3.1.2 函数的表示法（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

3.1.2　函数的表示法 基础过关练 题组一　函数的表示法及其应用 1.(教材习题改编)函数y=的图象大致是(　　) 　　　　 　　　　 2.小明同学乘高铁去旅游.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘在家里,于是返回家中取身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图象中与上述事件吻合最好的是(　　) 　　　　　　 3.已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象为如图所示的曲线ABC,则g(f(3))的值为　　　　.  x 1 2 3 y=f(x) 2 3 2 题组二　函数的解析式 4.若函数f(x+1)=x2-5,则f(x)=(　　) A.x2+2x-6　　　　B.x2+2x-4　　 C.x2-2x-6　　　　D.x2-2x-4 5.函数f(2x+1)=x2-3x+1,则f(3)=(　　) A.-1　　B.1　　C.-2　　D.2 6.已知函数f(2x-1)=3x-5,若f(x0)=4,则x0=　　　　.  7.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=　　　　.  8.(1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求函数f(x)的解析式; (2)(易错题)已知f(+1)=x+2,求函数f(x)的解析式. 题组三　分段函数问题 9.已知函数f(x)=若f(f(0))=-2,则实数a=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 10.(教材习题改编)函数f(x)=x+的图象是(　　) 　　　　　 　　　　 11.(易错题)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A. f(1)=3　　　　 B.若f(x)=1,则x=1 C. f(x)的定义域为R　　　　 D. f(x)的值域为(-∞,4) 12.已知函数f(x)=若f(x)=10,则x=　　　　.  13.已知f(x)= (1)若f(a)=,求a的值; (2)若f(f(k))=,求k的值 14.(教材习题改编)某小组4位同学准备乘坐出租车去参加社会实践活动.已知全程30千米,且该城市出租车的收费标准是:起步价11元(乘车不超过3千米);行驶3千米后,每千米车费2.2元;行驶10千米后,每千米车费2.8元. (1)写出同学们打车的费用f(x)(单位:元)与路程x(单位:千米)的函数关系式; (2)为了节省支出,他们设计了三种乘车方案: ①不换车:乘一辆出租车行驶30千米; ②分两段乘车:先乘一辆车,行驶15千米后,换乘另一辆车,再行驶15千米; ③分三段乘车:每行驶10千米后,换乘一次车. 哪一种方案最省钱? 能力提升练 题组一　函数的表示法及其应用 1.(多选题)设f(x)=(x≠±1),则下列结论错误的有(　　) A. f(2x)=　　　　 B. f(-x)=f(x)(x≠±1) C. f=-f(x)(x≠0且x≠±1)　　　　 D. f=f(x)(x≠0且x≠±1) 2.函数f(x)=2|x|-(a∈R)的大致图象不可能为(　　) 　　　　　　 3.已知函数y=f(x),y=g(x)的对应关系如下表: x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为　　　　;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为　　　　.  题组二　求函数的解析式 4.如图,在一直角墙角内的点P处有一棵树,它到两墙的距离分别是3米和2米.现欲用10米长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD,要求这棵树被围在花圃内或边界上.设BC=x米,则矩形花圃的面积f(x)(单位:平方米)为(　　) A. f(x)=-x2+5x(0≤x≤10) B. f(x)=-x2+10x(0≤x≤10) C. f(x)=-x2+5x(3≤x≤8) D. f(x)=-x2+10x(3≤x≤8) 5.(多选题)若函数f(1-2x)=(x≠0),则(　　) A. f=15　　　　 B. f(2)=- C. f(x)=-1(x≠0)　　　　 D. f=-1(x≠0且x≠1) 6.从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精,然后用水将容器加满,再倒出2升酒精溶液,再用水将容器加满,……,照这样的方法继续下去,设倒完第k次后,前k次共倒出纯酒精x升,倒完第(k+1)次后,前(k+1)次共倒出纯酒精f(x)升,则f(x)的解析式是(　　) A. f(x)=(x+2)　　　B. f(x)=x+2 C. f(x)=x+2　　　D. f(x)=x 7.已知f(x)是一次函数,其图象不经过第四象限,且f(f(x))=4x+6,则f(x)=　　　　.  8.(1)已知f(x)+2f=3x-2,求f(x)的解析式; (2)已知f=,求f(x)的解析式; (3)已知对任意的x,y都有f(x+y)-2f(y)=x2+2xy-y2+3x-3y,求f(x). 题组三　分段函数问题 9.