第一章 集合与常用逻辑用语1（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第一章　 集合与常用逻辑用语 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题“∀x>0,2x+1≥2”的否定为(　　) A.∀x>0,2x+1<2　　　　B.∀x≤0,2x+1<2 C.∃x≤0,2x+1≥2　　　　D.∃x>0,2x+1<2 2.下列结论不正确的是(　　) A.2∈Z　　　　B.{1,2,3}⊆{1,2}　　 C.{1,2}∩⌀=⌀　　　　D.N∪R=R 3.已知集合U={x∈N|0<x<8},A={1,2,3},B={3,4,5,6},则下列结论错误的是(　　) A.A∩B={3}　　　　B.A∪B={1,2,3,4,5,6}　　 C.∁UA={4,5,6,7,8}　　　　D.∁UB={1,2,7} 4.以下选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B.p:a>2,b<2,q:a>b C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解 5.下列四个命题是真命题的是(　　) A.∀n∈R,n2≥n　　　　B.∃n∈R,∀m∈R,m·n=m C.∀n∈R,∃m∈R,m2<n　　　　D.∀n∈R,n2<n 6.对于非空数集M,定义f(M)表示该集合中所有元素的和.给定集合S={1,2,3,4},定义集合T={f(A)|A⊆S,A≠⌀},则集合T中元素的个数是　(　　) A.1　　B.10　　C.11　　D.15 7.设S是实数集R的一个非空子集,如果对于任意的a,b∈S(a与b可以相等,也可以不相等),a+b∈S且a-b∈S,则称S是“和谐集”,则下列命题中为假命题的是(　　) A.存在一个集合S,它既是“和谐集”,又是有限集 B.集合S={x|x=k,k∈Z}是“和谐集” C.若S1,S2都是“和谐集”,则S1∩S2≠⌀ D.对任意两个不同的“和谐集”S1,S2,总有S1∪S2=R 8.已知A={a1,a2,a3,a4},B={,,},且a1<a2<a3<a4,其中ai∈Z(i=1,2,3,4),若A∩B={a2,a3},a1+a3=0,且A∪B的所有元素之和为56,则a3+a4=(　　) A.8　　B.6　　C.7　　D.4 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知非空集合A,B,C都是R的子集,满足B⊆A,A∩C=⌀,则(　　) A.A∪B=A　　　　B.A∩(∁RC)=A　　 C.B∩C=B　　　　D.B∩(∁RC)=B 10.已知命题p:∀x∈[0,],a≥x2,命题q:∃x∈R,x2+4x+a=0,若命题p与命题q均为真命题,则实数a的取值可能为(　　) A.　　B.5　　C.　　D.4 11.下列说法正确的有(　　) A.命题“∀x∈R,x2>-1”的否定是“∃x∈R,x2≤-1” B.“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件 C.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负两个根”的充要条件 D.已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx-1=0},全集U=R,若A∪(∁UB)=R,则实数m的取值集合为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知不等式2x-m≤3成立的一个充分不必要条件是-5<x<4,则实数m的取值范围是　　　　.  13.某校有36名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每名学生至多参加两个,已知参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理竞赛的有6人,同时参加物理和化学竞赛的有4人,则同时参加数学和化学竞赛的有　　　　人.  14.设集合M={1,2,3,4,6},S1,S2,…,Sk都是M的含有两个元素的子集,则k=　　　　;若集合A是由S1,S2,…,Sk中的若干个组成的集合,且满足:对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj}(i≠j,i,j∈{1,2,3,…,k}),都有ai<bi,aj<bj,且≠,则A中元素个数的最大值是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设集合A={x|x2+ax-3=0},B={x|x2-4x+b=0},A∩B={1},C={-3,2}. (1)求a,b的值及A,B; (2)求(A∪C)∩(B∪C). 16.(15分)已知集合A={x|-3≤x≤6},B={x|2a-1≤x≤a+1}. (1)若a=-2,求A∪B; (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围. 17.(15分)已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1. 18.