1.2 集合间的基本关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

1.2　集合间的基本关系 基础过关练 题组一　子集、真子集和空集 1.已知集合A={x|x2-1=0},则下列结论错误的是(　　) A.1∈A　　　　B.{-1}⊆A　　C.{-1}∈A　　　　D.{-1,1}=A 2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 3.下列四个集合中,是空集的是(　　) A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C.{x|x2≤0}D.{x|x2-x+1=0,x∈R} 4.(多选题)下列结论错误的是(　　) A.{0}∈{0,1}　　　　B.⌀∈{0}C.{1,2}⊆Z　　　　D.⌀⫋{0,1} 5.已知M={x|x=3m-1,m∈Z},N={x|x=3n+2,n∈Z},P={x|x=6p-1,p∈Z},则下列结论正确的是(　　) A.M=P⫋N　　　　B.P⫋M=N　　C.M⊆N⫋P　　　　D.N⊆M⫋P 题组二　集合间的关系及其应用 6.设集合A={0,-a},B={1,-1,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2　　B.1　　C.　　D.-1 7.已知集合A={x|x<a},B={0,3},若B⫋A,则a的取值范围是(　　) A.{a|a≥3}　　　　B.{a|a>3} C.{a|a>0}　　　　D.{a|a≥0} 8.(多选题)已知集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N},C={x|x⊆A},则关于集合A、B、C之间的关系,下列结论正确的有(　　) A.A=B　　B.A⫋B　　C.A=C　　D.A⊆C 9.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为　　　　.  10.设m为实数,集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},且B⊆A,则m的取值范围是　　　　.  11.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}. (1)若A恰有一个子集,求a的取值范围; (2)若A恰有一个元素,求a的取值集合. 能力提升练 题组一　集合间的基本关系 1.已知集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集,则实数m的取值范围为(　　) A.{m|2<m≤3}　　　　B.{m|2≤m<3}　　 C.{m|2≤m≤3}　　　　D.{m|2<m<3} 2.已知集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5},则所有满足条件的集合M的个数是(　　) A.6　　B.7　　C.8　　D.9 3.若x∈A,∈A,就称A是具有伙伴关系的集合,集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为(　　) A.1　　B.3　　C.5　　D.7 4.若集合M⫋{1,2,3,4,5,6,7},且M中至少含有两个奇数,则满足条件的集合M的个数是　　　　.  5.已知集合M={m∈Z|x2+mx-36=0有整数解},非空集合A满足条件:①A⊆M,②若a∈A,则-a∈A,则所有这样的集合A的个数为　　　　.  题组二　由集合间的关系解决参数问题 6.(多选题)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值可以为(　　) A.-2　　B.-1　　C.0　　D.1 7.已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B⊆A,则实数a的取值范围是(　　) A.-≤a<1　　　　B.-≤a≤1 C.a<-1或a≥0　　　　D.-≤a<0或0<a<1 8.(多选题)若集合A={x|ax-3=0},B={x|x2-2x-3=0},且A⊆B,则实数a的取值可以为(　　) A.0　　B.1　　C.3　　D.-3 9.已知集合A={x|-1≤x≤6}. (1)若集合B={x|m-1≤x≤2m+1}满足B⊆A,求实数m的取值范围; (2)当x∈N时,求集合A的子集的个数. 10.已知a∈R,关于x的方程x2+a=x的解组成的集合为A(A≠⌀),(x2+a)2+a=x的解组成的集合为B. (1)对于集合M,N,若对任意x∈M,都有x∈N,则M⊆N,求证:A⊆B; (2)若A=B,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.2　集合间的基本关系 基础过关练 1.C 2.D 3.D 4.AB 5.B 6.B 7.B 8.AD 1.C　集合A={x|x2-1=0}={-1,1},∴1∈A,-1∈A,{-1}⊆A,故A,B,D正确,C错误.故选C. 2.D　由题意可得A={1,2},B={1,2,3,4}, ∵A⊆C⊆B, ∴满足条件的集合C为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个,故选D. 3.D　选项A,{x|x+3=3}={0}; 选项B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)}; 选项C,{x|x2≤0}={0}; 选项D,方程x2-x+1=0中,Δ=1-4=-3<0,∴该方程无实数解,∴{x|x2-x+1=0,x∈R}=⌀.故选D. 4.AB　∵{0}⊆{0,1},∴A错误;∵⌀⊆{0},∴B错误;∵{1,2}⊆Z,∴C正确;易知D正确.故选AB. 5.B　因为M={x|x=3m-1,m∈Z}, N={x|x=3n+2,n∈Z}={x|x=3(n+1)-1,n∈Z}, P={x|x=6p-1,p∈Z}={x|x=3·2p-1,p∈Z}, 所以P⫋M=N.