(多选题)如图所示,函数f(x)的图象由两条线段组成,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　) A. f(2)>f(0)B. f(f(1))=3 C. f(x)=2|x-1|-x+1,x∈[0,4] D.∃a>0,使不等式f(x)≤a的解集为 10.(教材习题改编)已知f(x)=|x-5|+|x+3|,则f(x)≥10的解集是(　　) A.[-5,7]　　B.[-4,6] C.(-∞,-5]∪[7,+∞)　　D.(-∞,-4]∪[6,+∞) 11.设A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 12.已知函数f(x)=在[0,a]上的值域为[0,1],则实数a的取值范围是　　　　.  13.已知函数f(x)=当f(f(a))=8时,实数a=　　　　.  14.定义:若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的回旋点.已知函数f(x)=其中a为常数且a∈(0,1). (1)当a=时,求f的值,并判断是不是f(x)的回旋点; (2)当x∈(a,1]时,求函数y=f(f(x))的解析式,并求出f(x)的回旋点. 答案与分层梯度式解析 3.1.2　函数的表示法 基础过关练 1.C 2.C 4.D 5.A 9.C 10.C 11.D 1.C　y==+1,则将反比例函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y=的图象,故选C. 2.C　因为小明中途回家取身份证,因此图象与x轴有交点(除原点外),排除A,B;第二次坐出租车去高铁站的速度比第一次快,因此直线更陡,结合选项知选C. 3.答案　1 解析　由题表可知f(3)=2,由题图可知g(2)=1,故g(f(3))=g(2)=1. 4.D　由f(x+1)=(x+1-1)2-5,得f(x)=(x-1)2-5=x2-2x-4.故选D. 5.A　令2x+1=3,得x=1,则f(3)=1-3+1=-1.故选A. 6.答案　5 解析　解法一:令t=2x-1,则x=, 故f(t)=-5=t-. 因为f(x0)=4,所以x0-=4,解得x0=5. 解法二:由已知得解得 7.答案　3x-2 解析　设f(x)=kx+b(k≠0), 则解得 所以f(x)=3x-2. 8.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x, 所以所以因此f(x)=x2-2x-1. (2)令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), 因此f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 易错警示　用换元法求函数的解析式时,要先求出中间变量的取值范围,由此确定所求函数的定义域,解题时防止漏求函数定义域导致解题不完整. 9.C　因为f(x)=所以f(0)=03+1=1, 所以f(f(0))=f(1)=1-a=-2,解得a=3.故选C. 10.C　函数f(x)=x+=作出函数图象,如图, 故选C. 11.D　∵函数f(x)=所以f(1)=12=1,因此A错误;若f(x)=1,则或解得x=-1或x=1,因此B错误;根据分段函数的定义知,函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪(-1,2)=(-∞,2),因此C错误;当x≤-1时,x+2≤1,当-1<x<2时,0≤x2<4, 由分段函数的性质得,函数f(x)的值域为(-∞,1]∪[0,4)=(-∞,4),因此D正确.故选D. 12.答案　-3 解析　当x>0时,-2x<0,所以由f(x)=10, 可得解得x=-3. 13.解析　(1)已知f(x)= 当a>0时, f(a)=a+2=,解得a=; 当a≤0时, f(a)=a2=,解得a=-(正值舍去). 综上,a=或a=-. (2)易知f(x)的值域为[0,+∞). 不妨令f(k)=t,则f(t)=,且t≥0. 当t>0时, f(t)=t+2=,解得t=, 所以f(k)=,所以或 所以k=-. 当t=0时, f(t)=t2=0≠,舍去. 综上,k=-. 14.解析　(1)当0<x≤3时, f(x)=11, 当3<x≤10时, f(x)=11+(x-3)×2.2=2.2x+4.4, 当10<x≤30时, f(x)=11+7×2.2+(x-10)×2.8=2.8x-1.6, 所以f(x)= (2)方案①, f(30)=2.8×30-1.6=82.4, 方案②,2f(15)=2×(2.8×15-1.6)=80.8, 方案③,3f(10)=3×(2.2×10+4.4)=79.2, 因为82.4>80.8>79.2, 所以方案③最省钱. 能力提升练 1.AD 2.C 4.D 5.AD 6.C 9.BC 10.D 11.A 1.AD　因为f(x)=(x≠±1), 所以f(2x)==, f(-x)==f(x)(x≠±1), f===-f(x)(x≠0且x≠±1), f===-f(x)(x≠0且x≠±1),故选AD. 2.C　函数的定义域为{x|x∈R,x≠0}.当a=0时, f(x)=2|x|(x≠0),此时A满足.当a>0时,若x>0,则f(x)=2x-,图象上升;若x<0,则f(x)=-,其中y=2x+(x<0)为对勾函数的一部分,此时D满足.当a<0时,若x>0,则f(x)=2x+,为对勾函数的一部分;若x<0,则f(x)=-2x+,图象下降,此时B满足.故选C. 3.答案　1;2 解析　由题表可得g(1)=3,则f(g(1))=f(3)=1. 