第3章 单元整合练 函数性质的综合运用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

单元整合练　函数性质的综合运用 1.已知函数f(x+2)是偶函数,当x1,x2∈[2,+∞)时,[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0恒成立,设a=f(1),b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<b<a　　B.b<a<c　　C.c<a<b　　D.a<b<c 2.定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-1)=0,则关于x的不等式xf(x)<0的解集为(　　) A.(-1,0)∪(0,1)　　　　B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)　　　　D.(-1,0)∪(1,+∞) 3.(多选题)已知函数f(x)=是奇函数,则下列选项正确的有(　　) A.b=0　　　　 B. f(x)在区间(1,+∞)上单调递减 C. f(x)的最小值为-　　　　 D. f(x)的最大值为2 4.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(-2x+1)为奇函数,则(　　) A. f(-1)=0　　　　B. f(2)=0　　 C. f(4)=0　　　　D. f=0 5.数学用语中,max{a,b}表示a,b中较大的数.已知函数f(x)=max{x2+4x,x2-4x},若f(2-a)>f(2a),则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　 C.　　　　D. 6.已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R,且y=f(1+x)为偶函数,y=g(x+1)+1为奇函数,∀x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+3,则f(4)g(4)=(　　) A.66　　B.70　　C.74　　D.78 7.已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)的图象关于直线x=1对称,给出下列说法:①f(x+4)=f(x);②f(22)=3;③f(x)图象的一条对称轴为直线x=6;④f(1)+f(2)+…+f(23)=0.其中正确的个数是(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 8.(多选题)设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,下列说法正确的有(　　) A.函数f(x)为偶函数 B.当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x) C.当x∈R时, f(f(x))≤f(x) D.当x∈[-4,4]时, f(x-2)≥f(x) 9.(多选题)设奇函数f(x)的定义域为R,且满足①f(x)=f(2-x);②当x∈[2,3]时, f(x)=2-x,则下列说法正确的是(　　) A. f(x)的图象存在对称轴 B. f(7)=-1 C.当x∈[-5,-4]时, f(x)=x+4 D.方程5f(x)=x+2有4个实数根 10.高斯函数是数学中的一个重要函数,在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设x∈R,用符号[x]表示不大于x的最大整数,如[1.6]=1,[-1.6]=-2,函数f(x)=[x]叫做高斯函数.给出下列关于高斯函数的说法: ①f(-3)=-3; ②若f(a)=f(b),则|a-b|<1; ③函数y=f(x)-x的值域是[-1,0); ④函数y=xf(x)在[1,+∞)上单调递增. 其中所有正确说法的序号是　　　　　　.  11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的实数x1,x2,且x1≠x2,不等式x1 f(x1)+x2 f(x2)<x1 f(x2)+x2 f(x1)恒成立,则不等式(x+1)f(1-2x)<0的解集为　　　　.  12.定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=3-,则f(2 023)=　　　　.  13.已知函数h(x)=x2+bx+c是偶函数,且h(-1)=0, f(x)=. (1)当x∈[1,2]时,求函数f(x)的值域; (2)设F(x)=x2+-2af(x),x∈[1,2],a∈R,求函数F(x)的最小值g(a). 14.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R). (1)若f(4)=0,当x∈[2,5]时,求f(x)的值域; (2)讨论函数f(x)的奇偶性; (3)设实数m≥1,若不等式m-2≤f(x)对任意的x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围. 15.