4.5.1 函数的零点与方程的解课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1 零点存在定理 温故知新 【思考】类比二次函数的零点，对于一般函数 y = f (x)，你能说说什么是函数 y = f (x) 的零点吗？如何求函数零点？ 对于函数y=f (x),我们把使f (x)=0的实数x叫做函数y=f (x)的零点. 【追问1】函数的零点是一个点吗？ 零点非点，零点是数 【练1】函数 的零点是（ ） A.（ 2，0 ） B.（3，0 ） C. 2 D. 3 【追问2】试归纳函数零点的等价说法？ 【追问2】试归纳函数零点的等价说法？ 方程f (x)=0有实数根 函数y=f (x)有零点． 函数y=f (x)的图象与x轴有交点 数 形 【推论】若函数y=f (x)=g(x)-h(x)，则y= f (x)的图象与x轴有交点等价于g(x)与h(x)两函数图象有交点. 【思考】是否所有函数都存在零点？ 【思考】什么情况下函数一定会存在零点？ x y O 1 2 3 4 3 1 2 4 －1 －2 －2 －1 －3 －4 在区间[-2,0]和区间[2,4]内有零点-1和3 在区间[-2,0]上，函数图象和x轴有何关系？ 如何用f(x)的取值规律刻画这种关系？ 零点存在定理：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内至少有一个零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解。 x y 0 a b c 注：此定理适用于变号零点. 是 的什么条件? 充分不必要 【思考】在零点存在定理中，增加什么条件会使得零点具有唯一性？ 零点存在唯一性定理：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续且单调的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有且仅有唯一一个零点。 辨析思考： 1.函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0？ 2.若f(a)·f(b)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定没有零点吗？ 3.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？ 4.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条单调曲线，且f(a)·f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？ A.[1,2] B.[2,3] C.[3,4] D.[4,5] 你能把零点所在的区间划分得更细吗？ 引例：路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两幅图． 推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？ 例1：(1)求函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点； (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 例2：求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数． 例3：已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是 (　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1，0) D．[－1，0) 例4：f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是 f(a)f(b)<0 一分为二 逼近零点 eq \a\vs4\al() 用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值不异号)不适用．　　　　 知识点一　二分法 条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上__________； (2)在区间端点的函数值满足__________ 方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点逐步__________，进而得到零点近似值 连续不断 知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤 【例5】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1) [解]　令f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0， 所以函数f(x)在(0，1)内存在零点， 即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解． 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0， 又f(1)>0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： (a，b) 中点c f(a) f(b) feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) (0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0 (0.687 5，0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解． [母题探究] (变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？ 解：在本例的基础上，取区间(0.687 5，0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解． $$