1.5 全称量词与存在量词（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

1.5 全称量词与存在量词 知识点 1 全称量词与存在量词 知识 清单破 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某些、有的 ∃ 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 　全称量词命题、存在量词命题及否定 知识点 2 命题类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,¬p(x) 存在量词命题 存在量词命题 ∃x∈M,p(x) ∀x∈M,¬p(x) 全称量词命题 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.“三角形内角和是180°”是全称量词命题还是存在量词命题? 2.判断命题“自然数都是正整数”的真假. 3.判断命题“至少有一个偶数是质数”的真假. 4.命题“∀x∈M,p(x)”与命题“∃x∈M,¬p(x)”是否可以同真同假? 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.全称量词命题.量词“所有”省略了. 2.假命题.0是自然数,但0不是正整数. 3.真命题.偶数2是质数. 4.不可以.命题“∃x∈M,¬p(x)”是命题“∀x∈M,p(x)”的否定,它们一定一真一假. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断 关键能力 定点破 1.全称量词命题、存在量词命题的否定方法:改量词,否结论.一些常用的词语和它的否定如下: 词语 都是 大于 小于 否定 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 否定 一个也没有 至多有(n-1)个 至少有两个 词语 至多有n个 所有x成立 所有x不成立 否定 至少有(n+1)个 存在一个x不成立 存在一个x成立 其中n∈N*. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 2.要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,验证p(x)成 立;但要判定该命题是假命题,只需找出集合M中的一个x=x0,使p(x0)不成立即可.简记为“全 真为真,一假则假”. 　　要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个x=x0,使p(x0)成 立即可;否则,这一命题就是假命题,需要对集合M中的每个元素x,验证p(x)不成立.简记为“全 假为假,一真则真”. 3.命题与命题的否定的真假相反.当命题的否定的真假不易直接判断时,可以通过原命题的真 假来判断. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)所有实数x都能使x2+2x+1>0成立; (2)∃x,y∈R, +(y+1)2=0; (3)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解; (4)∃x,y∈Z, x+y=3. 思路点拨    写出命题的否定:变换量词,否定结论.判断真假:一是直接判断,二是利用命题与 命题的否定真假相反进行判断. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)该命题的否定:存在实数x,使x2+2x+1≤0. 当x=-1时,x2+2x+1=0,故为真命题. (2)该命题的否定:∀x,y∈R, +(y+1)2≠0.原命题为真,其否定为假命题. (3)该命题的否定:∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.真命题. (4)该命题的否定:∀x,y∈Z, x+y≠3.当x=0,y=3时, x+y=3,故为假命题. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 全称量词命题和存在量词命题及其否定中的求参问题  解决含有量词的命题求参问题的思路 (1)全称量词命题求参数范围的问题一般为“恒成立”问题,存在量词命题求参数范围的问 题一般转化为“有解”问题,常见结论: ①∃x∈D,y=0,等价于方程y=0在x∈D上有实数根; ②∀x∈D,y>0,就是不等式y>0在x∈D上恒成立,等价于ymin>0; ③∃x∈D,y>0,就是不等式y>0在x∈D上有解,等价于ymax>0; ④∀x∈D,y<0,就是不等式y<0在x∈D上恒成立,等价于ymax<0; ⑤∃x∈D,y<0,就是不等式y<0在x∈D上有解,等价于ymin<0. (2)与命题p有关的问题可转化成与命题¬p有关的问题,即“正难则反”的应用. 定点 2 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)若“∃x∈R,x2-a<0”是假命题,则实数a的取值范围是　　　    ; (2)若“∀x∈{x|1≤x≤2},x2-k≥1”为假命题,则k的取值范围是　　　    ; (3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,则m的取 值范围是　　　    ,若命题q:∃x∈A,x∈B是真命题,则m的取值范围是　 　　    . {a|a≤0} {k|k>0}  m≤3 2≤m≤4 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵“∃x∈R,x2-a<0”是假命题, ∴它的否定“∀x∈R,x2-a≥0”是真命题, ∴a≤x2对任意x∈R恒成立, ∴a≤0. (2)∵“∀x∈{x|1≤x≤2},x2-k≥1”为假命题, ∴“∃x∈{x|1≤x≤2},x2-k<1”为真命题, ∴k+1>x2在x∈{x|1≤x≤2}上有解. 当1≤x≤2时,1≤x2≤4,∴k+1>1,解得k>0, 故k的取值范围为k>0. (3)∵命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,∴B⊆A. 当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2; 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 当B≠⌀时,由B⊆A可得  解得2≤m≤3. 故m的取值范围为m≤3. ∵命题q:∃x∈A,x∈B是真命题, ∴A∩B≠⌀, ∴B≠⌀, 即m+1≤2m-1,得m≥2, 此时m+1≥3,故只需满足m+1≤5, 即m≤4即可, 故m的取值范围为2≤m≤4. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 通过充分、必要条件和集合间关系的转化发展逻辑推理素养 素养解读 　　充分条件、必要条件可在一定条件下转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关 系,结合数轴,经严谨的推理计算,可解决相关问题. 学科素养 情境破 素养 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题 给出下列三个条件:①充分不必要;②必要不充分;③充要.请从中选择一个条件补充到 下面的横线上并解答. 已知集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x<1+m},是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的     　　　　    条件?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    若选择①,即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件,则P⫋S, ∴ 解得m>3, 即实数m的取值范围为{m|m>3}. 若选择②,即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,则S⫋P. 当S=⌀时,1-m≥1+m,解得m≤0,满足要求; 当S≠⌀时,则有 无解. 综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤0}. 若选择③,即“x∈P”是“x∈S”的充要条件, 则P=S,易知无法成立, 则不存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 　　常用的逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,内容相对抽象, 可以从典型数学命题中理解判定定理与充分条件,性质定理与必要条件,以及数学定义和充 要条件之间的关系,做到能够辨析各种条件,并进行知识的迁移应用、数学问题的严谨表述, 提升逻辑推理素养. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 $$