3.1 函数的概念及其表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

1.函数的有关概念 3.1 函数的概念及其表示 知识点 1 函数的概念 知识 清单破 定义 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y=f(x),x∈A 定义域 x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合C={f(x)|x∈A}叫做函数的值域 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 2.函数的三要素 (1)三要素:定义域、对应关系和值域. (2)同一个函数的判定:两个函数的定义域和对应关系相同(值域是由定义域和对应关系决定 的). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 不等式 区间 数轴表示 a≤x≤b [a,b]   a<x<b (a,b)   a≤x<b [a,b)   a<x≤b (a,b]   x≥a [a,+∞)   3.区间的概念:设a,b∈R,a<b. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 x>a (a,+∞)   x≤b (-∞,b]   x<b (-∞,b)   　　实数集R用区间表示为(-∞,+∞). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 函数的表示法 1.函数的三种表示法 知识点 2 表示法 定义 特点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 简单、全面,易求函数值 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 无需计算,查表可得函数值 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 形象、直观,便于研究函数的性质 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 2.分段函数 (1)已知函数y=f(x),x∈A,如果自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的对应关系,那么我 们称这样的函数为分段函数. (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数 的定义域的交集是空集. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示? 2.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y是 否都有唯一的自变量x与之对应? 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示. 2.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应,但是函数值y不一定有唯一的自变量x与之 对应.如f(x)=x2中,函数值4有两个自变量2,-2与之对应.函数中x,y的对应关系是“一对一”或 “多对一”,不能“一对多”. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 求函数的定义域 关键能力 定点破 1.已知函数解析式求定义域 (1)根据解析式的运算特点列出使函数有意义的不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定 义域. (2)函数有意义的依据:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0中要求x≠0等. 2.由实际背景确定的函数,其定义域不仅要使解析式有意义,还要使自变量满足实际意义. 3.求抽象函数的定义域 (1)求抽象函数的定义域,要明确以下几点: ①函数f(x)的定义域是指x的取值范围. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 ②函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围. ③f(t), f(φ(x)), f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同. (2)抽象函数定义域的求解方法: ①已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的取值范围. ②已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求φ(x)的取值范围, 此范围就是f(x)的定义域. ③已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C,求出φ(x) 的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就是f(g(x))的定义域. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 求下列函数的定义域. (1)f(x)= ;(2)y= + ;(3)y= . 解析    (1)由题意可知 解得x< 且x≠- ,所以f(x)的定义域为  . (2)要使函数有意义,需满足 解得x≤-2或x≥3,所以函数y= + 的定义 域为{x|x≤-2或x≥3}. (3)要使函数有意义,需满足 解得x≤5,且x≠±3,所以函数y= 的定义域为{x|x≤ 5,且x≠±3}. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    已知函数解析式求函数定义域要注意以下两点: (1)自变量满足的条件以函数解析式为依据,不可对解析式化简变形. (2)定义域必须用集合或者区间表示,且用区间表示结果为几部分的定义域时,应该用并集符 号“∪”连接. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域; (2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域; (3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(3x)的定义域; (4)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求函数g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定义域. 思路点拨    抓住定义域是自变量的取值范围解题,在函数f(x)、 f(2x+1)、 f(3x)、 f(x+m)、 f(x -m)中x是自变量,且括号内整体的范围相同. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同, ∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1], ∴函数f(2x+1)的定义域为[0,1]. (2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7], ∴函数f(x)的定义域为[3,7]. (3)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7], ∴3x∈[3,7],即x∈ , ∴函数f(3x)的定义域为 . (4)依题意有 ∴  ∵m>0,∴-m<m,1-m<1+m,但m与1-m的大小关系不确定,∴对m与1-m的大小进行分类讨论. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 ①若m=1-m,即m= ,则x=m= ; ②若m<1-m,即m< ,则m≤x≤1-m; ③若m>1-m,即m> ,则x不存在,与题意不符. 