第2章 第1课时 基本不等式、求最大(小)值及其应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式、求最大(小)值及其应用 基础过关练 题组一　对基本不等式的理解 1.下列说法正确的是(　　) A.a2+b2≥2ab成立的前提条件是a≥0,b≥0 B.a2+b2>2ab成立的前提条件是a,b∈R C.a+b≥2成立的前提条件是a≥0,b≥0 D.a+b>2成立的前提条件是ab>0 2.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是(　　) A.a=2　　　　B.a=±2 C.a=　　　　D.a=± 3.下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是(　　) A.+≥2　　　　 B.x+3+≥2(其中x>-3) C.≥2　　　　 D.x-1+≥2(其中x>2) 题组二　利用基本不等式求最大(小)值 4.已知x>2,则+4x的最小值是(　　) A.6　　B.8　　C.12　　D.16 5.已知0<a<2,则+的最小值是(　　) A.　　B.4　　C.　　D.5 6.已知x<1,则x+的最大值是　　　　.  7.(教材习题改编)已知0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为　　　　.  8.(1)已知x<,求4x-2+的最大值; (2)设x>-1,求的最小值. 题组三　利用基本不等式求最大(小)值的应用 9.设x>0,y>0,且不等式(ax+y)≥9恒成立,则正实数a的取值范围是(　　) A.0<a≤4　　B.0<a≤2　　C.a≥4　　D.a≥2 10.若∀x>3,a<x2+恒成立,则a的取值范围为　　　　.  11.已知∀x∈{x|x>1},>m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.  能力提升练 题组一　对基本不等式的理解 1.已知a,b为正实数,则“≤2”是“ab≤16”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(多选题)下列结论中正确的是(　　) A.若a,b≠0,则≥2 B.若x<0,则x+≥-4 C.若a>0,b>0,则+≥a+b D.若a,b∈R,则≥ 3.(多选题)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是(　　) A.ab≤1　　　　B.+≤　　 C.a2+b2≥2　　　　D.+≥2 题组二　利用基本不等式求最大(小)值 4.已知0<x<,则+的最小值为(　　) A.　　　　B.2　　 C.　　　　D.4 5.已知a>b>0,则a2+的最小值为(　　) A.8　　B.8　　C.16　　D.16 6.(1)已知正数x,y满足x+y=1,求+的最小值; (2)求(x>-1)的最小值. 7.已知a>0,b>0. (1)若a+b=4,求+的最小值及此时a,b的值; (2)若2a2+b2=4a+4b,求+的最小值及此时a,b的值; (3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值. 题组三　利用基本不等式求最大(小)值的应用 8.(多选题)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式+≥4恒成立,则m的值可以是(　　) A.1　　B.　　C.2　　D.2 9.已知x>0,y>0,若不等式x+≤a(x+y)恒成立,则实数a的最小值为(　　) A.　　B.-1　　C.+1　　D. 10.当x>a时,关于x的不等式≥5恒成立,求实数a的取值范围. 教材深研拓展 11.(多选题)《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图(1),用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图(2)所示的矩形,该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图(3),设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是(　　) 　　 A.由题图(1)和题图(2)的面积相等得d= B.由AE≥AF可得≥ C.由AD≥AE可得≥ D.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab 12.