第4章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　对对数的运算性质记忆不准确致错 1.计算下列各式: (1)log2; (2)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25+(log32+log92)·(log43+log83)+; (3)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258). 易错点2　求参数范围时忽略定义域致错 2.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是(　　) A.(0,1)　　　B.(1,3) C.(0,3)　　　D.(1,+∞) 3.已知函数f(x)=3x+t·,g(x)=ln[(2-a)·3x]-ln 2a-2x. (1)若函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,求实数t的取值范围; (2)当t=1时,∀x1∈[0,+∞),∀x2∈R,都有g(x1)≤f(x2)-2成立,求实数a的取值范围. 易错点3　忽视分类讨论致错 4.设0<a<b,若函数y=|log2x-1|,x∈[a,b]的值域为[0,1],则a+b的取值范围是　　　　.  5.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1). (1)若f(x)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1,求a的值; (2)解关于x的不等式loga(-ax-1)>loga(a-x2). 思想方法练 一、方程思想 1.函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②如果存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为,那么就称函数f(x)为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则实数t的取值范围为(　　) A.(0,1)　　　　B.(0,1]　　　　C.　　　　D. 2.已知函数f(x)=lg ,f(1)=0,当x>0时,恒有f(x)-f=lg x. (1)求f(x)的解析式及定义域; (2)若方程f(x)=lg t有解,求实数t的取值范围; (3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为⌀,求实数m的取值范围. 二、数形结合思想 3.(多选题)已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是(　　) A.a>b　　　B.g(a)<0<f(b) C.a+b=2　　　D.g(a)>0>f(b) 4.(2024湖北十堰东风高级中学月考)已知函数f(x)=当方程f(x)=m有四个不等实根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)时,不等式kx3·x4+≥k+11恒成立,则实数k的最小值为　　　　.  三、转化与化归思想 5. 若实数a,b,c满足6a=12ac=3,3b-ab=5a-ab,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c　　　　B.b>c>a　　　　C.c>a>b　　　　D.c>b>a 6.(2024黑龙江双鸭山第一中学月考)已知函数f(x)=lg(ax-3)的图象经过定点(2,0),若不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3,4]上有解,求k的取值范围. 四、分类讨论思想 7. 已知函数f(x)=(x2-2ax+3). (1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)在[1,2]内单调,求实数a的取值范围. 8.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1). (1)若函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称,且点P(2,16)在函数h(x)的图象上,求实数a的值; (2)已知函数g(x)=f,x∈,若g(x)的最大值为8,求实数a的值. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.解析　(1)原式=log2. (2)设m=ln 8,则em=8,所以7ln 8-8ln 7=7m-=7m-7m=0, 所以原式=(lg 2)2+lg 2(lg 5+1)+2lg 5++20 =(lg 2)2+lg 2lg 5+lg 2+2lg 5+log23+1 =lg 2(lg 2+lg 5)+lg 2+2lg 5++1 =2lg 2+2lg 5++1 =2+. (3)解法一:原式=log253+· =· =log25·3log52 =log25·3log52=13. 解法二:原式=···=13. 易错警示　准确记忆对数的运算性质和相关公式是对数运算的前提,同时要注意性质或公式成立的前提. 2.B　设t=3-ax,因为a>0且a≠1,所以t=3-ax为减函数,又因为f(x)=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,所以y=logat为增函数, 所以解得1<a<3. 