3.3 幂函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

　　一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 3.3 幂函数 知识点 1 幂函数的概念 知识 清单破 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 五个幂函数的性质 知识点 2 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=  y=x-1 图象           定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0, +∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0, +∞) 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 单调性 增函数 在[0,+∞)上 单调递增, 在(-∞,0]上 单调递减 增函数 增函数 在(0,+∞)上 单调递减, 在(-∞,0)上单 调递减 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 共同点 图象都经过点(1,1) 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象? 2.当n<0时,幂函数y=xn是不是定义域上的减函数? 3.若幂函数y=xα在(-∞,0)上有意义,能否确定此幂函数一定具有奇偶性? 4.幂函数的图象是否一定与坐标轴相交?若相交,交点是不是定点? 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.第一象限;第四象限. 2.不一定.如函数y=x-1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数. 3.能.幂函数图象在第一、三象限时,函数为奇函数;幂函数图象在第一、二象限时,函数为偶 函数. 4.不一定;是.只有当α>0时,幂函数y=xα的图象才与坐标轴相交.若相交,交点是原点,为定点. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 幂函数的图象 关键能力 定点破 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)在第一象限内,根据幂函数的图象确定幂指数α的范围,依据图象高低判断幂指数的大小, 相关结论如下: ①当α>0时,幂函数在区间[0,+∞)上单调递增,且图象过原点.在第一象限内,当α>1时,幂函数 的图象下凸;当α=1时,幂函数的图象为直线y=x在第一象限内的部分;当0<α<1时,幂函数的图 象上凸. 　　当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减,且函数在原点处无意义. 　　当α=0时,y=x0=1(x≠0)的图象为不包括点(0,1)且平行于x轴的直线. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 ②如图,作出直线x=a(a>1),它同各幂函数的图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数α依次增大. (2)利用幂函数的定义域、奇偶性及其在第一象限内的图象可确定它在其他象限内的图象. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知点( ,2)与点 分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,分别求x的值或取值范围,使 f(x)>g(x);f(x)=g(x);f(x)<g(x). 解析    设f(x)=xα,g(x)=xβ. 由题意得( )α=2,(-2)β=- , 所以α=2,β=-1, 所以f(x)=x2,g(x)=x-1. 在同一平面直角坐标系中作出它们的图象,如图所示.   由图可知,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时, f(x)>g(x);当x=1时, f(x)=g(x);当x∈(0,1)时, f(x)<g(x). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 运用幂函数的性质解决相关问题  　　幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性.反过来,也可由幂函数的性质去限制α的取值:利用幂函 数的单调性求出α的取值范围;由奇偶性结合所给条件确定α的值. 定点 2 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)·x-2m-1在(0,+∞)上单调递增,求f(x)的解析式; (2)若(k+1)-1<(3-2k)-1,求实数k的取值范围. 解析    (1)因为f(x)是幂函数, 所以m2-m-1=1, 解得m=-1或m=2. 又f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以-2m-1>0,即m<- , 所以m=-1,所以f(x)=x. (2)易知y=x-1在区间(-∞,0),(0,+∞)上均单调递减. 分三种情况讨论: ①当k+1<0<3-2k,即k<-1时, 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 易知原不等式恒成立; ②当k+1<0且3-2k<0时,k∈⌀; ③当k+1>0且3-2k>0, 即-1<k< 时, 由题意得k+1>3-2k, 即k> , 所以 <k< . 综上,k的取值范围是(-∞,-1)∪ . 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 $$