3.3 幂函数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

3.3　幂函数 基础过关练 题组一　幂函数的概念及其图象 1.现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x,其中幂函数的个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 2.已知f(x)是定义在R上的幂函数,则f(0)-f(1)=(　　) A.0　　B.-1　　C.1　　D.不确定 3.如图所示,给出了四个幂函数的图象,它们所对应的函数分别是(　　) A.①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1 B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1 C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1 D.①y=x3,②y=,③y=x2,④y=x-1 4.(多选题)已知幂函数f(x)满足f()=5,则(　　) A. f(x)=x3 B. f(x)=x2 C. f(x)的图象经过原点 D. f(x)的图象不经过第二象限 5.已知幂函数f(x)=k·xa的图象过点,则f的值为　　　　.  题组二　幂函数的性质及其应用 6.已知函数f(x)=(m2-2m-2)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数m=(　　) A.3　　B.-1　　C.1　　D.3或-1 7.幂函数f(x)=xα的图象过点(9,3),那么函数f(x)的单调递增区间是(　　) A.(-2,+∞)　　　　B.[-1,+∞)　　 C.[0,+∞)　　　　D.(-∞,-2) 8.已知幂函数f(x)的图象过点(2,8),若f(2a+3)+f(-3)>0,则a的取值范围为(　　) A.(2,+∞)　　　　B.(1,+∞)　　 C.(0,+∞)　　　　D.(-1,+∞) 9.(多选题)下列关于幂函数y=xα(α为常数)的描述正确的有(　　) A.幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1) B.幂函数的图象不可能过第四象限 C.当α=-1,,3时,幂函数y=xα是奇函数 D.当α=,3时,幂函数y=xα是增函数 10.已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0,+∞)上单调递减,若(2a-1)-m<(a+3)-m,则a的取值范围为　　　　.  11.(教材习题改编)比较大小:　　　 .(填“>”“<”或“=”) 12.已知幂函数f(x)=(m2-7m+13)x-m-1(m∈R)为偶函数. (1)求f 的值; (2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值. 能力提升练 题组一　幂函数的概念及其图象 1.幂函数y=xm与y=xn的部分图象如图所示,则(　　) A.-1<n<0,0<m<1　　　　B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1　　　　D.n<-1,m>1 2.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过A(0,0),B(1,1),C(-1,-1),D(4,2)中的三个点,则f(3)的值可能为(注:=)(　　) A.　　B.　　C.3　　D.9 3.常用符号[x]表示不超过x的最大整数,如[1.4]=1,已知函数f(x)=x-[x]与g(x)=k的图象在区间[1,5]上恰好有三个不同的交点,则k的取值范围是　(　　) A.　　　　B.　　 C.　　　　D. 题组二　幂函数的性质及其应用 4.(多选题)已知幂函数f(x)=(m2-3)xn(m,n∈R),则下列说法正确的是(　　) A.若n=m-1,则f(x)在(0,+∞)上单调递减 B.若n=m+1,则f(x)是奇函数 C.函数y=2f(x-1)+1过定点(2,1) D.若n=-3,则f(5)+f(-4)<0 5.若点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,则函数g(x)=+的值域是(　　) A.[0,]　　　　B.[1,]　　 C.[,2]　　　　D.[2,3] 6.(多选题)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(9,3),则下列结论正确的有(　　) A. f(x)为偶函数 B. f(x)在定义域内为增函数 C.若x>1,则f(x)>1 D.若x2>x1>0,则f> 7.已知幂函数f(x)=xm-3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,则满足f(a+1-m)<f(3-2a-m)的实数a的取值范围是　　　　.  8.(教材内容拓展)+的最小值为　　　　.  9.已知幂函数y=f(x)的图象过点,设函数g(x)=x-f(x). (1)求函数f(x)的解析式、定义域,并判断此函数的奇偶性; (2)研究函数g(x)的单调性,画出g(x)的大致图象,并求其值域. 答案与分层梯度式解析 3.3　幂函数 基础过关练 1.B 2.B 3.B 4.ACD 6.A 7.C 8.C 9.BD 1.B　根据幂函数的概念,可得①⑤为幂函数,②③④不符合幂函数的基本形式.故选B. 2.B　设f(x)=xα,∵幂函数f(x)=xα的定义域是R,∴f(0)=0, f(1)=1,因此f(0)-f(1)=-1.故选B. 3.B　结合选项与所给图象分析:因为y=与y=x3的定义域为R且为奇函数,在第一象限内,y=x3的图象下凸,y=的图象上凸,故y=x3的图象应为①;二次函数y=x2的图象开口向上,且顶点为原点,应为②;y=的定义域为[0,+∞)且为增函数,其图象应为③;y=x-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减,其图象应为④.故选B. 4.ACD　设幂函数f(x)=xa, 根据f()=5可得5=()a, 解得a=3,则f(x)=x3,故f(x)的图象经过原点,不经过第二象限.故选ACD. 5.答案　 解析　由幂函数的定义得k=1,将代入f(x)=xa,得=,从而a=,则幂函数f(x)==, ∴f==. 6.A　因为函数f(x)=(m2-2m-2)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增, 所以解得m=3.故选A. 7.C　幂函数f(x)=xα的图象过点(9,3),因为=3,所以f(x)=, 它的单调递增区间是[0,+∞).