第1章 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

综合拔高练 高考真题练 考点1　集合的概念及其基本运算 1.(2023北京,1)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0},则M∩N=(　　) A.{x|-2≤x<1}　　　　B.{x|-2<x≤1} C.{x|x≥-2}　　　　D.{x|x<1} 2.(2023全国甲文,1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪∁UM=(　　) A.{2,3,5}　　　　B.{1,3,4} C.{1,2,4,5}　　　　D.{2,3,4,5} 3.(2022新高考Ⅰ,1)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=(　　) A.{x|0≤x<2}　　　　B. C.{x|3≤x<16}　　　　D. 4.(2023全国甲理,1)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=(　　) A.{x|x=3k,k∈Z}　　　　B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z}　　　　D.⌀ 5.(2023新课标Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2　　B.1　　C.　　D.-1 考点2　集合基本运算的应用 6.(2023全国乙理,2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=(　　) A.∁U(M∪N)　　　　B.N∪∁UM C.∁U(M∩N)　　　　D.M∪∁UN 7.(2022全国乙理,1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则(　　) A.2∈M　　B.3∈M　　C.4∉M　　D.5∉M 8.(2020全国Ⅲ理,1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(　　) A.2　　B.3　　C.4　　D.6 9.(2020浙江,10)设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T;②对于任意的x,y∈T,若x<y,则∈S.下列命题正确的是(　　) A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素 B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素 C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素 D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素 考点3　充分条件与必要条件 10.(2023天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 11.(2023北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(2022天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高考模拟练 应用实践 1.为丰富学生的课外活动,学校开展了丰富的选修课,参与“数学建模选修课”的有169人,参与“语文素养选修课”的有158人,参与“国际视野选修课”的有146人,三门选修课都参与的有30人,三门选修课都没有参与的有20人,已知全校共有400人,则只参与两门选修课的学生人数为(　　) A.30　　B.31　　C.32　　D.33 2.用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)等于(　　) A.1　　B.3　　C.5　　D.7 3.设集合A中的最大元素为M,最小元素为m,记A的特征值为XA=M-m,若集合中只有一个元素,规定其特征值为0.已知A1,A2,A3,…,An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集,且+++…+=60,则n的最大值为(　　) A.10　　B.11　　C.12　　D.13 4.(多选题)若非空数集M满足对任意x,y∈M,都有x+y∈M,x-y∈M,则称M为“优集”.已知A,B是优集,则下列命题中正确的是(　　) A.A∩B是优集 B.A∪B是优集 C.若A∪B是优集,则A⊆B或B⊆A D.若A∪B是优集,则A∩B是优集 5.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0}. (1)若命题p:∀x∈B,x∈A为真命题,求实数a的值; (2)若“x∈A”是“x∈C”的必要条件,求实数m的取值范围. 迁移创新 6.