1.1 集合的概念（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 基础过关练 题组一　集合的概念与元素的特性 1.(教材习题改编)下面给出的四类对象中,能构成集合的是(　　) A.某班视力较好的同学　　　　B.某小区长寿的人 C.π的近似值　　　　D.方程x2=1的实数根 2.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是(　　) A.锐角三角形　　　　B.直角三角形 C.钝角三角形　　　　D.等腰三角形 3.若以方程x2-3x+2=0和x2-5x+6=0的所有的解为元素组成集合A,则A中的元素个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 题组二　元素与集合的关系 4.(教材习题改编)给出下列关系:①π∈R;②∈Q;③-3∉Z;④|-3|∉N;⑤0∉Q.其中正确的个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 5.已知集合A={x|3x+2>m},若-1∉A,则实数m的取值范围是(　　) A.m<-1　　B.m>-1　　C.m≥-1　　D.m≤-1 6.已知集合A={1,a2+2a,a+2},若3∈A,则a=(　　) A.1　　B.-3　　C.-3或1　　D.3 题组三　集合的表示方法 7.若集合A={x|-1≤x≤4,x∈N},则集合A中的元素个数为(　　) A.3　　B.4　　C.5　　D.6 8.方程组的解组成的集合是(　　) A.{1,6}　　　　B.{x=3,y=2}　　 C.{(1,6)}　　　　D.{(3,2)} 9.在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是(　　) A.{x|x≤-3或x≥3}　　　　B.{x|-3≤x≤3} C.{x|x≤-3}　　　　D.{x|x≥3} 10.(多选题)下列各组中,M,P表示不同集合的是(　　) A.M={3,-1},P={(3,-1)} B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R} 11.集合A=xx∈Z,且∈N用列举法可表示为A=　　　　.  12.(1)用列举法表示方程组 的解组成的集合; (2)用描述法表示不等式-1<2x+3<9的解集. 能力提升练 题组一　集合的概念与元素的特性 1.已知a∈R,b∈R,若集合与{a2,a+b,0}相等,则a2 023+b2 024的值为(　　) A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2 2.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为(　　) A.-8　　B.-16　　C.8　　D.16 3.若集合{a,b,c,d}与{1,2,3,4}相等,且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的,则符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是　　　　.  题组二　元素与集合的关系 4.若x∈{1,2,x2},则x的值为(　　) A.0,2　　B.0,　　C.1,2　　D.0,1,2 5.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则(　　) A.a+b∈P B.a+b∈Q C.a+b∈M D.a+b不属于P,Q,M中的任何一个 6.若M为关于x的一元二次方程x2-ax-5=0的所有实数根组成的集合,且-5∈M,则集合M中所有元素之和为　　　　.  7.已知集合A={1,2,3,4,6},B=,则集合B中的元素个数为　　　　.  8.设集合A=2,3,a2-3a,a++7,B={|a-2|,3},已知4∈A且4∉B,则a的取值构成的集合为　　　　.  题组三　集合的综合问题 9.(多选题)设非空集合S={x|m≤x≤n},其中m,n∈R,若集合S满足:当x∈S时,有x2∈S,则下列结论正确的是　(　　) A.若m=1,则S={x|x≥1} B.若m=-,则≤n≤1 C.若n=,则-≤m≤0 D.若n=1,则-1≤m≤0 10.设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A. (1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素; (2)判断集合A是不是双元素集合,并说明理由; (3)若A中元素个数不超过8,所有元素的和为,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A. 答案与分层梯度式解析 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 基础过关练 1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D 9.B 10.ABD 1.D　A,B,C均不满足集合中元素的确定性.方程x2=1的实数根为-1,1,具有确定性,能构成集合.故选D. 2.D　因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三条边长两两互不相等,故选D. 3.C　易得方程x2-3x+2=0的解为1,2,方程x2-5x+6=0的解为2,3, ∴集合A={1,2,3},共有3个元素.故选C. 4.A　易知仅有π∈R正确,故选A. 5.C　∵集合A={x|3x+2>m},-1∉A,∴3×(-1)+2≤m,即m≥-1,故选C. 6.B　因为A={1,a2+2a,a+2},3∈A, 所以a2+2a=3或a+2=3,解得a=-3或a=1, 当a=-3时,A={1,3,-1},符合题意;当a=1时,a2+2a=a+2,不满足集合中元素的互异性,舍去, 因此a=-3.故选B. 7.C　由A={x|-1≤x≤4,x∈N}得A={0,1,2,3,4},所以集合A中的元素个数为5.