1.2 集合间的基本关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

1.2 集合间的基本关系 知识点 1 子集、集合相等、真子集 知识 清单破 概念 图示 性质 子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作 A⊆B(或 B⊇A),读作 “A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本 身的子集,即A⊆A; 对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 集合 相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B   A⊆B,且B⊆A⇔A=B; A=B,且B=C,则A=C 真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A)   A⫋B,且B⫋C,则A⫋C; A⊆B,且A≠B,则A⫋B 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 定义 不含任何元素的集合叫做空集 符号 ⌀ 规定 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 知识点 2 空集 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 　　在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观 地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.   知识点 3 Venn图 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.⌀和{⌀}表示的意义相同吗? 2.如何定义集合A与集合B相等?如何判断? 3.已知集合B⊆A,则由a∉A能否得到a∉B? 4.若集合A中有3个元素,则A的子集有多少个? 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不相同.⌀是不含任何元素的集合,而集合{⌀}中含有一个元素⌀. 2.用子集关系定义相等关系,即A⊆B,且B⊆A⇔A=B;判断集合相等有两种方法:一是利用定 义,二是判断元素是否完全相同. 3.能.画Venn图观察即可. 4.8个. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 集合间关系的判断 关键能力 定点破 判断集合间关系的方法 (1)列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将相关集合表示出来,再通过对比集合中 的元素来判断其关系. (2)元素特征法:弄清集合中元素的限制条件,再利用限制条件来判断集合间的关系. (3)图示法:利用数轴或Venn图表示集合,可直观地判断集合间的关系. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 判断下列集合间的关系: (1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}; (2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4}; (3)M= ,N= x x= - ,n∈Z ,P= . 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A. (2)A={x|0<2x-1<1}= , B={x|1<3x+1<4}={x|0<x<1}, 用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⫋B.   (3)解法一(元素特征法): M= =  第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 = , N= =  = , P=  = , ∴M⫋N=P. 解法二(列举法): M= , 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 N= , P= , ∴M⫋N=P. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.假设集合A中含有n(n∈N*)个元素,则: (1)A的子集的个数是2n; (2)A的非空子集的个数是2n-1; (3)A的真子集的个数是2n-1; (4)A的非空真子集的个数是2n-2. 2.含有限制条件的子集问题,一般可根据条件列出所有适合题意的子集,采用列举法解决.特 别地,设有限集合A,B中分别含有m,n个元素(m,n∈N*,m≤n),且A⊆C⊆B,则符合条件的有限集 C的个数为2n-m. 定点 2 探究已知集合的子集个数 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)集合M={1,2,3}的非空真子集的个数是　　　    ; (2)若{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足这一关系的集合A的个数为　　　    . 解析    (1)解法一:集合M的非空真子集有{1},{2},{3},{1,2},{1,3}和{2,3},共6个. 解法二:由题意知集合M中元素的个数为3,则其非空真子集的个数为23-2=6. (2)解法一:∵{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4,5}, ∴集合A中除了含有1,2两个元素以外,至少还含有3,4,5中的一个, 因此满足条件的集合A为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7 个. 解法二:{1,2}中含2个元素,{1,2,3,4,5}中含5个元素,且{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4,5}, 因此集合A的个数为25-2-1=7. 6 7 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.若集合是有限集,则根据集合间的关系,列出方程(组)求解,注意考虑集合中元素的互异性. 2.若集合是用不等式描述的,则通常借助数轴进行分析,注意端点值是否符合题意. 定点 3 根据集合间的关系求参数的值或取值范围的方法 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知a为常数,集合A={x|x2+x-6=0},集合B={x|ax-2=0},且B⊆A,求a的所有取值构成的 集合; (2)已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2},若B⊆A,求实数a的取值范围. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)集合A={x|x2+x-6=0}={-3,2},因为集合B={x|ax-2=0},且B⊆A, 所以B=⌀或B={-3}或B={2}, 当B=⌀时,a=0; 当B={-3}时,a=- ; 当B={2}时,a=1. 故a的所有取值构成的集合为 . (2)①当B=⌀时,易得2a-3≥a-2,解得a≥1,满足题意. ②当B≠⌀时,由B⊆A可得 解得-1≤a<1. 综上所述,实数a的取值范围为{a|a≥-1}. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 $$