第2章 第2课时 基本不等式的其他应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　基本不等式的其他应用 基础过关练 题组一　利用基本不等式比较大小 1.设0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是　(　　) A.　　B.a2+b2　　C.2ab　　D.a 2.已知a,b,x,y都是正实数,且+=1,x2+y2=8,则ab与xy的大小关系是　　　　.   3.某商店出售的某种饮料需分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价 %,若p,q>0,且p≠q,则提价较多的方案是　　　　.  题组二　利用基本不等式证明不等式 4.已知a>0,b>0,a+b=ab. (1)求证:a+b≥4; (2)求证:≤. 5.(教材习题改编)已知a,b,c是三个不全相等的正数.求证:++>3. 6.已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1. (1)求证:≥8; (2)求证:++≥9. 题组三　利用基本不等式解决实际问题 7.(教材习题改编)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(　　) A.30件　　　　B.60件 C.80件　　　　D.100件 8.用一长度为2 m的铁丝围成一个长方形,则其面积的最大值为　　　　.  9.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则经过　　　　h后池水中药品的浓度达到最大.  10.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4 000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s(单位:元)满足s=3 000+50x.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少? 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 11.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD,如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个全等的等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观,要求海报上所有方向的留空宽度均为10 cm,设EF=x cm. (1)当x=100时,求海报纸的面积; (2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 能力提升练 题组一　利用基本不等式比较大小 1.已知a,b>0,则下列不等式中不成立的是(　　) A.a+b+≥2　　　　 B.(a+b)≥4 C.≥2　　　　 D.> 2.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　) A.≥　　　　B.+≥1　　C.≥2　　　　D.a2+b2≥8 3.设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则(　　) A.v=　　　　B.v= C.<v<　　　　D.a<v< 4.近来牛肉价格起伏较大,假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤(a≠b),学校甲食堂和乙食堂在这两周中购买牛肉的方式不同,甲食堂每周购买6 000元的牛肉,乙食堂每周购买80斤牛肉,甲、乙食堂两次购买牛肉的平均单价分别记为m1元,m2元,则下列结论正确的是(　　) A.m1=m2　　　　B.m1>m2　　 C.m2>m1　　　　D.m1,m2的大小无法确定 题组二　利用基本不等式证明不等式 5.已知集合D={(x1,x2)|x1+x2=2,x1>0,x2>0}. (1)求+的最小值; (2)对任意(a,b)∈D,证明:+≥. 6.若正数a,b,c满足a+b+c=1. (1)求ab+bc+ca的最大值; (2)求证:++≥. 题组三　基本不等式的综合应用 7.已知三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=10,则此三角形面积的最大值为　　　　.  8.在只剩一面墙的破屋基础上要求修建新屋(修四面墙),旧墙长12米,新屋的面积预定为112平方米,且保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋.已知这项工程的费用要求是:①新料砌墙的费用为a元/米;②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%;③拆旧墙的一部分,利用旧料来砌同样长度的新墙,这费用相当于用新料砌墙的50%.在这种情况下旧墙保留约多少米最为合算? 9.某健身器材厂研制了一种足浴气血养身机,具体原理是:在足浴盆右侧离中心x(0<x<20)厘米处安装臭氧发生孔,产生的臭氧对双腿起保健作用.