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z}. (1)判断8,9,10是否属于集合A; (2)若集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈A”的充分不必要条件是“x∈B”; (3)写出所有满足集合A的偶数构成的集合. 19.(17分)非空集合A⊆R+,满足∀x∈A,总有∉A,记集合T(A)=(x,y)x∈A,y∈A,∈A. (1)求证:∀x∈A,(x,x)∉T(A); (2)若T(A)中只有1个元素(a,b),求证:a=b2; (3)若集合A={a,b,c,d,e},且a<b<c<d<e,T(A)中恰有10个元素,求证:c2=ae. 答案全解全析 1.D　 2.B　A、C、D显然正确;由{1,2}⫋{1,2,3}知B错误.故选B. 3.C　由题意知,U={x∈N|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7},A={1,2,3},B={3,4,5,6}, 则A∩B={3},A∪B={1,2,3,4,5,6},∁UA={4,5,6,7},∁UB={1,2,7}.故选C. 4.D　对于选项A,由3x+2>5得x>1,由-2x-3>-5得x<1,所以p⇒/q,q⇒/p,所以p是q的既不充分也不必要条件;对于选项B,由a>2,b<2得a>b,故p⇒q,当a=1,b=0时,满足a>b,但不满足a>2,故q⇒/p,故p是q的充分不必要条件;对于选项C,易知p⇒/q,q⇒p,故p是q的必要不充分条件;对于选项D,若a≠0,则关于x的方程ax=1有唯一解,若关于x的方程ax=1有唯一解,则a≠0,所以p⇔q,故p是q的充要条件.故选D. 5.B　对于选项A,令n=,则=<,故A错误; 对于选项B,令n=1,则∀m∈R,m×1=m成立,故B正确; 对于选项C,令n=-1,则m2<-1显然无实数解,故C错误; 对于选项D,令n=-1,则(-1)2<-1显然不成立,故D错误.故选B. 6.B　由题意知A是S的非空子集. 当A中的元素个数为1时, f(A)可取1,2,3,4; 当A中的元素个数为2时, f(A)可取3,4,5,6,7; 当A中的元素个数为3时, f(A)可取6,7,8,9; 当A中的元素个数为4,即A=S时, f(A)=10. 综上所述,T={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.集合T中有10个元素.故选B. 7.D　如S={0}既是和谐集,又是有限集,故A是真命题; 设x1=k1,x2=k2,k1,k2∈Z, 则x1+x2=(k1+k2)∈S,且x1-x2=(k1-k2)∈S, ∴S={x|x=k,k∈Z}是和谐集,故B是真命题; 任意和谐集中一定含有0,∴S1∩S2≠⌀,故C是真命题; 取S1={x|x=2k,k∈Z},S2={x|x=3k,k∈Z}, 则S1,S2均是和谐集,但5∉S1,5∉S2,∴S1∪S2不是实数集,故D是假命题.故选D. 8.A　由a1+a3=0得a1=-a3,所以=, 又a1<a2<a3<a4,所以a1<0,a3>0, 因为A∩B={a2,a3}⊆{,,},所以a2≥0. ①若a2>0,由a2∈Z,得a2≥1,则a4>a3>1, 所以a2≤,a3<=,a4<, 所以>a3>a2,即∉{a2,a3},从而{a2,a3}={,}, 所以所以a3===, 即a3=0或a3=1,与a3>a2≥1矛盾. ②若a2=0,则a4>a3>a2=0,从而>a4, 所以>a3>a2,即∉{a2,a3},从而{a2,a3}={,}, 所以a2=0=,a3==, 所以a3=0或a3=1, 又a3>a2=0,所以a3=1,a1=-a3=-1, 则A={-1,0,1,a4},B={1,0,},易得A∪B={-1,0,1,a4,}, 所以-1+0+1+a4+=56, 所以a4=7或a4=-8(舍), 所以a3+a4=8,故选A. 9.ABD　作出Venn图,如图所示: 由图可知A∪B=A,A∩(∁RC)=A,B∩C=⌀,B∩(∁RC)=B,因此A、B、D正确,C错误.故选ABD. 10.AD　对于命题p,∵∀x∈[0,],a≥x2, ∴a≥=3,∴a≥3. 对于命题q,∵∃x∈R,x2+4x+a=0, ∴Δ=42-4a≥0,解得a≤4. 若命题p与命题q均为真命题,则3≤a≤4,结合选项知选AD. 11.AC　对于A,命题“∀x∈R,x2>-1”的否定是“∃x∈R,x2≤-1”,因此A正确.对于B,由x>y不一定得到|x|>|y|,例如x=-2,y=-3,故“|x|>|y|”不是“x>y”的必要条件,因此B错误.对于C,若x2-2x+m=0有一正一负两个根,则需要满足⇒m<0,因此“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负两个根”的充要条件,因此C正确.对于D,A={x|x2+x-6=0}={-3,2},要使A∪(∁UB)=R,则(∁UA)⊆(∁UB),进一步可得B⊆A,因此B=⌀或B={-3}或B={2},当B=⌀时,显然满足,此时m=0;当B={-3}时,-3m-1=0⇒m=-,符合题意;当B={2}时,2m-1=0⇒m=,符合题意.综上,实数m的取值集合为,因此D错误.故选AC. 12.答案　{m|m≥5} 解析　由2x-m≤3得x≤,由题意得{x|-5<x<4}⫋,所以≥4,解得m≥5, 所以实数m的取值范围是{m|m≥5}. 13.答案　8 解析　由每名学生至多参加两个竞赛,可知不可能出现一名学生同时参加数学、物理、化学竞赛, 设参加数学、物理、化学竞赛的学生构成的集合分别为A,B,C, 则card(A∩B)=6,card(B∩C)=4,card(A∩B∩C)=0. 