4.1 指数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

1.n次方根 若xn=a(n>1,n∈N*),则x叫做a的n次方根,x=  2.根式 (1)定义:式子  叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质(其中n>1,且n∈N*) 4.1 指数 知识点 1 根式 知识 清单破 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 n为奇数 n为偶数 ( )n=a(a∈R) ( )n=a(a≥0)  =a(a∈R)      =|a|=  第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　 分数指数幂 　　     = ,     = = (a>0,m,n∈N*,且n>1). 　　规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 知识点 2 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 实数指数幂 1.概念:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的实数. 2.实数指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 知识点 3 知识拓展     =ar-s(a>0,r,s∈R). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.( )n= 一定成立吗? 2.正数的分数指数幂可能是负数吗? 3.实数a的n次方根可能有几个? 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定成立.( )n与 的意义不同,比如 =( )3=-3, =3,而( )4没有意义,故 ( )n= 不一定成立. 2.不可能.正数的分数指数幂总是正数,不可能是负数. 3.当n为大于1的奇数时,实数a的n次方根有1个;当n为大于1的偶数时,正数a的n次方根有2个,0 的n次方根有1个,负数没有偶次方根. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 根式与分数指数幂的化简、求值 关键能力 定点破 1.运用根式的性质解题时的注意点 (1)分清根式是奇次根式还是偶次根式: ①n>1,且n为奇数时,( )n= =a,a为任意实数; ②n>1,且n为偶数,a≥0时,( )n才有意义,且( )n=a; ③n>1,且n为偶数,a为任意实数时, 均有意义,且 =|a|. (2)注意变式、整体代换,以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式 的运用,必要时要进行分类讨论. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 2.根式与分数指数幂化简、求值的技巧 (1)将根式化为幂的形式,小数指数幂化为分数指数幂,负指数幂化为正指数幂的倒数. (2)底数是小数的,要先化成分数,底数是带分数的,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式 表示,便于利用指数幂的运算性质. 　　注意:化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 计算: (1) + + ; (2)(2a-3 )(-3a-1b)÷(4a-4 )(a>0,b>0); (3)0.02 - + -( - )0; (4) ÷ × (a>0,b>0). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)原式=-6+(4- )+ -4=-6. (2)原式=- a-3-1+4 =- b2. (3)原式= -(-1)-2× + -1= -49+ -1=-45. (4)原式= · · = =a. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　指数幂的条件求值问题  解决指数幂的条件求值问题的一般方法——整体代换法 (1)将已知条件或所求代数式进行恰当变形,从而通过“整体代换法”求出代数式的值. (2)常用的变形公式如下: ①a±2  +b=( ± )2; ②( + )( - )=a-b; ③ + =( + )(a-  +b); ④ - =( - )(a+  +b). 定点 2 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知 + =4,求值: ①a+a-1;②a2+a-2;③ ; (2)已知x+y=12,xy=9,求 的值. 思路点拨    分析条件与所求代数式的关系,利用平方关系,结合因式分解求解. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)①将 + =4两边平方,得a+a-1+2=16,所以a+a-1=14. ②将a+a-1=14两边平方, 得a2+ +2=196, 所以a2+a-2=194. ③因为 - =( )3-( )3, 所以 =  =a+a-1+1=14+1=15. (2) = = . 因为x+y=12,xy=9, 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108, 所以x-y=±6 , 所以 = =± . 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 $$