多少台时,每台仪器所获得的利润最大?最大利润为多少元? 第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可知80 000=4002a+400×400,解得a=- , 所以R=  (2)当1≤x≤400,x∈N*时,P=400x- x2-20 000-100x=- x2+300x-20 000, 当x>400,x∈N*时,P=80 000-20 000-100x=60 000-100x,故 P=  (3)设每台仪器所获得的利润为W(单位:元),由(2)可得W=  =  第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 则当1≤x≤400,x∈N*时, W=300-  ≤300-2 =100, 当且仅当 x= , 即x=200时取等号; 当x>400,x∈N*时, W= -100<50. 故当x=200时,W取得最大值100, 即当月产量为200台时,每台仪器所获得的利润最大,最大利润为100元. 第三章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$