由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)知36=26+15+13-6-card(A∩C)-4+0, 因此card(A∩C)=8,即同时参加数学和化学竞赛的有8人. 14.答案　10;6 解析　集合M的含有两个元素的子集为{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{2,3},{2,4},{2,6},{3,4},{3,6},{4,6},共10个,则k=10. 因为≠,所以{1,2},{2,4},{3,6}中只能取一个,{1,3},{2,6}中只能取一个,{2,3},{4,6}中只能取一个, 故A中元素个数的最大值为6. 15.解析　(1)因为A={x|x2+ax-3=0},B={x|x2-4x+b=0},A∩B={1}, 所以(2分) 解得a=2,b=3,(4分) 因此A={x|x2+2x-3=0}={1,-3},B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.(8分) (2)由(1)得A={1,-3},B={1,3}, 又C={-3,2},所以A∪C={1,2,-3},B∪C={1,2,3,-3},(11分) 因此(A∪C)∩(B∪C)={-3,1,2}.(13分) 16.解析　(1)当a=-2时,集合B={x|-5≤x≤-1},(2分) 又A={x|-3≤x≤6},∴A∪B={x|-5≤x≤6}.(5分) (2)∵A∩B=B,∴B⊆A,(7分) 当B=⌀时,满足题意,此时2a-1>a+1,解得a>2.(10分) 当B≠⌀时,要使B⊆A,则解得-1≤a≤2.(14分) 综上所述,实数a的取值范围是{a|a≥-1}.(15分) 17.证明　充分性: 若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1, 充分性成立.(7分) 必要性: 若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0, 即a4-(b4+2b2+1)=0,∴a4-(b2+1)2=0, ∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,(10分) ∵a2+b2+1≠0, ∴a2-b2-1=0,(12分) 即a2-b2=1,必要性成立.(14分) 综上,a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.(15分) 18.解析　(1)∵8=32-1,9=52-42,∴8∈A,9∈A,(2分) 若10=m2-n2,m,n∈Z,则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0,(4分) 由10=1×10=2×5,得或显然均无整数解, 因此10∉A.(6分) (2)证明:∵2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z, ∴2k+1∈A,即一切奇数都属于A,(9分) 又∵8∈A,但8∉B,∴“x∈A”的充分不必要条件是“x∈B”.(11分) (3)由m2-n2=(m+n)(m-n)可得,(13分) ①当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,(m+n)(m-n)为4的倍数;　(15分) ②当m,n一奇,一偶时,m+n,m-n均为奇数,(m+n)(m-n)为奇数. 综上,所有满足集合A的偶数构成的集合为{x|x=4k,k∈Z}.(17分) 19.证明　(1)假设∃x0∈A,使得(x0,x0)∈T(A), 由题意得x0>0,=1∈A,(2分) 由∀x∈A,∉A,不妨取x=1∈A,得1=∉A,得出矛盾, 所以假设不成立,故∀x∈A,(x,x)∉T(A).(5分) (2)由(a,b)∈T(A),得a,b>0,a,b∈A,∈A,(7分) 显然=b,由定义知∈T(A),(9分) 又T(A)中只有一个元素,所以必有(a,b)=,即b=, 所以a=b2.(11分) (3)易得A的二元子集有{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e},共10个.由于∀x∈A,∉A,因此1∉A, 同时,若(p,q)∈T(A),则∈A,从而∉A,所以必有(q,p)∉T(A),(12分) 因为T(A)中恰有10个元素,所以A的每个二元子集中的元素组成的数对都是T(A)中的一个元素,(14分) 即∀p,q∈A,若p≠q,则(p,q)∈T(A)或(q,p)∈T(A),即∈A或∈A, 若a<1<e,则<a<e<,此时∉A且∉A,与上述结果矛盾, 所以0<a<e<1或1<a<e.(15分) 当0<a<e<1时,A中所有元素都小于1, 于是∀p,q∈A,若p>q>0,则1<,故∉A,所以必有∈A, 此时a<<<<,故a,,,,是A中五个不同的元素, 所以=b,=c,=d,=e, 解得e2=d,e3=c,e4=b,e5=a,因此c2=e6=ae.(16分) 当1<a<e时,A中所有元素都大于1, 于是∀p,q∈A,若p>q>0,则1>,故∉A,所以必有∈A, 此时<<<<e,故,,,,e是A中五个不同的元素, 所以=a,=b,=c,=d, 解得a2=b,a3=c,a4=d,a5=e,因此c2=a6=ae. 综上所述,c2=ae.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$