4.5.1 函数的零点与方程的解 4.5.2 用二分法求方程的近似解（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

1.函数的零点的概念 　　对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2.方程、函数、函数图象之间的关系 　　方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 4.5 函数的应用(二) 知识点 1 函数的零点 知识 清单破 4.5.1 函数的零点与方程的解 4.5.2　用二分法求方程的近似解 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　函数零点存在定理 　　如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y= f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 知识点 2 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　用二分法求函数y=f(x)零点的近似值 1.二分法 　　对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在 区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.给定精确度ε用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下: (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. 知识点 3 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间: ①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点; ②若f(a)f(c)<0 (此时x0∈(a,c)),则令b=c; ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c. (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2~4. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.函数的零点是函数图象与x轴的交点吗? 2.设f(x)= ,由f(-1)f(1)<0能否得到函数f(x)= 在[-1,1]内有零点? 3.若函数f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,能否确定零点是唯一 的? 4.若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,能否得到f(a)f(b)<0? 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数解,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,为 函数图象与x轴的交点的横坐标. 2.不能.f(x)= 的图象在[-1,1]上不是一条连续不断的曲线. 3.不能.若f(x)在[a,b]上单调,则零点唯一,否则零点可能不止一个. 4.不能.y=f(x)在x=a或x=b处可能无定义,即使有定义,也可能f(a)f(b)>0,如函数f(x)=(x-1)2在(0,2) 内有零点,但f(0)f(2)>0. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题  关键能力 定点破 　　设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,令f(x)=ax2+bx+c(a>0),则x1, x2的分布情况如下表: 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 根的分布 图象 等价条件 x1<x2<k     k<x1<x2     第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 根的分布 图象 等价条件 m<x1<k<x2<n     x1,x2∈(k1,k2)     第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 根的分布 图象 等价条件 只有一根在(k1,k2)内    或f(k1)f(k2)<0 (f(k1)=0或f(k2)=0时单独验证) 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6. (1)若f(x)有两个零点,一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围; (2)若f(x)的两个零点都比1大,求实数m的取值范围; (3)若f(x)的两个零点α,β满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)的图象是开口向上的抛物线. 由题意,得f(2)<0,即22+2(m-1)×2+2m+6<0,解得m<-1. 所以实数m的取值范围为(-∞,-1). (2)由题意得  即  解得- <m<-1. 所以实数m的取值范围为 . 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由题意得  即  解得- <m<- . 所以实数m的取值范围为 . 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　函数零点个数的判断及应用  1.判断函数f(x)的零点个数的主要方法 (1)转化为解相应的方程,根据方程的解进行判断. (2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数. (3)利用函数零点存在定理进行判断,若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线, 且在区间(a,b)上单调,满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 2.有关函数零点个数的应用问题,通常利用转化法和数形结合思想求解. 定点 2 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知函数f(x)= 若方程f(x)=a有4个不同的实数根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4), 则 +x3+x4的取值范围是　　　　    ; (2)已知函数f(x)= 若方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0有6个不同的根,则实数m的取值范 围是　　　    . (7,8) (-∞,-1) 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由函数f(x)= 作出f(x)的图象和直线y=a,如图所示:   根据二次函数图象的对称性知x3+x4=6,且2<x3<3<x4<4,∵|log2x1|=|log2x2|=a,∴-log2x1=log2x2,∴x1 x2=1, ∴ +x3+x4=6+ =6+ =5+ ,∵2<x3<3,∴ ∈ ,∴5+ ∈(7,8),∴ +x3+x4的 取值范围是(7,8). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 (2)令t=f(x),则方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0,即2t2+3mt+1=0. 作出直线y=t和函数y=f(x)的图象,如图所示:   由图象可知: 当t<0时,方程t=f(x)有1个根; 当t=0时,方程t=f(x)有3个不同的根; 当0<t<1时,方程t=f(x)有4个不同的根; 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 当t=1时,方程t=f(x)有3个不同的根; 当t>1时,方程t=f(x)有2个不同的根. 要使关于x的方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0有6个不同的根, 则方程2t2+3mt+1=0有两个不同的根,不妨设为t1,t2(t1<t2),则0<t1<1,t2>1,或t1=0,t2=1. 由根与系数的关系得t1t2= ,故t1=0,t2=1不满足,舍去. 若0<t1<1,t2>1,结合函数y=2t2+3mt+1的图象得2+3m+1<0,解得m<-1. 故实数m的取值范围是(-∞,-1). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　用二分法求方程的近似解  1.二分法求方程近似解的适用条件 (1)在初始区间内函数图象是连续不断的; (2)函数在初始区间的两个端点的函数值异号,即是变号零点. 2.利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数,选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小. (2)用列表法清晰地表达函数零点所在的区间,依次进行计算. (3)求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (4)区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点. 定点 3 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 用二分法求方程2x+x=4的近似解(精确度为0.2). 参考数据: x 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x的近似值 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    令f(x)=2x+x-4,则f(x)在R上是增函数, f(1)=2+1-4=-1<0, f(2)=22+2-4=2>0,因此可取区间 (1,2)作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下: 区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号 (1,2) x1=1.5 f(x1)≈0.33>0 (1,1.5) x2=1.25 f(x2)≈-0.37<0 (1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)≈-0.035<0 ∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,∴方程2x+x=4在(1,2)内的近似解可以为1.375. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 $$