故选C. 8.C　设f(x)=xα(α为常数), ∵幂函数f(x)的图象过点(2,8),∴2α=8,解得α=3,∴f(x)=x3, ∵f(x)=x3在R上单调递增,且为奇函数, ∴由f(2a+3)+f(-3)>0,可得f(2a+3)>f(3), ∴2a+3>3,解得a>0, 即a的取值范围为(0,+∞).故选C. 9.BD　幂函数 y=xα的图象都过点(1,1),当 α≤0时,图象不经过点(0,0),故A错误;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且当x>0时,y=xα>0(α∈R),所以幂函数的图象不可能出现在第四象限内,故B正确;当幂指数α=时,幂函数y=是非奇非偶函数,故C错误;当幂指数α=,3时,幂函数y=xα是增函数,故D正确. 10.答案　(-∞,4) 解析　由题意可知解得m=-3, ∴不等式(2a-1)-m<(a+3)-m即为(2a-1)3<(a+3)3, ∵函数y=x3在R上单调递增,∴2a-1<a+3,解得a<4,因此a的取值范围为(-∞,4). 11.答案　> 解析　因为函数y=在(0,+∞)上单调递减,故>3.. 12.解析　(1)由题意知m2-7m+13=1,解得m=4或m=3, 当m=4时, f(x)=x-5,为奇函数,不满足题意; 当m=3时, f(x)=x-4,满足题意, ∴f(x)=x-4,∴f ==16. (2)由f(x)=x-4和f(2a+1)=f(a)可得|2a+1|=|a|,即2a+1=a或2a+1=-a, ∴a=-1或a=-. 能力提升练 1.B 2.BC 3.B 4.BD 5.B 6.BCD 1.B　由题图可知,y=xm在[0,+∞)上单调递增,y=xn在(0,+∞)上单调递减,则m>0,n<0.当x>1时,y=xm的图象在直线y=x的下方,y=xn的图象在y=x-1的图象的下方,则m<1,n<-1. 综上可知,n<-1,0<m<1.故选B. 2.BC　设f(x)=xα,α为常数,由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B. 若f(x)的图象经过A,B,C三点,则α>0,由f(-1)=(-1)α=-1,得α为正奇数或分子、分母均为奇数的正分数,又f(3)=3α,=3-1,=,3=31,9=32, 所以α=1, f(x)=x,则f(3)=3; 若f(x)的图象经过A,B,D三点,由f(4)=4α=2,得α=,则f(x)=,此时f(3)=; 由D(4,2)知α=,则C(-1,-1)必不在函数图象上,故f(x)的图象不可能同时经过B,C,D三点. 故选BC. 3.B　由题意得f(x)=作出y=f(x)与y=g(x)在[1,5]上的图象,如图: 由图可知,若函数f(x)=x-[x]与g(x)=k的图象在区间[1,5]上恰好有三个不同的交点, 则k>0,且解得≤k<.故选B. 4.BD　因为f(x)=(m2-3)xn为幂函数, 所以m2-3=1,解得m=2或m=-2. 对于A,当m=2时,n=1,此时f(x)=x,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,A错误; 对于B,由题意得f(x)=x3或f(x)=x-1,均为奇函数,B正确; 对于C,因为幂函数f(x)的图象恒过点(1,1),所以y=2f(x-1)+1=2(x-1)n+1的图象恒过点(2,3),C错误; 对于D,若n=-3,则f(x)=, 所以f(5)+f(-4)=5-3+(-4)-3=5-3-4-3<0,D正确.故选BD. 5.B　∵点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上, ∴解得 ∴函数g(x)=+=+, ∴∴3≤x≤4, [g(x)]2=1+2=1+2, 因为x∈[3,4],所以-x2+7x-12∈, 所以[g(x)]2∈[1,2], 所以函数g(x)的值域为[1,]. 故选B. 6.BCD　设f(x)=xα,将(9,3)代入,得3=9α,则α=,∴f(x)=. 对于A,易知f(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴f(x)不具有奇偶性,因此A错误; 对于B,∵>0,∴函数f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,因此B正确; 对于C,当x>1时,>1,即f(x)>1,因此C正确; 对于D,因为f(x)=,所以f(x)≥0,若x2>x1>0, 则- =- =-= =-<0,即<f, 因此D正确.故选BCD. 小题巧解　对于D,可画出f(x)=的图象,并连接点(x1, f(x1))与点(x2, f(x2)),由所得线段的中点位于曲线y=f(x)下方,可得<f. 7.答案　∪(1,2) 解析　由f(x)在(0,+∞)上单调递减,得m-3<0,解得m<3,又m∈N*,所以m=1或m=2, 当m=2时, f(x)=x-1,为奇函数,且图象关于原点对称,不符合题意, 当m=1时, f(x)=x-2,为偶函数,且图象关于y轴对称,符合题意. 故f(a+1-m)<f(3-2a-m)即f(a)<f(2-2a), 由于f(x)为偶函数,所以f(|a|)<f(|2-2a|), 又f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以|a|>|2-2a|>0,解得<a<1或1<a<2, 因此实数a的取值范围是∪(1,2). 8.答案　 解析　设t=,t≥,则+=t+,t∈[,+∞),令y=t+,t∈[,+∞), 易知函数y=t+在[,+∞)上单调递增,所以当t=时,ymin=,故+的最小值为. 9.解析　(1)设f(x)=xα. 因为函数f(x)=xα的图象过点, 所以3α===,因此α=-,所以f(x)=. 易得函数f(x)的定义域为(0,+∞). 显然,函数f(x)的定义域不关于原点对称, 所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)由(1)知,g(x)=x-=x-,x∈(0,+∞). ∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则g(x1)-g(x2)=- =(x1-x2)-=(x1-x2)+ =(-)(+)+ =(-), 因为x2>x1>0,所以-<0,+>0,>0, 所以g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2), 因此函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,易知g(1)=0, 画出函数g(x)的大致图象,如图所示: 由图象知函数g(x)的值域为R. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$