设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆,过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E,则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段　　　　的长度是a,b的几何平均数,线段　　　　的长度是a,b的调和平均数.  答案与分层梯度式解析 2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式、求最大(小)值及其应用 基础过关练 1.C 2.D 3.B 4.D 5.C 9.C 1.C　A错误,应为a,b∈R;B错误,应为a,b∈R,且a≠b;D错误,应为a≥0,b≥0,且a≠b;C正确.故选C. 2.D　该不等式等号成立的条件为a2=,即a=±,故选D. 3.B　对于A,当x<0时,不等式不成立,因此A错误; 对于B,因为x>-3,所以x+3>0,所以x+3+≥2=2,当且仅当x+3=,即x=-2时,等号成立,因此B正确; 对于C,因为≥2,所以==+≥2,当且仅当=1时等号成立,与≥2矛盾,因此C错误; 对于D,因为x>2,所以x-1>1,则x-1+≥2, 当且仅当x-1=1,即x=2时等号成立,与x>2矛盾,因此D错误.故选B. 易错警示　利用基本不等式解题要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三条同时满足才能得出结论. 4.D　因为x>2,所以x-2>0, 所以+4x=+4(x-2)+8≥2+8=16,当且仅当=4(x-2),即x=3时取等号, 故选D. 5.C　因为0<a<2, 所以+=(a+2-a)=5++≥5+2=, 当且仅当=,即a=时取等号.故选C. 解题模板　解决分式类型代数式的最大(小)值问题,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”,如本题中的“a+(2-a)=2”是定值,从而得到解决问题的方法. 6.答案　-3 解析　因为x<1,所以x-1<0,因此1-x>0, 所以x+=(x-1)++1=-+1≤-2+1=-4+1=-3, 当且仅当1-x=,即x=-1时等号成立,所以x+的最大值是-3. 易错警示　求整式+分式形式代数式的最大(小)值时,要验证各项为正数,若均不是正数可提取负号再用基本不等式,如本题中将所求式子变形为-+1求解. 7.答案　 解析　∵0<x<1,∴4-3x>0,∴x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤·=, 当且仅当3x=4-3x,即x=时取等号. 8.解析　(1)∵x<,∴5-4x>0, ∴4x-2+=4x-5++3=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,∴4x-2+的最大值为1. (2)∵x>-1,∴x+1>0,设x+1=t>0,则x=t-1, ∴===t++5≥2+5=9, 当且仅当t=,即t=2,x=1时,等号成立, ∴的最小值为9. 9.C　∵x>0,y>0,a>0, ∴(ax+y)=a+1++≥a+1+2=(+1)2(最小值),当且仅当=时取“=”,又∵(ax+y)≥9恒成立,∴(+1)2≥9,解得a≥4,故选C. 10.答案　{a|a<15} 解析　∀x>3,x2-9>0,则x2+=x2-9++9≥2+9=15,当且仅当x2-9=,即x=2时,等号成立,所以=15,故a<15. 解题模板　解决不等式恒成立问题,常将不等式变形(分离变量等),再将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题,符合“一正、二定、三相等”的则利用基本不等式求解最大(小)值. 11.答案　m<2+2 解析　∵∀x∈{x|x>1},>m恒成立, ∴m<, 由x>1得x-1>0,令t=x-1,t>0,则x=t+1, 则===t++2≥2+2, 当且仅当t=,即x=1+时,取得等号, ∴m<2+2. 能力提升练 1.B 2.AC 3.ACD 4.C 5.C 8.CD 9.D 11.BCD 1.B　∵a,b为正实数,∴a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立. 由ab≤16,可得≤=≤=2,故必要性成立; 当a=2,b=10时,≤2,但ab=20>16,故充分性不成立. 因此“≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件.