故选C. 8.D　解方程组得故所求集合是{(x,y)|x=3,y=2}或{(3,2)}.故选D. 9.B　在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足|x|≤3,即-3≤x≤3,因此所求的集合为{x|-3≤x≤3},故选B. 10.ABD　选项A,集合M的元素为3,-1,集合P的元素为点(3,-1),所以A符合题意;选项B,集合M的元素为点(3,1),集合P的元素为点(1,3),所以B符合题意;选项C,易知集合M,P为同一集合,所以C不符合题意;选项D,集合M的元素为y,集合P的元素为点(x,y),所以D符合题意.故选ABD. 11.答案　{-2,2,4,5} 解析　∵A=xx∈Z,且∈N,∴6-x是8的约数且x∈Z,∴6-x=8,4,2,1,且x∈Z,∴x=-2,2,4,5,故A={-2,2,4,5}. 12.解析　(1)由解得或所以方程组的解组成的集合为{(0,1),(1,0)}. (2)因为-1<2x+3<9,所以-2<x<3, 所以不等式的解集为{x|-2<x<3}. 能力提升练 1.B 2.C 4.A 5.B 9.BC 1.B　根据题意得a≠0,故=0,则b=0,因此{a,0,1}与{a2,a,0}相等,由集合中元素的互异性知a≠1,故a2=1,故a=-1,当a=-1,b=0时,{-1,0,1}={1,-1,0},符合题意,所以a2 023+b2 024=-1.故选B. 2.C　由题意得A={-2,1},B={-1,2},又-2×(-1)=2,-2×2=-4,1×(-1)=-1,1×2=2,∴A☉B={-4,-1,2},因此-4×(-1)×2=8.故选C. 3.答案　6 解析　若仅有①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,此时a=b,不满足集合中元素的互异性,故此种情况不成立. 若仅有②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况. 若仅有③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,此时仅有(3,1,2,4)一种情况. 若仅有④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况. 综上,符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是6. 方法技巧　先用肯定条件确定参数的值,再用否定条件进行讨论. 4.A　当x=1时,x2=1,不满足集合中元素的互异性; 当x=2时,集合为{1,2,4},成立; 当x=x2时,x=1(舍去)或x=0,当x=0时,集合为{1,2,0},成立. ∴x=0或x=2.故选A. 解题模板　由集合中元素的特性求参数的值的步骤 5.B　∵a∈P,∴a=2k1,k1∈Z.∵b∈Q,∴b=2k2+1,k2∈Z.∴a+b=2(k1+k2)+1=2k+1(k1,k2,k∈Z),∴a+b∈Q.故选B. 解题模板　集合{x∈A|P(x)}中的P(x)为集合A中元素x的共同特征,若a∈A,则a满足P(x);反过来,若a满足P(x),则a∈A. 6.答案　-4 解析　∵-5∈M,∴25+5a-5=0,解得a=-4,∴原方程为x2+4x-5=0,由根与系数的关系得,集合M中所有的元素之和为-4. 7.答案　13 解析　∵集合A={1,2,3,4,6}, ∴B==1,,,,,2,,3,,,4,,6, ∴集合B中的元素个数为13. 8.答案　{4} 解析　∵4∈A,∴a2-3a=4或a++7=4. 当a2-3a=4时,解得a=-1或a=4, 当a=-1时,a++7=4,不满足集合中元素的互异性,舍去; 当a=4时,A=2,3,4,,B={2,3},满足题意. 当a++7=4时,解得a=-1(舍去)或a=-2, 当a=-2时,B={4,3},不满足题意,舍去. 综上所述,a的取值构成的集合为{4}. 9.BC　∵非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S, ∴当m∈S时,有m2∈S,即m2≥m,解得m≥1或m≤0; 同理,当n∈S时,有n2∈S,即n2≤n,解得0≤n≤1. 对于A,若m=1,则必有m2=1∈S,故必有∴m=n=1,所以S={1},故A错误; 对于B,若m=-,则必有m2=∈S,故必有解得≤n≤1,故B正确; 对于C,若n=,则m≤m2≤,解得-≤m≤0,故C正确; 对于D,若n=1,则m≤m2≤1,解得-1≤m≤0或m=1,故D错误.故选BC. 10.解析　(1)证明:由2∈A得=-1∈A; 由-1∈A得=∈A;由∈A得=2∈A, 所以集合A中还有另外两个元素-1和. (2)集合A不是双元素集合.理由如下: 由题意得,若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A,则=1-∈A,若1-∈A,则x∈A,所以集合A中应包含x,,1-,且它们互不相等方程x=,x=1-,=1-均无解, 故集合A不是双元素集合. (3)由(2)得集合A中的元素个数应为3或6(一个元素x可生成3个不同的元素,因此A中元素的个数为3,6,9,…,又A中元素不超过8个,故A中元素个数为3或6), 因为x··=-1,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积, 所以A中应有6个元素(若只有3个元素,则所有元素之积为-1,不是平方数),且其中一个元素为-1(6个元素的积为1,则其中一个元素的平方为1,而由题干中范围知该元素不是1), 由-1∈A结合条件可得∈A,2∈A,又因为-1++2=,所以剩余三个元素的和为-=, 即x++=,解得x=-或x=3或x=, 故A=. 方法技巧　题干给出的是集合中元素的关系,即给定一个元素可以求出下一个元素,解题关键是找到元素的规律,由此分析元素的特点,结合已知就可以解决问题. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$