综上,0<m≤ ,函数g(x)的定义域为{x|m≤x≤1-m}. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 求函数的值域  　　求函数的值域时,应根据解析式的不同结构特点,选择不同的方法,常用方法如下: (1)直接法:对于一些比较简单的函数,可根据其解析式的结构特征,由自变量的范围逐步运算 求出函数值的范围得到值域. (2)图象法:画出函数的图象,利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域. (3)配方法:此方法是求二次函数值域的基本方法,通常把函数式通过配方转化成完全平方式 与常量的和(差)的形式. (4)分离常数法:此方法主要是针对有理分式形式的函数,将“有理分式”的“分子”用“分 母”线性表示,即可分离出常数,利用反比例函数的性质求值域. (5)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b± ),通过换元把它们转化为我们熟悉的函数,间 接求出原函数的值域,注意换元后新元的取值范围. 定点 2 　　除此之外还有判别式法、反表示法等,解题时可根据题目特点灵活选择并应用. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求下列函数的值域: (1)y= ;(2)y= ; (3)y= ;(4)y=2x- . 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)对于y= ,由16-x2≥0,解得-4≤x≤4, ∴函数的定义域为[-4,4]. 由-4≤x≤4,得0≤x2≤16, 因此-16≤-x2≤0, ∴0≤16-x2≤16,从而0≤ ≤4, 故函数y= 的值域为[0,4]. (2)解法一(分离常数法):y= = =2+ ,显然 ≠0,所以y≠2,故函数的值域为 (-∞,2)∪(2,+∞). 解法二(反表示法):由y= 得x= ,由 有意义得y-2≠0,所以y≠2, 故原函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 (3)解法一(基本不等式法):当x=0时,y=0;当x>0时,y>0,且y= ≤ =1(当且仅当x=1时,等号 成立),故y∈(0,1]; 当x<0时,y<0,且y=- ≥-1(当且仅当x=-1时,等号成立),故y∈[-1,0). ∴函数的值域为[-1,1]. 解法二(判别式法):易知y= 的定义域为R,将函数解析式化为yx2-2x+y=0,可以看成关于x 的一元二次方程,则这个方程有实数根,∴Δ=4-4y2≥0,∴y2≤1,∴-1≤y≤1, ∴函数的值域为[-1,1]. (4)设t= ,则t≥0,且x=t2+1, 所以y=2(t2+1)-t=2 + ,t≥0, 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 画出函数图象如图所示:   由图可得函数的值域为 . 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 求函数的解析式  1.当函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”的方法求其解析式. 　　一次函数的解析式可设为f(x)=ax+b(a≠0);反比例函数的解析式可设为f(x)= (k≠0);二 次函数的解析式可根据条件设为①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠ 0),③交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.当函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式. (1)代入法:已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,通常把g(x)作为一个整体替换f(x)中的x. (2)换元法:已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t) 代入f(g(x))中,得到f(t)的解析式,再用x替换t,便可得到f(x)的解析式. (3)配凑法:将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法,使之变形为关于g(x)的函数解 析式,然后以x代替g(x),即得所求函数解析式,这里的g(x)可以是多项式、分式、根式等. 定点 3 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 (4)消元法(方程组法):已知有关f(x)与f  、 f(-x)或f(1-x)等的关系式,可根据已知条件用 、 -x或1-x等替换x,再构造出另外一个关系式,组成方程组,通过解方程组求出 f(x). (5)赋值法:根据题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的 一般规律求出函数解析式.主要适用于抽象函数求解析式. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式; (2)已知f( +1)=x+2 ,求f(x)的解析式; (3)若函数f(x)满足2f(x)+f =2x,x∈R且x≠0,求f(x)的解析式; (4)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求 f(x)的解析式. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x, 所以 解得  所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-1. (2)解法一(换元法):令t= +1,则x=(t-1)2,t≥1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 解法二(配凑法): f( +1)=x+2 =x+2 +1-1=( +1)2-1. 因为 +1≥1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 (3)将x换成 得2f +f(x)= (x≠0), 由 得f(x)= x- (x≠0). (4)解法一:令y=x,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1).因为f(0)=1, 所以f(x)-x(x+1)=1,即f(x)=x2+x+1. 解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1). 令-y=x,得f(x)=1+x(x+1)=x2+x+1. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 正确理解与应用分段函数解决问题  1.分段函数是一个函数,而不是几个函数,只是根据自变量的不同范围分成了几段而已. 2.研究分段函数时,应注意“先分后合”,即先由定义域分段考虑,再合并整体把握. 定点 4 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知函数f(x)= 求使f(x)<2成立的x的取值集合; (2)已知 f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),a≠0,求a的值. 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)<2可化为 或 解得1≤x< 或x<- 或 <x<1. 所以使f(x)<2成立的x的取值集合为 x x<- 或 <x<  . (2)f(1-a)=f(1+a)可化为  或  即 (舍去)或 因此a=- . 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 $$