3.2.2 奇偶性（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

　 3.2 函数的基本性质 知识 清单破 3.2.2 奇偶性 知识点 奇函数、偶函数的定义及图象特征 偶函数 奇函数 定义 设函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,都有-x∈D,且 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 定义域 关于原点对称 图象 关于y轴对称 关于原点对称 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展    1.函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为 奇函数,即f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b]=b-f(x+a)⇔f(a-x)+f(a+x)=2b. 2.函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数,即f(a-x)= f(a+x). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.奇函数f(x)的图象是否一定过原点? 2.对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=f(x),则函数y=f(x)一定是偶函数吗? 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数? 4.若对f(x)定义域内任意的x都有f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象具有怎样的对称性? 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.只有当f(x)在x=0处有意义时,图象才过原点. 2.不一定.例如f(x)=x,存在x=0,使f(-0)=f(0)=0,但函数f(x)=x是奇函数. 3.存在.如f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集. 4. f(x)的图象关于直线x= 对称. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 判断函数的奇偶性 关键能力 定点破 1.判断函数奇偶性的常见方法 (1)定义法: 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 (2)图象法:   第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不确定 不确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不确定 不确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 (3)函数奇偶性的运算性质 　    f(x),g(x)在它们的公共定义域上的奇偶性如下: 注意:在f(g(x))中,g(x)的值域是f(x)的定义域的子集. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　　2.分段函数奇偶性的判断 判断分段函数f(x)的奇偶性,需在每一个区间上任取自变量,再向对称区间转化,验证f(-x)=-f(x) 或f(-x)=f(x)是否成立,也可以作出函数图象,结合对称性判断. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+2|+|x-2|; (2)f(x)= + ; (3)f(x)= ;(4)f(x)= ; (5)f(x)=  第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),故f(x)为偶 函数. (2)由 得x=±1,则f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,此时f(x)=0, ∵f(1)+f(-1)=0, f(1)-f(-1)=0,即f(x)=±f(-x),∴f(x)既是奇函数,也是偶函数. (3)易知f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函 数. (4)由已知得 得-3≤x≤3且x≠0,则f(x)的定义域为[-3,0)∪(0,3],关于原点对称. ∴f(x)= = = , ∴f(-x)= =- =-f(x), 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 故f(x)是奇函数. (5)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x); 当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x). 故对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=f(x),故函数f(x)是偶函数. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　函数奇偶性的应用  1.由函数的奇偶性求参数 　　若函数解析式中含有参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数法求参数;若定义 域中含有参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点值之和为0求参数. 2.由函数的奇偶性求函数值 　　若所给的函数具有奇偶性,则直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解;若所给的函数不具有奇 偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数,然后利用其奇偶性求值. 3.由函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间. (2)把-x对称转化到已知区间上,代入已知区间的解析式得f(-x). (3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x). 定点 2 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],求a,b的值; (2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(-2)=10,求f(2)的值; (3)若函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x3+x2,求f(x)的解析式. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵偶函数的定义域关于原点对称,∴a-1=-2a且a-1<2a,解得a= ,∴f(x)= x2+bx+b+1, 由f(x)为偶函数,得f(x)=f(-x),即 x2+bx+b+1= (-x)2-bx+b+1,整理得2bx=0,∴b=0. (2)令g(x)=f(x)+8,则g(x)=x5+ax3+bx,易得g(x)为奇函数.∵f(-2)=10,∴g(-2)=10+8=18, ∴g(2)=-g(-2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. (3)由题意可知f(0)=0.令x<0,则-x>0, ∴f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2, 又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x3-x2, 即当x<0时, f(x)=x3-x2. 故函数f(x)的解析式为f(x)=  第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　函数单调性、奇偶性的综合应用  1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反. 2.区间[a,b]和[-b,-a](a<b)关于原点对称. (1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M; (2)若f(x)为偶函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值M. 3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小,关键是利用奇偶性把自变量转化 到函数的同一个单调区间内,然后利用单调性比较. 定点 3 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知定义在[-2,2]上的函数f(x)在[0,2]上单调递减,且f(1-m)<f(m). (1)若f(x)是奇函数,求实数m的取值范围; (2)若f(x)是偶函数,求实数m的取值范围. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减, 所以f(x)在[-2,2]上单调递减, 所以f(1-m)<f(m)等价于  解得-1≤m< . 所以实数m的取值范围为 . (2)因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|), 所以f(1-m)=f(|1-m|), f(m)=f(|m|). 因为f(x)在区间[0,2]上单调递减, 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 所以原不等式等价于  解得-1≤m< . 所以实数m的取值范围是 . 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 素养解读 　　新定义问题已经成为高考的热点问题.新定义问题注重考查学生对数学的理解能力、新 情境下的知识迁移能力和自主学习新知识的能力. 函数新定义问题的一般形式:先给出一个新的概念或新的运算法则或抽象函数的性质等,然 后让我们按照这种新定义去解决相关问题. 学科素养 情境破 素养 通过解决函数中的新定义问题发展数学抽象的素养 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 例题 (多选)若函数f(x)同时满足①∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=0;②∀x1,x2∈R,且x1≠x2,都有  <0,则称该函数为“优美函数”.以下四个函数中不是“优美函数”的是 (        ) A. f(x)=-x B. f(x)=-2x3 C. f(x)=1-x D. f(x)=  典例呈现 CD 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    由题意可得“优美函数”为奇函数且为减函数.根据奇函数的定义及函数的单调 性,对各选项逐一分析. 对于A,B,易知f(x)=-x和f(x)=-2x3均是奇函数,且是减函数,故均为“优美函数”. 对于C,由f(x)=1-x得f(-x)=1+x,因为f(-x)≠-f(x),所以f(x)不是“优美函数”. 对于D,易知f(x)在R上单调递增,所以函数f(x)不是“优美函数”.故选CD. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 　　新定义问题的背景是新颖的,虽然概念、运算规则等是新给出的,但是考查的知识是基 础的,方法是常规的.这就要求我们平时学习中要吃透教材,在面对新情境材料时,不仅要读懂 题目,还要深层次挖掘,剖离出新的概念、运算规则,将学过的知识、方法迁移到新情境中. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 $$