当x=1时, f(g(1))=1,g(f(1))=g(1)=3,不满足f(g(x))>g(f(x)); 当x=2时, f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,满足f(g(x))>g(f(x)); 当x=3时, f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不满足f(g(x))>g(f(x)). 故满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2. 4.D　因为BC=x米,篱笆总长为10米, 所以CD=(10-x)米, 因此f(x)=x(10-x)=-x2+10x, 又因为这棵树被围在花圃内或边界上, 所以解得3≤x≤8, 因此f(x)=-x2+10x(3≤x≤8).故选D. 5.AD　令1-2x=t,则x=,因为x≠0,所以t≠1, 则f(t)==-1(t≠1), 即f(x)=-1(x≠1), 所以f=-1=16-1=15, f(2)=-1=4-1=3, f=-1=-1(x≠0且x≠1).故选AD. 6.C　∵倒完第k次后共倒出纯酒精x升, ∴第k次后容器中含纯酒精(10-x)升, 则第(k+1)次倒出纯酒精2×升, ∴f(x)=x+2×=x+2.故选C. 7.答案　2x+2 解析　由题意可设f(x)=kx+b(k>0,b≥0), 则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+6, 所以所以 所以f(x)=2x+2. 8.解析　(1)f(x)+2f =3x-2①, 将x用替换,可得2f(x)+f =-2②, ①②联立,消去f,解得f(x)=-x-(x≠0). (2)令t=,则x=(t≠-1),所以f(t)==(t≠-1),故f(x)=(x≠-1). (3)令x=y=0,可得f(0)-2f(0)=0,则f(0)=0,令y=0,可得f(x)-2f(0)=x2+3x,故f(x)=x2+3x. 9.BC　根据题意,可知函数f(x)为分段函数,且其图象过点(0,3),(1,0),(4,3), 当0≤x<1时,设f(x)=kx+b, 将(0,3),(1,0)代入,可得所以即f(x)=-3x+3; 当1≤x≤4时,设f(x)=mx+n, 将(1,0),(4,3)代入,可得所以故f(x)=x-1. 故f(x)= 选项A,f(2)=1<f(0)=3,因此A错误; 选项B,f(f(1))=f(0)=3,因此B正确; 选项C,f(x)=2|x-1|-x+1=因此C正确; 选项D,由函数图象知,若∃a>0,使f(x)≤a的解集为,则f=f(2)=a,又f=2, f(2)=1,因此D错误.故选BC. 10.D　解法一:由题意得f(x)=|x-5|+|x+3|=当x<-3时, f(x)≥10可化为-2x+2≥10,解得x≤-4; 当-3≤x≤5时, f(x)≥10可化为8≥10,显然不成立; 当x>5时, f(x)≥10可化为2x-2≥10,解得x≥6. 因此f(x)≥10的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞).故选D. 解法二:当x=0时, f(x)=8≥10不成立,可排除A,B. 当x=-4时, f(x)=10≥10成立,可排除C.故选D. 解题模板　解含绝对值的不等式,关键是利用零点分段法去绝对值,再利用分类讨论求解,如本题中f(x)=|x-5|+|x+3|= 11.A　因为x0∈A,即0≤x0<,所以f(x0)=x0+, 又≤x0+<1,所以≤f(x0)<1,即f(x0)∈B, 所以f(f(x0))=3[1-f(x0)]=-3x0∈A, 即0≤-3x0<,解得<x0≤. 又0≤x0<,所以<x0<.故选A. 12.答案　[1,1+] 解析　画出f(x)=的图象,如图: 由x2-2x=1,解得x=1-(舍)或x=1+, ∴要使函数f(x)=在[0,a]上的值域为[0,1],则实数a的取值范围是[1,1+]. 13.答案　8 解析　令f(a)=t,则f(t)=8. 当t≤1时,t2+2t=8,解得t=-4或t=2(舍去); 当t>1时,-5=8,解得t=(舍去), 因此t=-4,所以f(a)=-4. 当a≤1时,a2+2a=(a+1)2-1≥-1,故a2+2a=-4无解; 当a>1时,-5=-4,解得a=8,符合题意. 综上所述,a=8. 14.解析　(1)由题意可得,当a=时, f(x)= ∴f=2=, 因此f=f=2×=, 又f=≠,∴是f(x)的回旋点. (2)当x∈(a,1]时, f(x)=,对是否大于a分类讨论,求出y=f(f(x))的解析式 ∵a<x≤1,∴0≤1-x<1-a,∴0≤<1, 当>a,即x<a2-a+1时, f(f(x))=f=·=; 当0≤≤a,即a2-a+1≤x≤1时, f(f(x))=f=·=, ∴y=f(f(x))= 当a<x<a2-a+1时,根据回旋点的定义可知=x,解得x=, (方程的解x0需验证两点:一是x0在分段函数对应的定义域内,二是f(x0)≠x0,从而得到回旋点) ∵0<a<1,∴-a==>0,a2-a+1-==>0,∴a<<a2-a+1. ∵f=,∴x=不是f(x)的回旋点. 当a2-a+1≤x≤1时,由回旋点的定义可知=x,解得x=, ∵0<a<1,∴-(a2-a+1)==>0, 1-==>0,∴a2-a+1<<1. 又f=·=≠,∴x=是f(x)的回旋点. 综上,y=f(f(x))= f(x)的回旋点为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$