已知函数f(x)=(a,b∈R)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)判断f(x)的单调性,并利用定义证明你的结论; (3)设函数g(x)=f(x-1)+2,若存在x1,x2∈,使得g(mx1)+g()-5f(x2)>0成立,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 单元整合练　函数性质的综合运用 1.C 2.A 3.ABC 4.A 5.D 6.B 7.B 8.ABC 9.ABC 1.C　因为当x1,x2∈[2,+∞)时,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0恒成立,所以f(x)在[2,+∞)上单调递减, 又函数f(x+2)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称, 因此a=f(1)=f(3),c=f=f, 由函数f(x)在[2,+∞)上单调递减, 得f>f(3)>f,即f>f(1)>f,所以b>a>c.故选C. 2.A　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(0)=0, f(1)=-f(-1)=0, 可画出其大致图象,如图所示, 因为xf(x)<0, 所以当x>0时, f(x)<0,解得0<x<1, 当x<0时, f(x)>0,解得-1<x<0, 当x=0时,显然不合题意, 所以不等式xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1),故选A. 3.ABC　对于A,因为函数f(x)=是奇函数,所以f(-x)+f(x)=+=-=0,所以b=0,A正确; 对于B,由A中结论可得f(x)=,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=-==, 由于x1>x2>1,所以x2-x1<0,x1x2-1>0,故有f(x1)-f(x2)<0, 则函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,B正确; 对于C,D,任取x3,x4∈(0,1),且x3<x4,则f(x3)-f(x4)=, 由于0<x3<x4<1,所以x4-x3>0,x3x4-1<0,故有f(x3)-f(x4)<0,则函数f(x)在区间(0,1)上单调递增, 又f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,又当x>0时, f(x)>0,当x<0时, f(x)<0, 所以f(x)的最大值为f(1)=,最小值为f(-1)=-,因此C正确,D错误.故选ABC. 4.A　∵f(x)的定义域为R, f(x+2)为偶函数,∴f(2-x)=f(2+x),可得f(-x)=f(4+x)①, ∵f(-2x+1)为奇函数,∴f(1)=0(奇函数的特殊值),且-f(-2x+1)=f(2x+1), 令2x=t,则-f(-t+1)=f(t+1),则-f(-t)=f(t+2),即f(-x)=-f(2+x)②, 由①②得f(2+x)=-f(4+x),∴f(x)=-f(2+x), ∵f(1)=0,∴f(-1)=-f(2+(-1))=-f(1)=0, ∴A正确,B,C,D无法判断.故选A. 5.D　因为f(x)=max{x2+4x,x2-4x}=所以f(x)= 易知f(x)为偶函数, 当x≥0时, f(x)=x2+4x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当x<0时, f(x)=x2-4x,则f(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以由f(2-a)>f(2a)可得|2-a|>|2a|, 则(2-a)2>(2a)2,则(3a-2)(a+2)<0,解得-2<a<,故实数a的取值范围是. 故选D. 6.B　由y=f(1+x)为偶函数,得f(1+x)=f(1-x), 所以f(x)的图象关于直线x=1对称, 又y=g(x+1)+1为奇函数,所以g(x+1)+1=-g(-x+1)-1,所以g(x)的图象关于点(1,-1)对称, 又∀x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+3, 所以f(-2)+g(-2)=4+3=7, 又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(-2)=f(4), 又g(x)的图象关于点(1,-1)对称,所以g(-2)=-g(4)-2,所以f(4)-g(4)=f(-2)+g(-2)+2=9, 又f(4)+g(4)=42+3=19,所以f(4)=14,g(4)=5, 所以f(4)g(4)=70. 