1.4 充分条件与必要条件（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

1.4 充分条件与必要条件 知识点 1 充分条件与必要条件 知识 清单破 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q,记作p⇒q 由p不能推出q,记作p⇒/ q 条件关系 p是q的充分条件 p不是q的充分条件 q是p的必要条件 q不是p的必要条件 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 　 充要条件 　　如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p ⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条 件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充 要条件. 知识点 2 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.若p是q的充分条件,则p成立与q成立之间有什么关系? 2.已知集合A={x|x满足条件p},集合B={x|x满足条件q},若p为q的充分条件,则集合A与B有什么 关系? 3.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的什么条件?性质定理呢? 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.p成立可以充分保证q成立,但是q成立,p未必成立,q不成立,则p一定不成立. 2.若p为q的充分条件,则x∈A⇒x∈B,即A⊆B. 3.充分条件;必要条件. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 充分条件、必要条件的判断 关键能力 定点破 充分、必要条件判断的常用方法 (1)定义法:直接利用定义进行判断. (2)传递法:根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法.充分条件具有传递性,若p1⇒p2⇒p3 ⇒…⇒pn-1⇒pn,则p1⇒pn,即p1是pn的充分条件.必要条件也具有传递性,若p1⇐p2⇐p3⇐…⇐pn-1 ⇐pn,则p1⇐pn,即p1是pn的必要条件.当然充要条件也具有传递性. (3)集合关系法:如果满足条件p和结论q的元素构成的集合分别为A和B,那么 ①A⊆B相当于p⇒q; ②B⊆A相当于q⇒p; ③A=B相当于p⇔q; ④A⫋B相当于p⇒q,但q⇒/ p; 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 ⑤B⫋A相当于q⇒p,但p⇒/ q; ⑥A⊈B且B⊈A相当于p⇒/ q,且q⇒/ p. (4)特殊值法:对于选择题,可以取一些“特殊值”,用来说明由条件不能推出结论,判断“不充 分”;由结论不能推出条件,判断“不必要”. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 判断下列各题中p是q的什么条件: (1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC; (2)p:|x|=|y|,q:x=y; (3)p:0<x<3,q:|x-1|<2; (4)p:一个四边形是菱形,q:四边形的对角线相等. 思路点拨    判断p是否能够推出q(充分性),q是否能够推出p(必要性). 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)在△ABC中,由边角关系知∠A>∠B⇔BC>AC,所以p是q的充要条件. (2)若|x|=|y|,则x=y或x=-y, 因此p⇒/ q,q⇒p, 所以p是q的必要不充分条件. (3)令A={x|0<x<3},B={x||x-1|<2},则B={x|-1<x<3},易得A⫋B, 所以p是q的充分不必要条件. (4)因为菱形的对角线不一定相等,对角线相等的四边形也不一定是菱形, 所以p是q的既不充分也不必要条件. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 充分条件、必要条件的证明与探究  1.充要条件的证明方法 (1)要证p是q的充要条件,需证两方面: ①充分性,即证p⇒q;②必要性,即证q⇒p. (2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论分别进行等价转化. 2.探求充分条件、必要条件的步骤 (1)分清条件和结论,明确探求的方向; (2)分析题目中的条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件; (3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到使结论成立的必要不充分条件或充 分不必要条件. 定点 2 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负根的充要条件为a≤0. 证明    设p:a≤0,q:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负根. 充分性(p⇒q): 当a=0时,方程为2x+1=0,解得x=- ,方程只有一个负根; 当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,又 <0,所以方程有一正一负两个根. 充分性成立. 必要性(q⇒p): 当a=0时,适合条件; 当a≠0时,若方程ax2+2x+1=0有实根, 则Δ=4(1-a)≥0,即a≤1, 当a=1时,方程为x2+2x+1=0,得x1=x2=-1,故方程有两个相等的负根,不符合要求, 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 当a<1时,若方程有且只有一个负根,则 解得a<0,所以a≤0. 必要性成立. 综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负根的充要条件为a≤0. 第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 $$