2.1 等式性质与不等式性质（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

2.1 等式性质与不等式性质 知识点 1 两实数大小关系的基本事实 知识 清单破 依据 a>b⇔a-b>0;a=b⇔a-b=0;a<b⇔a-b<0 结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 等式与不等式的性质 知识点 2 等式 不等式 对称性 a=b⇔b=a a>b⇔b<a 传递性 a=b,b=c⇒a=c a>b,b>c⇒a>c 加法 a=b⇒a±c=b±c a>b⇒a+c>b+c a>b,c>d⇒a+c>b+d 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 乘法 a=b⇒ac=bc;  ⇒ =  a>b,c>0⇒ac>bc; a>b,c<0⇒ac<bc a>b>0,c>d>0⇒ac>bd a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.已知x∈R,比较x2与2x-3的大小. 2.在应用传递性时,如果两个同向不等式中有一个带等号,而另一个不带等号,如何传递? 3.a,b,c为实数,则a>b是ac2>bc2的什么条件? 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.作差:x2-(2x-3)=(x-1)2+2>0,所以x2>2x-3. 2.不等关系能传递,等号不能传递下去.如由a≥b,b>c不能得到a≥c,只能得到a>c. 3.必要不充分条件.ac2>bc2隐含了c≠0,因此可以得到c2>0,由ac2>bc2可以推出a>b,必要性成立; 但没有“c≠0”这个条件时,由a>b推不出ac2>bc2,充分性不成立,因此a>b是ac2>bc2的必要不 充分条件. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 比较实数(代数式)的大小 关键能力 定点破 比较实数(代数式)大小常用的方法 (1)作差法:适用于作差后可化为积或商的形式.步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论. (2)作商法:适用于同号两数(式)比较大小.步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④下 结论. 　　注意:同为正的数(式)依据 >1⇒a>b和 <1⇒a<b得结论,若同为负,则结论相反. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小; (2)已知a,b为正实数,试比较 + 与 + 的大小. 解析    (1)(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)  ,∵x<1,∴x-1<0, 又 + >0,∴(x-1) <0, ∴x3-1<2x2-2x. (2)解法一(作差法): -( + ) = + = +  = = . 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 ∵a,b为正实数,∴ + >0, >0, 又( - )2≥0,∴ ≥0, ∴ + ≥ + . 解法二(作商法):∵a,b为正实数,∴ + >0,则 =  = =  = =1+ ≥1, ∴ + ≥ + . 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念  -( + )2= + +2 -(a+b+2 )= . ∵a>0,b>0,∴ ≥0, ∴ ≥( + )2. 又 + >0, + >0,∴ + ≥ + . 解法三(平方后作差): 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛    作差法是比较大小最常见的方法,其关键有两点:一是“变形”,整式的变形手段 有因式分解、配方(二次式),分式可进行通分,根式可进行有理化等;二是判断符号,要能利用 条件判断出各个部分的符号. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　利用不等式的性质求代数式的取值范围  利用不等式性质求范围的一般思路 (1)借助性质,转化为同向不等式相加(乘)进行解答; (2)借助所给条件整体求解,切不可随意拆分所给条件; (3)结合不等式的传递性进行求解. 定点 2 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则z=9x-y的取值范围是 (　    ) A.-7≤z≤26　    B.-1≤z≤20　     C.4≤z≤15　    D.1≤z≤15 (2)已知x,y∈R,且3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 的取值范围是　 　　    . 2≤ ≤27 B 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令m=x-y,n=4x-y,则x= ,y= ,所以z=9x-y= n- m.因为-4≤m≤-1,所以 ≤ - m≤ .因为-1≤n≤5,所以- ≤ n≤ ,因此-1≤z≤20.故选B. (2)设 = (xy2)n,则x3y-4=x2m+ny2n-m, 所以 所以  所以 = (xy2)-1. 易得16≤ ≤81, ≤(xy2)-1≤ , 所以2≤ (xy2)-1≤27. 故 的取值范围是2≤ ≤27. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 利用不等式的性质证明不等式  　　利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形,变形一要考虑已 知不等式与未知不等式在运算结构上的联系,二要考虑变形要等价,三要注意性质适用的前 提条件. 定点 3 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知a>b,e>f,c>0,求证: f-ac<e-bc; (2)若bc-ad≥0,bd>0,求证: ≤ . 证明    (1)∵a>b,c>0, ∴-ac<-bc. 又e>f,即f<e, ∴f-ac<e-bc. (2)∵bc-ad≥0, ∴bc≥ad, ∴bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b), 又bd>0, ∴ ≥ ,即 ≤ . 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    应用不等式的性质解题时,要注意不等式性质成立的条件,不要忽视条件或随意 仿照等式性质“构造”性质与法则. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 $$