3.4 函数的应用(一)（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

　　已知函数类型的应用问题,常用待定系数法求出函数解析式,再用函数知识解决问题. 3.4 函数的应用(一) 知识点 1 已知函数类型解决函数应用问题 知识 清单破 未知函数类型解决函数应用问题 　　利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:(1)审题;(2)建模; (3)求模;(4)还原. 知识点 2 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.在实际问题中,若自变量的取值不同,自变量与函数值间的对应关系不同,如何确定函数模 型? 2.运用函数模型解决实际问题时,如何确定函数的定义域? 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.需构建分段函数模型. 2.函数的定义域不仅要使解析式有意义,还要使自变量以及用自变量表示的所有量都满足实 际意义. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 建立函数模型解决实际应用问题  关键能力 定点破 　　在实际应用问题中,若涉及的两个变量之间的关系符合已知函数模型,如一次函数模 型、二次函数模型、反比例函数模型、幂函数模型等,则可根据以下步骤解决: (1)根据题意设出函数解析式,并利用待定系数法求解函数解析式; (2)根据函数解析式,结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 某个体经营者试销A,B两种商品,他把开始六个月的逐月投资金额与所获纯利润进行了 统计并制成下表(单位:万元): 投资金额x 1 2 3 4 5 6 A种商品所 获纯利润y1 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 B种商品所 获纯利润y2 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该个体经营者准备在下月投入12万元经营这两种商品,请你帮忙制订一个资金投入方案,使 该个体经营者获得最大纯利润,并按你的方案求出该个体经营者下月可获得的最大纯利润 (结果保留两位有效数字). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    在平面直角坐标系中,以投资金额为横坐标,所获纯利润为纵坐标,根据题表中数据画 出散点图,如图所示.        由散点图可以看出,A种商品所获纯利润y1(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用 二次函数模型拟合. 取最高点(4,2),设y1=a(x-4)2+2(a≠0),把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15, 所以y1=-0.15(x-4)2+2. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 B种商品所获纯利润y2(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用一次函数模型进行拟合. 设y2=kx+b(k≠0), 将点(1,0.25)和(4,1)代入,得 解得 所以y2=0.25x. 设下月A,B两种商品的投资金额(万元)分别为xA,xB,获得的纯利润(万元)分别为yA,yB,总利润为 W(万元),则xA+xB=12,0<xA<12,0<xB<12, 所以W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB, 所以W=-  + (0<xA<12). 当xA= ≈3.2时,W取得最大值,最大值为 ≈4.1,此时xB=8.8, 即该个体经营者下月把12万元中的3.2万元投入A种商品,8.8万元投入B种商品时,可获得最大 纯利润,最大纯利润约为4.1万元. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 利用分段函数解决实际应用问题  1.在一些实际问题中,函数值与自变量的对应关系随着自变量取值的不同而不同,如:分段计 费、分段税率等问题,解决此类问题常需构造分段函数模型,利用分段函数解决问题. 2.利用分段函数解决实际问题时,先在自变量的每段取值范围中解决相应的问题,再综合各段 的结论,得到问题的最终解. 定点 2 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 国庆节期间,某商场进行如下的优惠促销活动: 优惠一:一次购买商品的价格每满60元立减5元; 优惠二:在优惠一之后,每满400元再减40元. 例如,一次购买商品的价格为140元,则实际支付额为140-5× =140-5×2=130(元),其中[x] 表示不大于x的最大整数.又如,一次购买商品的价格为880元,则实际支付额为880-5× -40×2 =730(元). (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品,他是分两次支付好,还是一 次性支付好?请说明理由; (2)已知某商品是小明常用必需品,其价格为30元/件.小明趁商场促销,想多购买几件该商品, 且预算不超过500元,则他应购买多少件该商品,才能使其平均价格最低?最低平均价格是多少? 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)分两次支付:支付额为250-5× +650-5× -40=230+600-40=790(元); 一次性支付:支付额为900-5× -40×2=745(元). 因为745<790,所以一次性支付好. (2)设购买x(x∈N*)件,平均价格为y元/件. 由于预算不超过500元,所以最多购买19件. 易知当1≤x≤14时,不能享受优惠二, y=  =30- ×  =  第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 =  又27.5+ >27.5,所以当购买偶数件时,平均价格最低,为27.5元/件. 当15≤x≤19时,能享受优惠二, y=  =30- × -  =  =  第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 若x为偶数,则x=16时,ymin=25. 若x为奇数,则x=15时,ymin=25. 因为27.5>25,所以购买15件或16件该商品,才能使其平均价格最低,最低平均价格为25元/件. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 $$