3.2.1 单调性与最大(小)值（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

3.2 函数的基本性质 知识点 1 函数的单调性 知识 清单破 3.2.1 单调性与最大(小)值 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 增函数 减函数 图象描述     自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 单调区间 函数y=f(x)在区间I上单调递增(减)时,区间I叫做y=f(x)的单调区间 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　函数的最大(小)值 　　一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:∀x∈D,都有 f(x)≤(≥)M,∃x0∈ D,使得f(x0)=M,那么,我们称M是函数y=f(x)的最大(小)值. 知识点 2 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.已知函数f(x)的定义域为D,如果定义域内的某个区间I上存在两个自变量x1,x2,当x1<x2时,有 f(x1)<f(x2),能否判定f(x)在区间I上单调递增? 2.已知f(x)的定义域为D,若∀x∈D,都有f(x)≤M,则M一定是函数f(x)的最大值吗? 3.若f(x)是定义在R上的减函数,能否得到f(-3)>f(2)? 4.函数f(x)= 在(-∞,0)以及(0,+∞)上均单调递减,能否得到f(x)是减函数? 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不能.x1,x2必须是区间I上的任意变量. 2.不一定.还需要满足∃x0∈D,使得f(x0)=M,才能说M是f(x)的最大值. 3.能. 4.不能.如f(-1)=-1<f(1)=1. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 判断或证明函数的单调性 关键能力 定点破 1.判断函数单调性的方法 (1)图象法:根据函数图象的升降情况进行判断. (2)直接法:运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单 调性均可直接得出. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 y=f(x) y=g(x) y=f(x)+g(x) y=f(x)-g(x) 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 (3)性质法: ①f(x),g(x)在公共区间上的单调性如下: 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 ②复合函数单调性的判断依据如下: 　　由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合,得到函数y=f(g(x)),其单调性如下: u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　　复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调递增,相异 时单调递减.注意函数的定义域. 2.利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:任取所给区间内的两个值x1,x2,且x1<x2; (2)作差、变形:计算f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断 正负的关系式; (3)判断符号:确定f(x1)-f(x2)的符号; (4)下结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与增函数、减函数的定义确定单调性. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知函数f(x)= ,判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明; (2)已知函数f(x)=x+ (a≠0),①判断f(x)在(0,+∞)上的单调性;②画出a>0时f(x)的大致图象. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)= 在(1,+∞)上单调递减. 证明:∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)= - = , 由x1,x2∈(1,+∞),得x1>1,x2>1, 所以 -1>0, -1>0,x1+x2>0. 又x1<x2,所以x2-x1>0, 故 >0,即f(x1)>f(x2). 因此, f(x)= 在(1,+∞)上单调递减. (2)①任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =(x1-x2)- =(x1-x2)· , 易知x1-x2<0,x1x2>0. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 当a<0时,x1x2-a>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a>0时,若x1<x2≤ ,则x1x2-a<0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),若 ≤x1<x2,则x1x2-a>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,  )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增. ②易得a>0时, f(x)在(-∞,- )上单调递增,在(- ,0)上单调递减. 因此,a>0时, f(x)的大致图象如图:   第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 函数单调性的应用  1.利用函数的单调性求解最大(小)值 　　若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则函数f(x)在x=a处取得最小(大)值f(a),在x=b处取 得最大(小)值f(b). 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减(增),在区间[b,c]上单调递增(减),则函数f(x)在x=b处取得最 小(大)值f(b). 2.利用函数的单调性解不等式 　　利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f ”脱掉,列出 关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域. 定点 2 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 3.根据函数的单调性确定参数的取值范围 (1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)恒成立求 参数的取值范围. (2)利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图象被对称轴一分为二,可根据对称轴相 对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组),求出参数的取值范围. 　　注意:①若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单 调的. ②对于定义域上单调的分段函数求参问题,一般从两方面考虑:一方面考虑每个分段区间上 函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面要考虑分界点处函数值之间的大小关 系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 (1)已知f(x)在定义域[-1,1]上单调递增,且f(t-2)<f(1-t),则实数t的取值范围为　　　    ; (2)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　    ; (3)若函数f(x)= 是R上的减函数,则实数a的取值范围是　　　    . (-∞,-4] [-2,0) 解析    (1)由题意脱掉“f ”得  解得1≤t< ,故实数t的取值范围为 . 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 (2)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,其图象开口向下,对称轴方程为x=-a-1, 所以函数的单调递增区间为(-∞,-a-1]. 若f(x)在(-∞,3]上单调递增,则3≤-a-1,解得a≤-4. 故实数a的取值范围为(-∞,-4]. (3)因为f(x)= 是定义在R上的减函数, 所以  解得-2≤a<0. 因此实数a的取值范围是[-2,0). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知函数f(x)= ,x∈[1,+∞),求下列条件下的f(x)的最小值. (1)a=4;(2)a= ;(3)a为正数. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:当a=4时, f(x)=x+ +2, ∵x≥1, ∴x+ +2≥2 +2=6, 当且仅当x=2时取等号, 故f(x)min=6. 解法二:当a=4时, f(x)=x+ +2. 易知f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增, 故f(x)min=f(2)=6. (2)当a= 时, f(x)=x+ +2, 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 易知f(x)在[1,+∞)上单调递增, 故f(x)min=f(1)= . (3)f(x)= =x+ +2(a>0), 易知f(x)在(0, ]上单调递减, 在[ ,+∞)上单调递增. 当 >1,即a>1时, f(x)在[1, ]上单调递减,在[ ,+∞)上单调递增,则f(x)min=f( )=2 +2. 当 ≤1,即0<a≤1时, f(x)在区间[1,+∞)上单调递增, 则f(x)min=f(1)=a+3. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 　含参数的二次函数在某闭区间上的最大(小)值  1.解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,再由a的符号 确定其图象的开口方向,根据对称轴方程x=h得出顶点的位置,再根据函数的定义域结合大致 图象确定最大(小)值. 2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有下列几种类型:(1)区间固定,对称轴变动,求最大 (小)值;(2)对称轴固定,区间变动,求最大(小)值;(3)最大(小)值固定,区间或对称轴变动,求参数. 　　求解时通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 定点 3 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a). 解析    由已知得f(x)=(x-a)2-1-a2,其图象的对称轴为直线x=a. (1)当a≤0时,由图①可知, f(x)min=f(0)=-1, f(x)max=f(2)=3-4a. 图①　　　　　 　　图② (2)当0<a≤1时,由图②可知, f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max=f(2)=3-4a. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 (3)当1<a<2时,由图③可知, f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max=f(0)=-1. 图③　　　     　　　　图④ (4)当a≥2时,由图④可知, f(x)min=f(2)=3-4a, f(x)max=f(0)=-1. 综上,M(a)= m(a)=  第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 $$