2.2 基本不等式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

2.2 基本不等式 知识点 1 两个重要不等式 知识 清单破 不等式 变形形式 等号成立的条件 a2+b2≥2ab(a,b∈R) ab≤  当且仅当a=b 基本不等式: ≤  (a,b>0) a+b≥2 ,ab≤  当且仅当a=b 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　基本不等式与最大(小)值 1.已知x,y是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 . 2.已知x,y是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 . 　　总结:积定和最小,和定积最大. 知识点 2 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展    平均值不等式:设a>0,b>0,则有 ≤ ≤ ≤ (当且仅当a=b时取等号),即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n有最大值还是最小值? 2.能否运用基本不等式求出y=x+ 的最小值? 3.若x>1,能否用基本不等式求x+ 的最小值? 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.有最小值.由m>0,n>0得m+n≥2 =18,当且仅当m=n=9时取等号,因此m+n有最小值18. 2.不能.若x>0,能求出y=x+ 的最小值,若x<0,能求出y=x+ 的最大值. 3.能.将“+”前的x变形为x-1+1,x-1再与 结合,乘积出现定值,进而利用基本不等式求出最 小值为5. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 应用基本不等式求最值 关键能力 定点破 利用基本不等式求最值的注意事项 (1)一正:各项必须都是正值. 　　若各项都是正数,则可以直接用基本不等式求最大(小)值;若各项都是负数,则可以提取 负号,化为正数后用基本不等式求最大(小)值;若有些项是正数,有些项是负数,则不可以用基 本不等式求最大(小)值. (2)二定:各项之和或各项之积为定值. 　　利用基本不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,常见的方 法技巧如下: 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 ①拆(裂项拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真 分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造条件; ②并(分组并项):目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先对一组应用基本不 等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值; ③配(配式、配系数,凑出定值):有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设 条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值, 或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值. (3)三相等:必须验证取等号时条件是否成立,若等号不成立,则不能用基本不等式求最大(小) 值. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)当x<0时,求 +4x的最大值; (2)当x>0时,求x+ 的最小值. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵x<0,∴-x>0. 则 +4x=- ≤-2 =-8 , 当且仅当 =-4x,即x=- 时取等号. ∴ +4x的最大值为-8 . (2)∵x>0,∴x+ >0,∴x+ =x+ = x+ + - ≥2× - = , 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当x+ = ,即x= 时,等号成立. 故x+ 的最小值为 . 易错警示    在利用基本不等式求最大(小)值的过程中,要注意验证“一正,二定,三相等”,若 条件不满足,常需要变形:提取负号,把数、式进行合理地拆分或变形,配凑成适当的数、式,以 便于得到定值再利用基本不等式,平时要积累一些变形的经验. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 用基本不等式证明不等式  1.利用基本不等式证明不等式的关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将 “和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.证明不等式常用 的变形技巧有: (1)拆分、配凑:将所要证明的不等式先拆分成几部分,再利用基本不等式证明. (2)常值代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含“常值”的式子,将“常值”代入后 再利用基本不等式证明. 2.多次运用基本不等式时,需要注意两点:一是不等号方向要一致,二是等号能同时取到. 定点 2 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知a,b,c>0,求证: + + ≥a+b+c; (2)已知x,y为正实数,且满足x+y=1,证明: + ≥ . 思路点拨    (1)不等式左边添加b,c,a,利用基本不等式和不等式的性质证明.(2)先利用“乘1” 法得 + ≥4,再利用基本不等式的变形形式a2+b2≥ 证明. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)∵a,b,c>0, ∴ +b≥2a(当且仅当a=b时等号成立),  +c≥2b(当且仅当b=c时等号成立),  +a≥2c(当且仅当a=c时等号成立), ∴ + + +a+b+c≥2a+2b+2c,即 + + ≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立. (2)∵x,y>0,且x+y=1, ∴ + =(x+y) =2+ + ≥4, 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ + ≥  = ≥ = , 当且仅当x=y= 时取等号. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　利用基本不等式求含条件的最大(小)值  1.直接利用平均数的关系求含有条件的最大(小)值,倒数和选用调和平均数、积选用几何平 均数、和选用算术平均数、平方和选用平方平均数,并根据调和平均数≤几何平均数≤算术 平均数≤平方平均数,利用合适的不等式求解最大(小)值,解题时要注意进行适当的配凑. 2.消元法求含有条件的最大(小)值,即先根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数 式,再进行最大(小)值的求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求 解,但应注意各个元的范围. 3.拼凑法求含有条件的最大(小)值 (1)根据式子的特征,先配凑出积、和为定值的形式,再利用基本不等式求解. (2)解题时要注意两点:一是利用隐含条件得到定值,二是两次运用基本不等式时,不等号方向 要一致,且等号能同时成立. 定点 3 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 4.换元法求含有条件的最大(小)值,先利用条件将两个量化为统一形式,对统一形式进行换元, 再进行最大(小)值的求解. 5.常数代换法求含有条件的最大(小)值,主要解决形如“ax+by”与“ + (xy≠0)”中一个 是常数求另一个的最大(小)值的问题,解题时不妨设a,b,m,n,x,y>0,则(ax+by)· =am+bn+  + ≥am+bn+2  当且仅当 = 时等号成立 . 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知x>0,y>0,且4x+9y-xy=0,则x+y的最小值为 (　    ) A.25　    B.18　    C.13　    D.12 (2)(多选)设正实数x,y满足x+y=2,则下列说法正确的是 (　    ) A. + 的最小值为2　    B.xy的最小值为1 C. + 的最大值为4　    D.x2+y2的最小值为2 A AD 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:∵x>0,y>0,且4x+9y-xy=0,∴ + =1.则x+y=(x+y) =13+ + ≥13+ 2 =25,当且仅当 = ,即x=15,y=10时取等号. ∴x+y的最小值为25.故选A. 解法二:∵x>0,y>0,且4x+9y-xy=0, ∴y= ,且x>9,∴x+y=x+ =x-9+ +9=x-9+ +13≥2 +13=25,当且仅当x- 9=6,即x=15,y=10时等号成立,∴x+y的最小值为25.故选A. (2)∵x>0,y>0,x+y=2,∴ ≤ =1,得 + ≥2,当且仅当x=y=1时等号成立,故选项A正确; 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 ∵x+y=2≥2 ,∴xy≤1,当且仅当x=y=1时,等号成立,即xy的最大值为1,故选项B错误; ∵ ≤ =1,∴ + ≤2,当且仅当x=y=1时等号成立,即 + 的最大值为 2,故选项C错误;由 ≤ 得x2+y2≥ =2,当且仅当x=y=1时等号成立,即x2+y2的 最小值为2,故选项D正确.故选AD. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 $$