根据检测发现,该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用.已知臭氧发生孔工作时,对左脚的干扰度与x2成反比,比例系数为4,对右脚的干扰度与400-x2成反比,比例系数为k,且当x=10时,对左脚和右脚的干扰度之和为0.065. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y; (2)求(1)中y的最小值. 教材深研拓展 10.现有一架坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人要用它称物体的质量,他将物体放在左右托盘各称一次,记两次称量的结果分别为a,b,设物体的真实质量为G,则(　　) A.=G　　B.≤G　　C.>G　　D.<G 11.一家黄金专卖店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ≠1),一位顾客到店里购买10克黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于10 g,等于10 g,还是大于10 g?为什么? (2)如果售货员又将10 g的砝码放在天平左盘中,然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,请问要使得三次黄金质量总和最小,商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少?请说明理由. 答案与分层梯度式解析 第2课时　基本不等式的其他应用 基础过关练 1.B　解法一:因为0<a<b,所以1=a+b>2a,所以a<.又因为a2+b2>2ab,所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1=a+b>2,所以ab<,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,即a2+b2>,故选B. 解法二(特值检验法):取a=,b=,则2ab=,a2+b2=.因为>>>,所以a2+b2最大,故选B. 2.答案　ab≥xy 解析　因为a>0,b>0,+=1,所以ab=ab·=a+b≥2,当且仅当a=b=2时等号成立,所以ab≥4.因为xy≤=4,当且仅当x=y=2时等号成立,所以ab≥xy. 3.答案　乙 解析　不妨设原价为1,则按方案甲提价后的价格为(1+p%)(1+q%),按方案乙提价后的价格为, 易知≤=1+,当且仅当1+p%=1+q%,即p=q时等号成立,又p≠q,所以(1+p%)(1+q%)<,所以提价较多的方案是乙. 4.证明　(1)因为a>0,b>0,所以a+b=ab≤,解得a+b≥4, 当且仅当a=b=2时取等号,所以a+b≥4成立. (2)因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2,所以ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号, 所以=1+++=1++=2+≤2+=,所以≤成立. 5.证明　∵a,b,c是三个不全相等的正数, ∴三个不等式+≥2,+≥2,+≥2的等号不能同时成立, 则+++++>6, ∴++>3, 即++>3. 6.证明　(1)因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1, 所以 = = ≥==8=右边,当且仅当a=b=c=时等号成立, 故≥8. (2)因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1, 所以++=++ =+++3 ≥2+2+2+3=2×3+3=9,当且仅当a=b=c=时等号成立, 故++≥9. 7.B　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元, 则y==+≥2=30,当且仅当=,即x=60时等号成立, 故每批应生产产品60件.故选B. 8.答案　 m2 解析　设围成的长方形的一边的长为x m,则其邻边长为(1-x)m, 设该长方形的面积为S m2, 则S=x(1-x)≤=,当且仅当x=时取等号, 所以面积的最大值为 m2. 9.答案　2 解析　当t=0时,C=0,当t>0时,C==≤=5,当且仅当t=,即t=2时取等号. 因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大. 10.解析　设楼房每平方米的平均综合费用为y元. 依题意得y=s+=50x++3 000(x≥12,x∈N*). 因为50x++3 000≥2×+3 000=5 000, 当且仅当50x=,即x=20时,等号成立, 所以当x=20时,y取得最小值5 000. 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元. 11.解析　(1)设阴影部分直角三角形EF边上的高为y cm,则阴影部分的面积S=2×xy+2××2xy=3xy=36 000(cm2), 所以xy=12 000,又x=100,所以y=120, 由题图知AD=y+20=140(cm), AB=3x+50=350(cm), ∴S矩形ABCD=140×350=49 000(cm2),即海报纸的面积为49 000 cm2. (2)由(1)知xy=12 000,x>0,y>0, 则S矩形ABCD=(3x+50)(y+20)=3xy+60x+50y+1 000≥3xy+2+1 000=49 000,当且仅当60x=50y,即x=100,y=120时取“=”. 