故选B. 7.B　对于①,由f(x)的定义域为R,且f(x)的图象关于直线x=1对称,得f(-x+1)=f(x+1),即f(2+x)=f(-x), 由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x), 所以f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故①正确; 对于②,由f(x)为定义在R上的奇函数,可知f(0)=0, 在f(x+2)=-f(x)中,令x=0,得f(2)=-f(0)=0, 所以f(22)=f(2)=0,故②错误; 对于③,因为f(-x+1)=f(x+1), 所以f(2-x)=f(x)=-f(x+2),即f(2-x)+f(x+2)=0, 可知函数f(x)的图象关于点(2,0)对称, 没有足够条件说明f(x)的图象关于直线x=2对称, 故结合周期性可知f(x)的图象不一定关于直线x=6对称,故③错误; 对于④,由f(x+2)=-f(x),可得f(x)+f(x+2)=0, 令x=1,可得f(1)+f(3)=0, 令x=2,可得f(2)+f(4)=0, 即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 因此f(1)+f(2)+…+f(23)=5[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=0,故④正确. 故选B. 名师点睛　函数y=f(x)的定义域为D,∀x∈D, (1)存在常数a,b,使得f(x)+f(2a-x)=2b⇔f(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. (2)存在常数a,使得f(x)=f(2a-x)⇔f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 8.ABC　画出f(x)的图象,如图所示: 对于A选项, f(x)=其定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)恒成立,故选项A正确; 对于B选项,当x≥1时, f(x)=|x-2|, f(x-2)的图象由f(x)的图象向右平移两个单位长度得到,所以f(x-2)≤f(x)恒成立,故选项B正确; 对于C选项,由图知,当x∈R时, f(x)≥0,可令t=f(x),由y=f(t)和y=t(t≥0)的图象知,当t≥0时,y=t的图象在y=f(t)的图象的上方,且两图象在点(0,0),(1,1)处重合,所以当t≥0时,t≥f(t),即f(f(x))≤f(x)成立,故选项C正确; 对于D选项,结合B选项知D选项错误. 故选ABC. 9.ABC　对于A,因为f(x)=f(2-x)⇔f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确; 对于B,因为f(x)是R上的奇函数, 所以f(x)=-f(-x), 即有f(2-x)=-f(-x)⇔f(2+x)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(7)=f(3+4)=f(3)=2-3=-1,故B正确; 对于C,当x∈[-5,-4]时,2+x∈[-3,-2], 因此-(x+2)∈[2,3],所以f(-(x+2))=2-[-(x+2)]=x+4,即-f(x+2)=x+4, 又因为f(2+x)=-f(x), 所以f(x)=x+4,故C正确; 对于D,方程5f(x)=x+2的解的个数即函数y=f(x)的图象与直线y=+的交点个数, 画出函数y=f(x)与y=+的图象,如图, 由图知y=f(x)的图象与直线y=+有5个交点,故方程5f(x)=x+2有5个实数根,故D错误. 故选ABC. 10.答案　①②④ 解析　根据题意得, f(x)=[x]=依次分析4个说法: 对于①,由已知得f(-3)=[-3]=-3,正确; 对于②,若f(a)=f(b),则[a]=[b],必有|a-b|<1,正确; 对于③,当x=3时, f(3)=[3]=3,此时f(3)-3=0,③错误; 对于④,当x≥1时, y=xf(x)=x·[x]= 易得y=xf(x)在[1,+∞)上单调递增,④正确.故答案为①②④. 11.答案　 解析　不等式x1 f(x1)+x2 f(x2)<x1 f(x2)+x2 f(x1), 即x1[f(x1)-f(x2)]<x2[f(x1)-f(x2)], 即(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0, 故函数f(x)在R上单调递减. 又函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0, 由(x+1)f(1-2x)<0, 得或解得-1<x<, 因此不等式的解集是. 12.