1.4.1 充分条件与必要条件 1.4.2 充要条件（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件　1.4.2　充要条件 基础过关练 题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定 1.已知p:0<x<2,q:-1<x<3,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.荀子曾说过:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这里的“积跬步”是“至千里”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.黄金三角形被称为最美等腰三角形,因此它经常被应用于许多经典建筑中.黄金三角形有两种,一种是顶角为36°,底角为72°的等腰三角形,另一种是顶角为108°,底角为36°的等腰三角形,则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的　(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设M,N为两个集合,则“M∪N≠⌀”是“M∩N≠⌀”的(　　) A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件 5.已知p是r的充分条件,q是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,p是s的必要条件,现有下列命题:①r是p的必要不充分条件;②r是s的充分不必要条件;③q是p的充分不必要条件;④s是q的充要条件.其中正确命题的序号是(　　) A.①　　　　B.②　　 C.③　　　　D.④ 6.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有(　　) ①若x,y是偶数,则x+y是偶数; ②若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根; ③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形; ④若ab=0,则a=0. A.0个　　　　B.1个　　 C.2个　　　　D.3个 7.(多选题)下列结论中正确的是(　　) A.“x>3”是“x>5”的必要不充分条件 B.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件 C.“0<a<4”是“不等式ax2+ax+1>0恒成立”的充要条件 D.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 8.已知U是全集,A,B是U的两个子集,则“A∩B=A”是“(∁UB)⊆(∁UA)”的　　　　条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个作答).  题组二　充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明 9.使x2<4成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x<2　　　　B.0<x<2　　 C.-2≤x≤2　　　　D.x>0 10.(多选题)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件是(　　) A.n=4　　B.n=-5　　C.n=-1　　D.n<0 11.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件填在下面横线处(用序号填空): (1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;  (2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;  (3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.  12.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 题组三　充分条件、必要条件与充要条件的应用 13.若“x>2a-3”是“-1<x<3”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　) A.a<1　　B.a≤1　　C.a>1　　D.a≥1 14.若“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.  15.已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}. (1)若a=3,求(∁RP)∩Q; (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 16.已知集合A={-1,3},非空集合B={x|x2-ax+3b=0},若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,求3a+4b的值. 答案与分层梯度式解析 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件　1.4.2　充要条件 基础过关练 1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.AB 9.B 10.BC 13.B 1.A　因为{x|0<x<2}⫋{x|-1<x<3},所以p是q的充分不必要条件.故选A. 2.C　“故不积跬步,无以至千里”,即“要至千里,必需积跬步”,而“至千里”还可能有其他必备因素,故选C. 3.B　若△ABC中有一个角是36°且△ABC不是等腰三角形,则△ABC不是黄金三角形,充分性不成立; 反之,若△ABC为黄金三角形,则△ABC中必有一个角是36°,必要性成立,因此,“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的必要不充分条件.故选B. 4.B　由M∪N≠⌀,得M,N中至少有一个不是空集,而M∩N可能是空集, 因此M∪N≠⌀推不出M∩N≠⌀,所以充分性不成立; 由M∩N≠⌀,说明M,N都不是空集,且M与N至少有一个公共元素,因此M∪N≠⌀, 即由M∩N≠⌀能推出M∪N≠⌀,所以必要性成立.因此“M∪N≠⌀”是“M∩N≠⌀”的必要不充分条件. 故选B. 5.C　根据题意,可得p⇒r,r⇒s,s⇒p,q⇒r且r⇒/q, 因此p、r、s两两互为充要条件,并且q是p的充分不必要条件,所以只有③正确.故选C. 6.D　对于①,若x+y是偶数,则x,y可能都是偶数,也可能都是奇数,故①不符合题意;对于②,若方程x2-2x+a=0有实根,则Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故②符合题意;对于③,若四边形是菱形,则四边形的对角线互相垂直,故③符合题意;对于④,若a=0,则ab=0,故④符合题意.故选D. 7.AB　对于A,“x>5”能推出“x>3”,反之未必,因此“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A正确; 对于B,若x≥2且y≥2,则x+y≥4,故充分性成立,当x=1,y=5时,满足x+y≥4,但x<2,故必要性不成立,故B正确;对于C,当a=0时,ax2+ax+1=1>0恒成立,故C错误;对于D,在△ABC中,当AB2+AC2=BC2时,△ABC为直角三角形,故充分性成立,当△ABC为直角三角形时,还可能得出AC2+BC2=AB2或AB2+BC2=AC2,故必要性不成立,故D错误.故选AB. 8.答案　充要 解析　由A∩B=A,得A⊆B,故(∁UB)⊆(∁UA),充分性成立; 由(∁UB)⊆(∁UA)得A⊆B,故A∩B=A,必要性成立, 所以“A∩B=A”是“(∁UB)⊆(∁UA)”的充要条件. 9.B　由x2<4,得到-2<x<2,结合选项知使x2<4成立的一个充分不必要条件是0<x<2,故选B. 解题模板　一般将充分、必要条件的探求问题转化为集合间的关系问题,根据“小充分、大必要”求解. 10.BC　由一元二次方程x2+4x+n=0有实数根知Δ=16-4n≥0,即n≤4. 设两实数根为x1,x2,则x1+x2=-4, 又方程x2+4x+n=0有正数根,因此x1,x2一正一负, 所以x1x2=n<0,所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以是选项B、C.故选BC. 解题模板　解决充分条件、必要条件的探究问题,常先探究其充要条件,再利用充要条件进行判断. 11.答案　(1)①②③　(2)④　(3)① 解析　①ab=0⇔a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0; ②a+b=0⇔a,b互为相反数,则a,b可能都为0,也可能一正一负; ③a(a2+b2)=0⇔a=0或 ④ab>0⇔或即a,b同号且都不为0. 12.证明　必要性:因为a+b=1, 所以a+b-1=0. 所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 又ab≠0,所以a≠0且b≠0. 则a2-ab+b2=+b2>0, 所以a+b-1=0,即a+b=1. 综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 易错警示　有关充要条件的证明,要从两个方面考虑,即充分性和必要性,缺一不可,解题时还要注意不能将充分性与必要性弄反了. 13.B　因为“x>2a-3”是“-1<x<3”的必要不充分条件, 所以集合{x|-1<x<3}是集合{x|x>2a-3}的真子集,故有2a-3≤-1⇒a≤1,故选B. 14.答案　{a|a≥3} 解析　∵“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件,∴{x|x>a}⫋{x|x≤2或x≥3},∴a≥3. 15.解析　(1)当a=3时,P={x|4≤x≤7},∁RP={x|x<4,或x>7}.又Q={x|-2≤x≤5}, 所以(∁RP)∩Q={x|-2≤x<4}. (2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,所以P是Q的真子集, 又Q={x|-2≤x≤5},P≠⌀, 所以或解得0≤a≤2. 故a的取值范围是{a|0≤a≤2}. 解题模板　研究充分性、必要性时,可转化为集合间的关系,若p,q对应的集合为P、Q,则p是q的充分条件⇔P⊆Q,p是q的必要条件⇔Q⊆P. 16.解析　依题意得B⊆A,B≠⌀,所以B={-1}或B={3}或B={-1,3}. 当B={-1}时,有⇒ 所以3a+4b=3×(-2)+4×=-; 当B={3}时,有⇒ 所以3a+4b=3×6+4×3=30; 当B={-1,3}时,有⇒ 所以3a+4b=3×2+4×(-1)=2. 综上,3a+4b的值为-或30或2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$