此时AB=350 cm,AD=140 cm, 所以选择长为350 cm,宽为140 cm的海报纸可使用纸量最少. 能力提升练 1.D 2.ABD 3.D 4.C 10.C 1.D　选项A中,a+b≥2,当且仅当a=b时取“=”,2+≥2,当且仅当ab=时取“=”, ∴a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b=时取“=”,∴该不等式成立; 选项B中,(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取“=”,∴该不等式成立; 选项C中,≥=2,当且仅当a=b时取“=”,∴该不等式成立; 选项D中,≤=,当且仅当a=b时取“=”,∴该不等式不成立.故选D. 2.ABD　∵a>0,b>0,a+b=4,∴≤=2(当且仅当a=b=2时取“=”),∴ab≤4,∴≥,∴A正确,C错误; 由以上分析得+==≥=1,∴B正确; ∵2(a2+b2)≥(a+b)2=16,∴a2+b2≥8,当且仅当a=b=2时取等号,∴D正确.故选ABD. 3.D　设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为+,∴v==,故A错误; ∵b>a>0,∴由基本不等式可得a+b>2,∴v=<=,故B,C错误; ∵v-a=-a=>=0, ∴v>a,则a<v<,故D正确.故选D. 4.C　甲食堂购买牛肉的平均单价(元)为m1===, 乙食堂购买牛肉的平均单价(元)为m2==, 所以==≤=1,当且仅当a=b时取“=”, 也可直接用调和平均数与算术平均数的关系得≤,且等号不成立 因为a≠b,所以m1<m2.故选C. 5.解析　(1)因为x1>0,x2>0,且x1+x2=2, 所以x1+x2≥2,所以x1x2≤1,(当且仅当x1=x2=1时等号成立) 则+=-2x1x2≥4-2=2, 故+的最小值为2. (2)证明:因为(a,b)∈D,所以a>0,b>0,a+b=2, 所以+=+=+ =(a+2+b+2) =≥=, 当且仅当=,即a=b=1时取等号. 6.思路点拨　(1)由a+b+c、ab+bc+ca、a2+b2+c2的关系,利用已知(消去a+b+c)及基本不等式求出最大值;(2)利用基本不等式得+≥a、+≥b、+≥c,即可证明结论. 解析　(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=(2a2+2b2+2c2)+2(ab+bc+ca)≥(2ab+2ac+2bc)+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca),当且仅当a=b=c=时等号成立, 所以ab+bc+ca≤,所以ab+bc+ca的最大值为. (2)证明:+≥2=a,当且仅当=,即2a=b+c=时等号成立, +≥2=b,当且仅当=,即2b=c+a=时等号成立, +≥2=c,当且仅当=,即2c=a+b=时等号成立, 故++≥a+b+c-==,当且仅当a=b=c=时等号成立. 7.答案　12 解析　∵a=6,b+c=10,∴p==8, 结合三角形的三边关系可得2<b<8,2<c<8, ∴三角形的面积S==4≤4×=12, 当且仅当b=c=5时,等号成立,此时三边可以构成三角形. 因此,该三角形面积的最大值为12. 8.解析　根据题意可设保留旧墙x米,易知0<x≤12, 利用旧料来砌的新墙长度为(12-x)米, 又新屋的面积预定为112平方米,所以砌新墙的长度应为2×+x-(12-x)=米, 因此总费用(元)为25%·ax+(12-x)·50%·a+a=a,0<x≤12, 利用基本不等式可得+≥2=28, 当且仅当x=8时,等号成立, 又x=8≈11.3<12,满足题意, 所以旧墙保留约11.3米最为合算. 9.解析　(1)依题意得y=+, 把x=10,y=0.065代入上式可得0.065=+,解得k=9,∴y=+(0<x<20). (2)令t=x2,则y=+(0<t<400), ∴y=×(t+400-t) =×4+++9 ≥×13+2=0.062 5. 当且仅当t=160,即x=4时等号成立, ∴y的最小值为0.062 5. 10.C　根据题意,设天平左、右两臂的长度分别为m、n, 由两次称量的结果分别为a,b,得ma=nG且nb=mG(杠杆原理),且a≠b, 两式联立可得G2=ab,即G=, 而>,则>G,故选C. 11.解析　(1)设天平左臂长为m,右臂长为n,第一次放的黄金为x g,第二次为y g. 则5m=xn,my=5n,得x=,y=, 所以x+y=+≥2=10,当且仅当=,即m=n时取等号, 又m≠n,所以x+y>10,因此顾客购得的黄金大于10 g. (2)设第三次放的黄金为z g, 则10m=zn(杠杆原理),代入=,可得2x=z, 故三次黄金质量总和为x+y+z=3x+y≥2=10,当且仅当3x=y,即x=,y=5时取等号, 此时λ===, 因此当λ=时,三次黄金质量总和最小. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$