2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

1.一元二次不等式 　　只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式. 　　一般形式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,且a≠0). 2.一元二次不等式的解集 　　使一元二次不等式成立的未知数的值叫做一元二次不等式的解,所有的解所组成的集合 叫做一元二次不等式的解集. 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点 1 一元二次不等式 知识 清单破 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 三个“二次”的关系 三个“二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 知识点 2 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象       ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1=x2=-  没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2}  x x≠-   R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.如何用函数y=x2-x-6的图象和方程x2-x-6=0的根得到不等式x2-x-6>0的解集?x2-x-6<0的解集 呢? 2. <0如何求解? ≤0的解集是什么? <2又如何求解呢? 3.一元二次不等式ax2+x+1>0恒成立时,实数a的取值范围是什么? 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.解x2-x-6=0得x=-2或x=3.函数y=x2-x-6的图象如图所示,所以不等式x2-x-6>0的解 集是{x|x<-2或x>3}(即y>0对应的x的范围),不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2<x<3}. 2. <0即(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,故不等式的解集为{x|1<x<2}; ≤0的解集为{x|1≤x<2}; 将 <2移项、通分,整理得 >0,即(x-2)(x-3)>0,所以x>3或x<2,故不等式的解集为{x|x>3或x<2}. 3.一元二次不等式ax2+x+1>0恒成立⇔二次函数y=ax2+x+1的图象恒在x轴上方(开口向上,与x 轴无交点),因此 解得a> . 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 一元二次不等式的解法 关键能力 定点破 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准:通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正. (2)研方程:对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根:求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图:根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集:根据图象写出不等式的解集. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 2.解含参数的一元二次不等式一般要进行分类讨论: 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0. 解析    (1)当a=0时,原不等式为一元一次不等式,即-2x+4>0,所以x<2. (2)当a<0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2>0,两根分别为x1=2,x2= ,且 <2,所以不 等式ax2-2(a+1)x+4>0的解集为 . 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 (3)当a>0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2≥0,两根分别为x1=2,x2= . ①若 <2,则a>1,不等式的解集为 x x< 或x>2 ;②若 >2,则0<a<1,不等式的解集为 x x<2 或x>  ;③若 =2,则a=1,不等式的解集为{x|x≠2}. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x<2};当a<0时,不等式的解集为 ;当a>1时, 不等式的解集为 ;当0<a<1 时,不等式的解集为 x x<2或x>  ;当a=1时,不等 式的解集为{x|x≠2}. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　三个“二次”之间的关系  1.以一元二次不等式的解集为条件的问题的解法 (1)解集的形式确定二次项系数的符号; (2)解集的端点值对应一元二次方程的根,由根与系数的关系解决问题. 2.一元二次方程根的分布问题的解法 (1)两根分别在两个范围内,作出对应函数的图象,由相应函数值的符号列不等式(组)求解; (2)两根在同一范围内,作出对应函数的图象,由判别式、相应函数值的符号、对称轴在该范 围内列不等式(组)求解. 定点 2 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为 x x<-2或x>-  ,求不等式ax2-bx+c<0的解集. 解析    由题设知-2,- 是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a<0, ∴ 即  ∴不等式ax2-bx+c<0即ax2- ax+a<0, 又a<0,∴x2- x+1>0,即2x2-5x+2>0, 解得x< 或x>2,故所求不等式的解集为 x x< 或x>2 . 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 一元二次不等式恒(能)成立问题  解决一元二次不等式的恒(能)成立问题的方法 定点 3 不等式 ax2+bx+c>0(a≠0) ax2+bx+c<0(a≠0) 恒成立     能成立 a>0或 a<0或 　　说明:一元二次不等式在某范围内恒成立问题,可通过分离参数,转化为最大(小)值问题 求解,一般地,已知范围的是变量,待求范围的是参数. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)若关于x的不等式(k2+4k-5)·x2+4(1-k)x+3>0恒成立,则实数k的取值范围为 (　    ) A.1≤k<19　    B.2≤k<18　     C.0<k<20　    D.