故选B. 6.B　由A⊆B得2a-2=0,解得a=1, 此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意.故选B. 7.B　因为B⫋A,故0,3均为A={x|x<a}中的元素,所以a>3,故选B. 8.AD　集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N}={0,1}=A,选项A正确,B错误; C={x|x⊆A}={⌀,{0},{1},{0,1}},则A⊆C,选项C错误,D正确.故选AD. 9.答案　A=B 解析　A==…,-,-,-,,,,…, B==…,-,-,-,,,,…,故A=B. 10.答案　 解析　当B=⌀时,m>2m-1,即m<1,满足B⊆A; 当B≠⌀时,由B⊆A得解得1≤m≤. 综上所述,m的取值范围是. 11.解析　(1)若集合A恰有一个子集,则集合A是空集,即方程ax2+2x+1=0无实根, 故a≠0,且Δ=4-4a<0,解得a>1,所以a的取值范围是{a|a>1}. (2)当a=0时,方程为2x+1=0,得x=-,此时集合A只有一个元素,符合题意; 当a≠0时,由题意得Δ=4-4a=0,解得a=1. 所以a的取值集合为{0,1}. 能力提升练 1.A 2.B 3.B 6.BCD 7.A 8.ABD 1.A　因为集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集,所以集合A中含有3个元素,则2<m≤3.故选A. 2.B　根据条件知1,2都是集合M的元素,并且M至少含有3,4,5中的一个,所以满足条件的集合M的个数为{3,4,5}的非空真子集的个数,为23-1=7.故选B. 3.B　由集合M=及新定义可知当x=0时,无意义;当x=,,2时,∉M;当x=-1,1时,∈M,因此x可取-1和1. 所以符合题意的集合为{-1},{1},{-1,1}, 所以具有伙伴关系的集合的个数为3.故选B. 4.答案　87 解析　考虑反面的两种情况: ①若M中不含有奇数,则集合M的个数等于集合{2,4,6}的子集的个数,即23=8. ②若M中只含有一个奇数,则该奇数可取1,3,5,7,共4种情况,则集合M的元素个数等于集合{2,4,6}的子集个数的4倍,即23×4=32. 不考虑奇数条件时,集合M共有27-1=127个,因此,符合题意的集合M共有127-8-32=87个. 5.答案　31 解析　易得x2+mx-36=0的整数解一正一负,且绝对值是36的约数. 当方程的解为-1,36时,m=-35; 当方程的解为-2,18时,m=-16; 当方程的解为-3,12时,m=-9; 当方程的解为-4,9时,m=-5; 当方程的解为-6,6时,m=0; 当方程的解为-9,4时,m=5; 当方程的解为-12,3时,m=9; 当方程的解为-18,2时,m=16; 当方程的解为-36,1时,m=35, 故集合M={-35,-16,-9,-5,0,5,9,16,35}. 由非空集合A满足条件:①A⊆M,②若a∈A,则-a∈A,(集合A中的元素成对出现,-35与35,-16与16,-9与9,-5与5,0与0,共5对) 可得这样的集合A共有25-1=31个(A是非空集合). 6.BCD　∵集合A有且仅有2个子集,∴A有且仅有1个元素. 当a=0时,集合A={0},符合题意. 当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1, 当a=1时,A={-1},符合题意,当a=-1时,A={1},符合题意,故选BCD. 7.A　解法一(特殊值法):当a=0时,B=⌀,满足B⊆A,因此D错误;当a=1时,B={x|x≤-1},不满足B⊆A,因此B、C错误.故选A. 解法二:当a=0时,B=⌀,满足B⊆A; 当a>0时,B=,由B⊆A得-<-1,解得0<a<1; 当a<0时,B=,由B⊆A得-≥3,解得-≤a<0. 综上,实数a的取值范围是-≤a<1.故选A. 8.ABD　B={x|x2-2x-3=0}={-1,3}, ∵A={x|ax-3=0},且A⊆B, ∴A=⌀或A={-1}或A={3}, 当A=⌀时,方程ax-3=0的根不存在,可知a=0; 当A={-1}时,由-a-3=0,解得a=-3; 当A={3}时,由3a-3=0,解得a=1. 综上所述,a的值为0或-3或1.故选ABD. 9.解析　(1)当B=⌀时,有m-1>2m+1,即m<-2,符合题意; 当B≠⌀时,由B⊆A得解得0≤m≤. 综上,m的取值范围是mm<-2或0≤m≤. (2)当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6},所以集合A的子集的个数为27=128. 易错警示　含有参数的集合B满足B⊆A,解题时要考虑B=⌀的情况,防止遗漏导致解题错误. 10.解析　(1)证明:设任意x0∈A,则+a=x0, 将x=x0代入(x2+a)2+a=x,等式成立. ∴x0是方程(x2+a)2+a=x的解, ∴x0∈B,因此A⊆B. (2)∵A≠⌀,∴x2-x+a=0有实根,∴Δ=1-4a≥0,∴a≤. 又集合B为方程(x2+a)2+a=x,即x4+2ax2-x+a2+a=0的解组成的集合,且A⊆B, ∴因式x4+2ax2-x+a2+a分解后必定含有因式x2-x+a, 由多项式的除法得x4+2ax2-x+a2+a=(x2-x+a)(x2+x+a+1)(类比数的除法,列竖式求解), ∵A=B,∴x2+x+a+1=0无实根或其根为方程x2-x+a=0的根. 当x2+x+a+1=0无实根时,Δ=1-4(a+1)<0,解得a>-. 当x2+x+a+1=0的根为方程x2-x+a=0的根时, ①若x2+x+a+1=0有两个不等实根,由根与系数的关系知,其根不可能与x2-x+a=0的根相同; ②若x2+x+a+1=0有两个相等实根,则Δ=1-4(a+1)=0,得a=-, 此时方程的根为x=-,此根恰好是x2-x+a=0的根,满足条件. 综上,实数a的取值范围是a-≤a≤. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$