答案　3- 解析　由f(x+2)=3-, 可得3-f(x+2)=, 则[3-f(x+2)]2=6f(x)-[f(x)]2, 即[f(x+2)]2-6f(x+2)+[f(x)]2-6f(x)+9=0, 令g(x)=[f(x)]2-6f(x),则g(x+2)+g(x)+9=0, 即g(x+2)=-g(x)-9, 则g(x+4)=-g(x+2)-9=-[-g(x)-9]-9=g(x), 所以g(2 023)=g(4×505+3)=g(3), 由f(x)为偶函数,可得g(x)=[f(x)]2-6f(x)为偶函数, 由g(x+2)=-g(x)-9,可得g(1)=-g(-1)-9, 则g(-1)=g(1)=-g(-1)-9,则g(-1)=-, 又g(x+4)=g(x),所以g(3)=g(-1)=-, 则g(2 023)=g(3)=-, 即g(2 023)=[f(2 023)]2-6f(2 023)=-, 解得f(2 023)=3±, 又f(x+2)=3-≤3, 所以f(2 023)≤3, 因此f(2 023)=3-. 13.解析　(1)因为函数h(x)=x2+bx+c是偶函数,所以b=0. 由h(-1)=1+c=0,可得c=-1,则h(x)=x2-1, 故f(x)==x-, 易知f(x)=x-在[1,2]上单调递增, 所以f(x)min=f(1)=0, f(x)max=f(2)=, 故f(x)的值域为. (2)由(1)可得F(x)=x2+-2a=-2a+2,x∈[1,2], 令m=x-,x∈[1,2],故m∈, 则F(x)=-2a+2,x∈[1,2]可转化为G(m)=m2-2am+2,m∈,易知y=m2-2am+2的图象开口向上,对称轴方程为m=a. ①当a≤0时,G(m)在上单调递增, 故G(m)min=G(0)=2; ②当a∈时,G(m)在[0,a)上单调递减,在上单调递增, 故G(m)min=G(a)=2-a2; ③当a≥时,G(m)在上单调递减, 故G(m)min=G=-3a. 故函数F(x)的最小值g(a)= 14.解析　(1)∵f(4)=4|m-4|=0,∴m=4. ∴f(x)=x|4-x|= ∴f(x)在[2,4]上单调递减,在(4,5]上单调递增, ∴f(x)的最小值为f(4)=0, 又f(2)=4, f(5)=5, ∴f(x)的最大值为5. ∴当x∈[2,5]时, f(x)的值域为[0,5]. (2)当m=0时, f(x)=x|x|, f(x)的定义域为R,又f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)是奇函数. 当m≠0时, f(x)=x|m-x|, f(-x)=-x|m+x|, ∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x), 故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 综上,当m=0时, f(x)为奇函数,当m≠0时, f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)f(x)= ①若1≤m<3,则f(x)= ∴f(x)在[1,3]上的最小值为f(m)=0, 故m-2≤0,解得m≤2,故1≤m≤2. ②若3≤m≤6,则当x∈[1,3]时, f(x)=-x2+mx=+, 此时∈,故f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)在[1,3]上的最小值为f(1)=m-1或f(3)=3m-9, ∴解得m≥,∴≤m≤6. ③若m>6,则>3,此时f(x)在[1,3]上单调递增,故f(x)在x=1处取得最小值,为m-1,∴m-2≤m-1,恒成立,故m>6. 综上,m的取值范围是[1,2]∪. 15.解析　(1)由于f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数, 所以f(0)=-=0,则b=0,所以f(x)=, 由f(1)==1,得a=1, 所以f(x)=,经检验,符合题意. (2)f(x)在[-1,1]上单调递增,证明如下: ∀x1,x2∈[-1,1],且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=, 又-1≤x1<x2≤1,所以x1-x2<0,1-x1x2>0, 所以<0, 则f(x1)<f(x2),故f(x)在[-1,1]上单调递增. (3)存在x1,x2∈,使得g(mx1)+g()-5f(x2)>0成立, 即存在x1,x2∈,使得f(mx1-1)+f(-1)-5f(x2)+4>0成立, 即f(mx1-1)+f(-1)>5f(x2)-4(双变量不等式的解决方法是变量分离), 因为f(x)在上单调递增,所以f(x)min=f=(5f(x)-4<a有解⇔5f(x)min-4<a有解), 所以存在x∈,使得f(mx-1)+f(x2-1)>5×-4=0成立, 即存在x∈,使得f(mx-1)>f(1-x2), 即∃x∈,使mx-1>1-x2,且-1≤mx-1≤1, 即m>=-x有解,且0≤m≤,x∈, 因为函数y=-x在x∈上单调递减,当x=1时,函数取得最小值1,所以m>1, m>有解⇔m> 又y=在上单调递减,所以当x=时,函数取得最大值4,因此0≤m≤4, m≤有解⇔m≤ 又m>1,所以1<m≤4.故m的取值范围为(1,4]. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$