设A是正实数集的非空子集,称集合B={z|z=xy,x∈A,y∈A且x≠y}为集合A的孪生集. (1)当A={2,5,7}时,请直接写出集合A的孪生集B; (2)若A是由5个正实数构成的集合,求其孪生集B的子集个数的最小值; (3)判断是否存在由4个正实数构成的集合A,使其孪生集B={6,8,14,16,21,24},并说明理由. 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 高考风向　1.考查形式 本章在高考中一般考查1~2个小题,分值占5~10分. 2.考查内容 (1)全国卷集合主要考查集合的概念及表示、集合的基本运算.自主命题地区考查难度增加,主要是与“新定义”有关的问题. (2)常用逻辑用语主要考查充分、必要条件的判断和全称量词与存在量词命题及其否定. 3.作用地位 本章作为预备知识,从数学表示、数学推理上奠定高中数学的基础,学习和理解本章内容贯穿整个高中阶段. 1.A 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.A 8.C 9.A 10.B 11.C 12.A 1.A　由题意知M={x|x≥-2},N={x|x<1}, 则M∩N={x|-2≤x<1}. 2.A　因为U={1,2,3,4,5},M={1,4}, 所以∁UM={2,3,5},又因为N={2,5}, 所以N∪∁UM={2,3,5}.故选A. 3.D　由题意可知,M={x|0≤x<16},N=,故M∩N=.故选D. 4.A　由已知得M∪N={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},∴∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A. 5.B　∵A⊆B,∴0∈B. 当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B,舍去;当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B. 综上,a=1,故选B. 6.A　由题意得M∪N={x|x<2},M∩N={x|-1<x<1},∁UM={x|x≥1},∁UN={x|x≤-1或x≥2},则∁U(M∪N)={x|x≥2},∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},N∪∁UM={x|x>-1},M∪∁UN={x|x<1或x≥2},故选A. 7.A　因为全集U={1,2,3,4,5},∁UM={1,3}, 所以M={2,4,5},结合选项知A正确,B、C、D错误. 故选A. 8.C　由得或或或 所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},故A∩B中元素的个数为4,故选C. 9.A　对于B,令S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128}, ∴S∪T={2,4,8,16,32,64,128},有7个元素, ∴B错误; 对于C,令S={1,2,4},T={2,4,8}, ∴S∪T={1,2,4,8},有4个元素,∴C错误; 对于D,令S={2,4,8},T={8,16,32}, ∴S∪T={2,4,8,16,32},有5个元素,∴D错误. 故选A. 10.B　因为a2=b2⇔a=b或a=-b,a2+b2=2ab⇔(a-b)2=0⇔a=b, 所以a2+b2=2ab⇒a2=b2,但是a2=b2⇒/ a2+b2=2ab, 所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件,故选B. 11.C　由x+y=0得x=-y,又xy≠0,∴==-1,∴+=-2.若xy≠0,且+=-2, 则x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,因此x+y=0. 所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.故选C. 12.A　由题意得,若x为整数,则2x+1为整数,因此充分性成立;当x=时,2x+1为整数,但x不为整数,因此必要性不成立.所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.故选A. 高考模拟练 1.D 2.B 3.B 4.ACD 1.D　设参与“数学建模选修课”“语文素养选修课”“国际视野选修课”的学生分别构成集合A,B,C, 则card(A∪B∪C)=400-20=380, 又card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C), 所以380=169+158+146-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+30,所以card(A∩B)+card(B∩C)+card(A∩C)=123, 则只参与两门选修课的学生人数为card(A∩B)+card(B∩C)+card(A∩C)-3card(A∩B∩C)=123-3×30=33.