故选B. 2.AC　=+≥2,当且仅当a=±b时取等号,故A正确; 当x<0时,-x>0,则x+=-≤-2×=-4当且仅当-x=-,即x=-2时,取“=”,故B错误; 当a>0,b>0时,+a≥2=2b,+b≥2=2a(当且仅当a=b时,等号同时成立),相加可得+≥a+b,故C正确; 当a<0,b<0时,≥不成立,故D错误.故选AC. 3.ACD　当a>0,b>0时,由≥得ab≤1,当且仅当a=b=1时取“=”,因此A正确; 由≤=1得+≤2,当且仅当a=b=1时取“=”,故+≤不恒成立,因此B错误(也可令a=1,b=1,得+=2);由1=≤得a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时取“=”,因此C正确;由≤=1得+≥2,当且仅当a=b=1时取“=”,因此D正确.故选ACD. 解题模板　与平均值有关的数可用基本不等式求解,解题时注意运用不等式链:≤≤≤(a>0,b>0),当且仅当a=b时取“=”. 4.C　因为0<x<,所以3-2x>0,所以+=+=[2x+(3-2x)]利用[2x+(3-2x)]=1进行代换 =2+++2 ≥=, 当且仅当=,即x=时等号成立,所以+的最小值为.故选C. 5.C　∵a>b>0,∴a-b>0,则b(a-b)≤=,∴a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当即时,等号成立.故选C. 易错警示　两次利用基本不等式求最大(小)值时要注意两点:一是不等号的方向相同,二是不等式中的等号能同时成立. 6.解析　(1)由x+y=1可得x+y+1=2, 则+=[x+(1+y)]=1+4++≥=,当且仅当=且x+y=1,即x=,y=时取等号,故+的最小值为. (2)∵x>-1,∴x+1>0,∴==x+1++5≥2+5=9,当且仅当x+1=,即x=1时取等号, 故的最小值为9. 7.解析　(1)∵a+b=4,a>0,b>0, ∴+=(a+b)=++≥+2=,当且仅当4a2=b2,即a=,b=时取等号, ∴+的最小值为,此时a=,b=. (2)∵2a2+b2=4a+4b, ∴+===+≥2=, 当且仅当2a2=b2,即a=1+,b=+2时取等号, ∴+的最小值为,此时a=1+,b=+2. (3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6, ∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2=12,当且仅当2(a+3b)=3(a+b),即a=,b=时取等号,∴5a+9b的最小值为12,此时a=,b=. 8.CD　由xy>0,且x+y=2,得x>0,y>0,又m>0, 所以+=(x+y)=++m+2≥(2+m+2),当且仅当=时,等号成立, 又因为不等式+≥4恒成立,所以(2+m+2)≥4,整理得(+3)(-)≥0, 又+3>0,因此≥,即m≥2. 结合选项知选CD. 9.D　∵x>0,y>0,∴不等式x+≤a(x+y)可化为a≥,即a≥, 令t=1+(t>1),则a≥, ∵t>1,∴==≤==, 当且仅当t=,即t=时取“=”, 故的最大值为,∴a≥, ∴实数a的最小值为,故选D. 10.解析　不等式≥5,即x+≥, 因为x>a,所以x-a>0,所以x+=x-a++a≥a+2,当且仅当x-a=,即x=a+1时,等号成立,因此a+2≥,解得a≥, 所以实数a的取值范围是. 11.答案　BCD　 信息提取　AF是斜边上的高,AD是斜边上的中线,AE是正方形的对角线,AE等于正方形边长的倍. 解析　由题图(1)和题图(2)的面积相等可得ab=(a+b)d,得d=,故A错误; 由题意知题图(3)的面积为ab=·AF,故AF=,由D是斜边中点得AD=BC=, 设题图(3)中正方形的边长为x,由三角形相似,得=,解得x=,则AE=, 由AE≥AF可得≥,化简可得≥,故B正确; 由AD≥AE可得≥,化简可得≥,故C正确; 由AD≥AF可得≥,化简可得a2+b2≥2ab,故D正确.故选BCD. 12.答案　CD;DE 思路点拨　在Rt△ADB中,DC⊥AB,根据射影定理可得CD2=AC·CB,开方可得第一空答案(a,b的几何平均数为);用a,b表示OC,OD,CD,根据△OCD面积的两种算法表示出CE,进而得出OE,DE,结合调和平均数的定义知DE的长度为a,b的调和平均数. 解析　在Rt△ADB中,DC为斜边AB上的高,则由射影定理可得CD2=AC·CB, ∴CD=,即CD的长度为a,b的几何平均数. 易得OC=a-=,在Rt△OCD中,由OD·CE=OC·CD, 可得CE==,故OE==, ∴DE=OD-OE=, ∴DE的长度为a,b的调和平均数. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$