2.2.2 不等式的解集（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

知识点 1 不等式的解集与不等式组的解集 知识 清单破 2.2.2　不等式的解集 　　一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到 的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. 2.绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解集 知识点 2 绝对值不等式 不等式 a>0 a=0 a<0 |x|<a {x|-a<x<a} ⌀ ⌀ |x|>a {x|x>a或x<-a} {x∈R|x≠0} R 3.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c. (2)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB=|a-b|. 2.已知数轴上两点A(a),B(b),若线段AB的中点M对应的数为x,则x= . 知识点 3 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.数轴上两点A(2),B(-1)之间的距离为1. (　    ) 2.已知数轴上两点A(-2),B(-4),则线段AB的中点C对应的数为-3. (　    ) 3.不等式2x-4>0的解集为x> . (　    ) 4.不等式组 的解集是 . (　    ) 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . ✕ √ ✕ √ 5.不等式1<|x+1|<3的解集为(-4,-2)∪(0,2). (　    ) √ 提示 由1<|x+1|<3,得1<x+1<3或-3<x+1<-1,∴0<x<2或-4<x<-2,∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0, 2). 6.不等式|x|·(1-2x)>0的解集是 . (　    ) ✕ 　原不等式等价于 解得x< 且x≠0,故原不等式的解集为(-∞,0)∪ . 提示 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 疑难 1 不等式的解集与不等式组的解集 讲解分析 1.求不等式组的解集的方法 一般运用数轴确定不等式组的解集,就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示 出来,然后找出它们的公共部分,这个公共部分就是此不等式组的解集,若没有公共部分,则这 个不等式组的解集为⌀. 2.与不等式(组)有关的参数问题 已知含有参数的不等式(组)的解集时,可以先进行化简,表示出不等式(组)的解集,然后根据已 知解集求出参数的值或取值范围. 当一元一次不等式组化简后的解集中含有参数时,可以根据已知条件中解集的特点,列出关 系式来确定参数的值或取值范围. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知关于x的不等式组 有3个整数解,则实数a的取值范围是 (　    ) A.-6≤a<-5　　　　　　    B.-6<a≤-5 C.-6<a<-5　　　　　　    D.-6≤a≤-5 B 思路点拨    解不等式组,可得不等式组的解集,根据不等式组有3个整数解,列出关于a的不等 式求解. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由 - x<-1, 解得x>4, 由4(x-1)≤2(x-a), 解得x≤2-a, 则由题意可知不等式组的解集为{x|4<x≤2-a}, 由关于x的不等式组 有3个整数解,得7≤2-a<8,解得-6<a≤-5.故选B. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 求不等式组 (a∈R)的解集. 解析    由1-2x≥3x-4得5x≤5,∴x≤1. 当a=0时,ax≥2化为0×x≥2,无解.∴不等式组的解集为⌀. 当a>0时,由ax≥2得x≥ . 若a=2,则不等式组的解集为{1}; 若a>2,则不等式组的解集为 ; 若0<a<2,则不等式组的解集为⌀. 当a<0时,由ax≥2得x≤ ,∴不等式组的解集为 . 综上,当a<0时,不等式组的解集为 ;当0≤a<2时,不等式组的解集为⌀;当a=2时,不等式 组的解集为{1};当a>2时,不等式组的解集为 . 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.求解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,常用方法有:(1)定义法;(2)平方法;(3)换元法; (4)数形结合法. 2.含一个绝对值的不等式的常见类型及其解法. (1)形如|ax+b|<c,|ax+b|>c(c∈R)型不等式: ①当c>0时,|ax+b|<c⇔-c<ax+b<c,|ax+b|>c⇔ax+b>c或ax+b<-c; ②当c=0时,|ax+b|<c无解,|ax+b|>c⇔ax+b≠0; ③当c<0时,|ax+b|<c无解,|ax+b|>c⇔ x∈R. (2)形如c<|ax+b|<d(d>c>0)型不等式: c<|ax+b|<d(d>c>0)⇔c<ax+b<d或-d<ax+b<-c. 疑难 2 含绝对值的不等式的解法 讲解分析 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 (3)形如|ax+b|<g(x),|ax+b|>g(x)型不等式,其中g(x)表示含x的整式: ①|ax+b|<g(x)⇔-g(x)<ax+b<g(x); ②|ax+b|>g(x)⇔ax+b>g(x)或ax+b<-g(x). (4)形如|ax+b|<ax+b,|ax+b|>ax+b型不等式: |ax+b|>ax+b⇔ax+b<0,|ax+b|<ax+b⇔x∈⌀. 3.含两个绝对值的不等式: (1)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式的简单解法是平方法,即|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2⇔[f(x)+g(x)]·[f (x)-g(x)]<0,其中 f(x),g(x)表示含x的整式. (2)|x1-x2|表示数轴上A(x1)和B(x2)两点间的距离;|x-x1|+|x-x2|表示数轴上点M(x)到A(x1)和B(x2)两 点的距离之和;|x-x1|-|x-x2|表示数轴上点M(x)到A(x1)和B(x2)两点的距离之差. 解|x+m|+|x+n|>k(<k)型的不等式的关键有两点,一是弄清|x+m|和|x+n|的几何意义;二是找到使| x+m|+|x+n|=k的x的值. (3)绝对值不等式“恒成立”问题往往转化为最值问题求解. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 求下列不等式的解集. (1)1<|x-2|≤3;(2)|2x+5|>7+x; (3) >0;(4)||x|-4|≤2; (5)|x-2|+|x+1|>5. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:原不等式等价于不等式组 即  所以-1≤x<1或3<x≤5, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3<x≤5}. 解法二:原不等式可转化为 ① 或②  由①得3<x≤5,由②得-1≤x<1, 所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1或3<x≤5}. (2)由不等式|2x+5|>7+x,可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),解得x>2或x<-4. 所以原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 (3)因为|x+3|≥0,所以原不等式等价于|2x-1|-2>0且x≠-3,即|2x-1|>2,且x≠-3, 所以2x-1>2或2x-1<-2,且x≠-3, 解得x> 或x<- 且x≠-3, 所以原不等式的解集为 x x> 或x<- 且x≠-3 . (4)由||x|-4|≤2,得-2≤|x|-4≤2,即2≤|x|≤6,故 即 解得-6≤x≤-2或2≤x≤6. 故不等式的解集为[-6,-2]∪[2,6]. (5)|x-2|表示数轴上M(x)到A(2)的距离,|x+1|表示数轴上M(x)到B(-1)的距离,如图,   因为AB=3,所以当点M在P或Q,即x=-2或x=3时,|x-2|+|x+1|=5;当点M在线段PQ上(不包括端点) 时,|x-2|+|x+1|<5;当点M在线段PQ之外时,|x-2|+|x+1|>5.故不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞). 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 若不等式|x-3|+|x+3|≥a恒成立,求实数a的取值范围. 思路点拨    |x-3|+|x+3|≥a恒成立,只要保证a不大于|x-3|+|x+3|的最小值即可. 解析    |x-3|表示数轴上点M(x)到点A(3)的距离,|x+3|表示数轴上点M(x)到点B(-3)的距离,∴|x-3 |+|x+3|表示M(x)到A、B两点的距离之和. ∵A、B两点间的距离为|3-(-3)|=6, ∴|x-3|+|x+3|的最小值为6, ∴a≤6, ∴a的取值范围是(-∞,6]. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 $$