故选D. 2.B　由题意知,C(A)=2,∵A*B=1,且A*B= ∴C(B)=1或C(B)=3, 由(x2+ax)(x2+ax+2)=0得x2+ax=0或x2+ax+2=0, 若x2+ax=0,则x=0或x+a=0, 当a=0时,B={0},C(B)=1,符合题意. 当a≠0时,x2+ax=0对应的根为0和-a, 故要使C(B)=3,需分以下两种情况讨论: ①当x2+ax+2=0有两个相等的实数根时,Δ=a2-8=0,解得a=±2, 当a=2时,B={0,-,-2},C(B)=3,符合题意; 当a=-2时,B={0,,2},C(B)=3,符合题意. ②当x2+ax+2=0有两个不相等的实数根时,需满足-a是x2+ax+2=0的一个根, 即(-a)2+a·(-a)+2=0,无解. 综上所述,S={0,2,-2},因此C(S)=3,故选B. 素养评析　集合中的新定义问题涉及陌生复杂的情境,解决本题的第一点是明确集合B中元素的个数C(B),主要考查数学抽象:对定义的理解;第二点是由C(B)=1或C(B)=3确定a的值,主要考查数学运算:研究方程x2+ax+2=0的根的个数. 3.答案　B 信息提取　要使n最大,需保证各集合的特征值=M-m(n∈N*)尽量小.各个集合中的元素个数均不相同,以及尽量小,可以取连续正整数,依次构成集合Ai(i=1,2,…,n),如:A1={1},A2={2,3},A3={4,5,6},……,进而分析n的取值. 解析　由题可知A1,A2,A3,…,An中都至少有一个元素,且元素个数互不相同, 要使n最大,则各集合中=M-m(n∈N*)尽量小, 所以集合A1,A2,A3,…,An的元素个数尽量少且数值尽可能连续, 不妨设=0,=1,=2,……,=n-1,依次计算+++…+, 当n=1时,=0<60, 当n=11时,+++…+=0+1+2+…+10=55<60, 当n=12时,+++…+=0+1+2+…+11=66>60, 只需在n=11时,在上述特征值最小的情况下,使其中一个集合的特征值增加5即可,故n的最大值为11.故选B. 4.ACD　选项A,任取x∈(A∩B),y∈(A∩B),则x,y∈A,且x,y∈B, 因为集合A,B是优集,所以x+y∈A,x+y∈B,x-y∈A,x-y∈B,则x+y∈(A∩B),x-y∈(A∩B),A正确. 选项B,取A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=3m,m∈Z},则A∪B={x|x=2k或x=3k,k∈Z},令x=3,y=2,则x+y=5∉(A∪B),B错误. 选项C,任取x∈A,y∈B,可得x,y∈(A∪B), 因为A∪B是优集,所以x+y∈(A∪B),x-y∈(A∪B), 若x+y∈B,则x=(x+y)-y∈B,此时A⊆B,若x+y∈A,则y=(x+y)-x∈A,此时B⊆A,C正确. 选项D,结合C可知,若A∪B是优集,则A⊆B或B⊆A,故A∩B=A或A∩B=B,又A,B均为优集,所以A∩B是优集,D正确.故选ACD. 5.解析　(1)由题意得A={1,2},B={x|x2-ax+a-1=0}={x|[x-(a-1)](x-1)=0}, ∵命题p为真命题,∴B⊆A, ∴B={1}或B={1,2}. 若B={1},则a-1=1,解得a=2; 若B={1,2},则a-1=2,解得a=3. 因此,a的值为2或3. (2)∵“x∈A”是“x∈C”的必要条件, ∴由“x∈C”能推出“x∈A”,从而C⊆A, 因此,集合C有四种情况: ①C=A,易得m=3; ②C={1},此时无解; ③C={2},此时无解; ④C=⌀,此时Δ=m2-8<0,解得-2<m<2. 综上可知,实数m的取值范围为{m|m=3或-2<m<2}. 6.解析　(1)B={10,14,35}. (2)设A={a1,a2,a3,a4,a5},不妨设0<a1<a2<a3<a4<a5,因为a1a2<a1a3<a1a4<a1a5<a2a5<a3a5<a4a5,所以B中元素个数大于或等于7, 取A={21,22,23,24,25},则B={23,24,25,26,27,28,29},此时B中元素共7个, 所以孪生集B中元素个数的最小值为7,B的子集个数的最小值为27=128. (3)不存在,理由如下: 假设存在由4个正实数构成的集合A,使其孪生集B={6,8,14,16,21,24}, 不妨设A={a,b,c,d},0<a<b<c<d,则集合A的孪生集B={ab,ac,ad,bc,bd,cd},则ab<ac<ad<bd<cd,ac<bc<bd, 则必有ab=6,cd=24,集合B中其余4个正实数的乘积为ac·ad·bc·bd=(abcd)2=8×14×16×21,所以abcd=112≠6×24,矛盾. 所以假设不成立,故不存在由4个正实数构成的集合A,使其孪生集B={6,8,14,16,21,24}. 素养评析　(1)由集合A中的元素得到集合B中的元素,主要考查数学运算;(2)由集合B的定义知,当集合A有5个元素时,集合B最多有10个元素,利用不等关系得到B中最少有7个元素,举特例得到B中元素可以是7,主要考查逻辑推理;(3)类似(2)得到由集合A确定的集合B,进而分析与条件中的集合B的关系,运用反证法推出矛盾,主要考查逻辑推理. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$