-1<k<19 (2)若关于x的不等式ax2-x+4a>0对任意x>2恒成立,则实数a的取值范围是　　     . a≥ A 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由k2+4k-5=0得k=-5或k=1.当k=-5时,不等式为24x+3>0,不恒成立;当k=1时,不等式为 3>0,恒成立;当k≠-5且k≠1时,易知不等式对应的二次函数的图象开口向上,且与x轴无交点, ∴ 解得1<k<19. 综上,k的取值范围是1≤k<19.故选A. (2)不等式ax2-x+4a>0对任意x>2恒成立,即a> 对任意x>2恒成立. 当x>2时, = < ,∴a≥ . 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 一元二次不等式的实际应用  　　解与一元二次不等式、基本不等式有关的应用题的关键在于构造不等式或函数模型,选 择其中起关键作用的未知量作为x,用x来表示其他未知量,根据题意列出不等关系或函数关 系,通过解不等式或利用基本不等式求最值得到实际问题的解. 定点 4 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小时60元, 装卸费为1 000元,肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车速度(单位:千米/时)值的2倍.(说明: 运输的总费用=运费+装卸费+损耗费) (1)若运输的总费用不超过1 260元,求汽车行驶速度值的范围; (2)若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时多少千米的速度行驶? 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设汽车行驶的速度为x千米/时,运输的总费用为y元,则y= ×60+1 000+2x. 令 ×60+1 000+2x≤1 260, 整理得x2-130x+3 600≤0,解得40≤x≤90. ∴若运输的总费用不超过1 260元,则汽车行驶速度值的范围应为{x|40≤x≤90}. (2)由(1)得y= ×60+1 000+2x=2x+ +1 000≥2 +1 000=1 240, 当且仅当2x= ,即x=60时取等号, ∴若要使运输的总费用最小,则汽车应以每小时60千米的速度行驶. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板    解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,找出关键量和不等关系; ②引进数学符号,用不等式表示不等关系; ③解不等式; ④回到实际问题. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 素养解读 　　三个“二次”中综合问题解题思路的探究,以二次函数的图象为几何直观,通过其开口 方向、对称轴、端点函数值、对应方程的判别式等,对相关一元二次方程(不等式)进行定量 计算,进而解决相关问题. 学科素养 情境破 素养 通过三个“二次”问题培养直观想象的素养 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题 (多选)已知关于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,且a<b),下列结论正确的是 (　    ) A.该不等式的解集不可能为⌀ B.该不等式的解集可能为{x|-8≤x≤-6或8≤x≤12} C.存在实数a,b,使得该不等式的解集为{x|m≤x≤n}(m<n)的形式 D.存在唯一一对实数对(a,b),使得该不等式的解集为  CD 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    画出二次函数y=x2-4x-6=(x-2)2-10的图象,如图①.   若b<-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为⌀,因此选项A错误. 若a>-10,则结合图②可知不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}的形式. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念   因为二次函数y=x2-4x-6的图象的对称轴为直线x=2, 所以 =2, =2. 因为 =2, =1≠2,因此选项B错误. 若a≤-10,b>-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m≤x≤n}(m<n)的形式, 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 因此选项C正确. 对于D,如图③所示,   若不等式的解集为 , 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 则a≤-10,b>-10, 且方程x2-4x-6=b的两根分别为 ,b, 故b2-4b-6=b,解得b=-1或b=6, 又 <2<b,所以b=6. 易得 +b=4,所以a=-12,满足题意. 因此a=-12,b=6, 因此选项D正确. 故选CD. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 直观想象在高中数学中具有以下四个特性:一是经验性,如本题中函数y=x2-4x-6的图象是抛 物线(如图①),由最小值可判断选项A、C是否正确;二是整体性,由函数图象可得到性质,形成 清晰的数学知识结构,如由对称性可以判断选项B是否正确;三是逻辑性,直观想象素养借助 几何直观体现事物的形态与变化,建立数与形的联系,其必然表现出一定的逻辑性,在本题中, 解决选项D时,由函数的图象得到一元二次方程的两根,进而解决一元二次不等式的解集问 题;四是预见性,直观想象的结果通常会表现出新的突破,带有极强的创造性,直接预测问题的 结论,如下面拓展中的问题. 思维升华 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 拓展问题　已知关于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,a<b),是否存在实数a,当b=a+1时,不 等式的解集为{x|m1≤x≤n1,或n2≤x≤m2}(m1<n1<n2<m2)的形式,且n1-m1=1? 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由例题里图②可知a>-10,当b=a+1时,随着a的增大,n1-m1的值越来越小,因此从求n1-m1 的最值入手. 依题意得,x2-4x-6=a的两根分别为n1,n2,x2-4x-6=a+1的两根分别为m1,m2, 则n1+n2=4,n1n2=-6-a,m1+m2=4,m1m2=-7-a,所以n1-n2=- ,m1-m2=- , 因此n1-m1=  =  = , 结合a>-10可得n1-m1<1. 故不存在实数a使得当b=a+1时,不等式的解集为{x|m1≤x≤n1,或n2≤x≤m2}(m1<n1<n2<m2)的形 式,且n1-m1=1. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 $$