2.1 等式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

2.1　等式 知识点 1 等式的性质 知识 清单破 1.等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式,等式仍成立. 如果a=b,那么a±c=b±c. 2.等式的两边同时乘(或除以)同一个不为零的数或代数式,等式仍成立. 如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么 = . 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两 边恒等.常见的恒等式: ①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. ②两数和(或差)的平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. ③立方和(或差)公式:(a±b)(a2∓ab+b2)=a3±b3. 2.十字相乘法 对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.   　　如图,十字左边相乘等于1,是二次项系数;十字右边相乘等于ab,是常数项;交叉相乘为b 和a,再相加就是a+b,是一次项系数.助记法则:竖分常数交叉验,横写因式不能乱. 知识点 2 恒等式 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地,把一个方程所有解组成 的集合称为这个方程的解集. 2.一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这 个方程组的解集. 知识点 3 方程与方程组的解集 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.公式法 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),Δ=b2-4ac,当Δ>0时,方程的解集为  ;当Δ=0时,方程的解集为 ;当Δ<0时,方程的解集为⌀. 2.因式分解法 如果能将ax2+bx+c=0(a≠0)通过因式分解化为a(x-x1)(x-x2)=0(x1≠x2)的形式,那么方程ax2+bx+c =0的解集为{x1,x2}. 知识点 4 一元二次方程的解集 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　　当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,设这个方程的两根为x1,x2,则x1+x2= - ,x1x2= . 知识点 5 一元二次方程根与系数的关系 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.将方程2(x-1)=3(x-1)的两边同除以(x-1),得2=3,其错误的原因是不能确定x-1的值是不是0.  (　    ) √ 2.利用平方差公式计算(2x-5)(-2x-5)的结果是4x2-25. (　    ) ✕ 提示 (2x-5)(-2x-5)=-(2x-5)(2x+5)=-(4x2-25)=25-4x2. 3.若方程25x2-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则k的值为11.(　    ) ✕ 提示 根据题意知-(k-1)=±2×5×1, ∴1-k=±10,∴k=-9或k=11. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 4.若k>1,则关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0有两个正根. (　    ) √ 提示 Δ=[-(4k+1)]2-4×2(2k2-1)=8k+9,∵k>1,∴Δ>17,∴方程有两个不相等的实数根,设为x1,x2, 则x1+x2= > >0,x1x2= > >0, ∴x1>0,x2>0,∴方程有两个正根. 5.二元一次方程组的解 构成的集合可表示为{(1,1)}. (　    ) √ 6.当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能含有无穷多个元素. (        ) √ 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 疑难 1 因式分解与解方程 讲解分析 1.十字相乘法分解因式的基本模型为ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)(a≠0).其实质是二项式乘法的 逆运算,关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积, 并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b,即“十字”左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于 常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.务必注意各项系数的符号. 2.方程的解法 (1)一元一次方程转化为ax=b(a≠0)的形式求解. (2)一元二次方程用因式分解法或公式法求解. (3)高次方程通过因式分解转化为(x-x1)·(x-x2)…(x-xn)=0的形式求解. (4)分式方程通过通分或换元转化为多项式方程求解. (5)含根式的无理方程通过乘方或换元转化为多项式方程求解. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求下列方程的解集: (1)x2+4x-5=0; (2)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0; (3)x+ = ; (4)x+ =3. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由x2+4x-5=0,得(x+5)(x-1)=0,解得x1=-5,x2=1.因此所求解集为{-5,1}. (2)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0, 即[(x2-4x)-5][(x2-4x)+3]=0, 即(x2-4x-5)(x2-4x+3)=0, 即(x+1)(x-5)(x-1)(x-3)=0, 解得x1=-1,x2=5,x3=1,x4=3. 因此所求解集为{-1,1,3,5}. (3)因为x+ = , 所以x-1+ = . 设t=x-1(t≠0),则t+ = , 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 所以2t2-5t+2=0, 所以(t-2)(2t-1)=0, 所以t1=2,t2= ,即x1-1=2,x2-1= , 解得x1=3,x2= . 因此所求解集为 . (4)设t= ,则t≥0,x=t2+1. 故方程可化为t2+1+t=3,即(t+2)(t-1)=0, 解得t1=1,t2=-2(舍去). 所以 =1,解得x=2. 因此所求解集为{2}. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,那么x1+x2=- ,x1x2= . 2.常见的涉及一元二次方程的两根x1,x2的代数式的重要变形: (1) + =(x1+x2)2-2x1x2; (2) + = ; (3) + = = ; (4) + = = ; (5)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2; (6)(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2; 疑难 2 一元二次方程根与系数的关系的应用 (7)|x1-x2|= = . 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.若x1,x2满足 + =16+x1x2,则实 数k的值为 (　    ) A.-2或6　　　    B.6　　　    C.-2　　　    D.  解析    ∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2, ∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0, 解得k≤ . 由根与系数的关系可得x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1, ∵ + =(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2, ∴(1-2k)2-2(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0, 解得k=-2或k=6(舍去), ∴实数k的值为-2.故选C. C 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,求下列各式的值: (1) + ;(2) + ;(3) + . 解析    因为方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,所以由根与系数的关系可得x1+x2=3,x1x2=1. (1) + =(x1+x2)2-2x1x2=32-2×1=7. (2) + =(x1+x2)( -x1x2+ )=3×(7-1)=18. (3) + = = =7. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 列一次方程组解应用题的一般步骤 (1)找等量关系:认真阅读题目,弄清楚题意,明确问题中的已知量和未知量,找出等量关系; (2)设未知数:用字母表示未知数,并用代数式表示其他相关量; (3)列方程组:根据题目中的相等关系,列出方程组; (4)解方程组:求出未知数的值; (5)检验:检验所得的未知数是否合理; (6)写出答案. 疑难 3 一次方程组在实际问题中的应用 讲解分析 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 某服装厂专门安排210名工人进行衬衣的手工缝制,每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1 个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个,或衣身15个,或衣领12个,那么应该安排多少名 工人缝制衣袖,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套? 解析    设应该安排x名工人缝制衣袖,y名工人缝制衣身,z名工人缝制衣领,才能使每天缝制出 的衣袖、衣身、衣领正好配套, 依题意有  解得x=120,y=40,z=50. 故应该安排120名工人缝制衣袖,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 $$