易错警示　在研究形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的函数的性质时,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件. 3.解析　(1)任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=, 因为函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以f(x1)-f(x2)<0恒成立, 因为x1<x2,所以<0,又>0, 所以-t>0恒成立,即>t恒成立, 当0≤x1<x2时,的取值范围为(1,+∞), 故t≤1,即实数t的取值范围为(-∞,1]. (2)由(1)知f(x2)=,所以f(x2)-2=-2≥2-2=0,当且仅当x2=0时等号成立,则f(x2)-2的最小值为0. 由ln [(2-a)·]有意义,得(2-a)·>0,即2-a>0,解得a<2. 由ln 2a有意义,得2a>0,解得a>0. 由题意可得g(x1)≤0对任意x1∈[0,+∞)恒成立, 所以ln[(2-a)·]≤ln 2a+2x1对任意x1∈[0,+∞)恒成立, 则ln [(2-a)·]≤ln 2a+ln =ln(2a·), 即(2-a)·≤2a·,得≤对任意x1∈[0,+∞)恒成立, 令φ(x1)=因为0<<1,所以φ(x1)为减函数, 即当x1∈[0,+∞)时,φ(x1)的最大值为φ(0)=1, 所以≥1,解得a≥. 综上,实数a的取值范围为. 易错警示　本题第(2)问中,由g(x1)≤0对任意x1∈[0,+∞)恒成立得出a的范围后不要忽略对数函数的定义域,要结合(2-a)·>0和2a>0得到正确的结论,在求解参数范围问题时,一定要先求函数的定义域,在满足定义域的前提下再解决其他问题. 4.答案　[3,6] 解析　作出函数y=|log2x-1|的图象如图所示, 令y=|log2x-1|=0,解得x=2, 令y=|log2x-1|=1,解得x=1或x=4. ①若a>2,则y=|log2x-1|>0,不符合题意,舍去; ②若a=2,则b=4,此时a+b=6; ③若1<a<2,则b=4,此时5<a+b<6; ④若a=1,则2≤b≤4,此时3≤a+b≤5. 综上所述,3≤a+b≤6. 5.解析　(1)因为f(x)=logax在[a,2a]上为单调函数,且f(x)在[a,2a]上的最大值与最小值之差为1, 所以|loga(2a)-logaa|=|loga2|=1,解得a=2或a=. (2)当0<a<1时,f(x)=logax是(0,+∞)上的减函数, 所以即故原不等式的解集为⌀; 当a>1时,f(x)=logax是(0,+∞)上的增函数, 所以即 故原不等式的解集为(-,-1). 易错警示　底数不同,函数的单调性可能不同,所以当底数含有参数时,要适当对底数进行讨论.  对应主书P78 1.D　显然f(x)是定义域上的增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,则 即f(x)=有两个不等实根. 根据函数的性质构建关于a,b的方程组. 由logc(2cx+t)=,可得2cx+t=. 令=u,则u>0,2u2-u+t=0. 依题意知方程有两个不等正实根,设为u1,u2, 构造关于u的一元二次方程,根据方程根的情况,应用三个“二次”之间的关系求解. 所以解得0<t<,故选D. 2.解析　(1)由题意列出对数方程,通过对数的运算性质得到关于a,b的方程,体现方程思想. 由题得lg -lg =lg x,即lg -lg =lg x, 即lg=lg x,∴·=x, 整理得(a-b)x2-(a-b)x=0,∴a=b, 又f(1)=0,即lg =0,∴a+b=2,从而a=b=1, ∴f(x)=lg . 令>0,得x<-1或x>0,∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞). (2)方程f(x)=lg t有解,即lg =lg t有解, ∴t=, 结合(1)知<-1或>0,解得t>2或0<t<2, ∴实数t的取值范围是(0,2)∪(2,+∞). (3)方程f(x)=lg(8x+m),即lg =8x+m,即8x2+(6+m)x+m=0, 方程的解集为⌀,有两种情况: ①方程8x2+(6+m)x+m=0无解,即Δ<0,得2<m<18; ②方程8x2+(6+m)x+m=0有解,且根均在[-1,0]内,令g(x)=8x2+(6+m)x+m, 则解得0≤m≤2. 综上所述,实数m的取值范围是[0,18). 思想方法　在对数函数中,利用条件得到等式,运用代数手段构造方程,通过方程的知识结合对数运算解题,是解决问题最基本的方法之一. 3.AD　在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex,y=ln x,y=-x+2的图象,如图. 将已知转化为方程的根,构造相应函数,利用函数图象分析求解. ∵f(a)=g(b)=0,∴ea=2-a,ln b=2-b. 故x=a,x=b分别是y=ex与y=2-x,y=ln x与y=2-x图象交点的横坐标,∴0<a<1<b<2,故A中结论错误. 由图可知,ln a<2-a,故g(a)=ln a+a-2<0,同理f(b)=eb+b-2>0,故B中结论正确,D中结论错误. 由得 即y=ex和y=ln x的图象分别与直线y=-x+2的交点关于点(1,1)对称,则=1,即a+b=2,故C中结论正确. 故选AD. 4.答案　2- 解析　当2<x<4时,0<4-x<2,∴f(x)=f(4-x)=|ln(4-x)|, 通过画出函数图象,将方程的根转化为函数图象交点的横坐标,进而得到x1,x2,x3,x4的值,体现了数形结合思想. 画出y=f(x)和y=m的图象,如图所示, 则x1,x2,x3,x4分别为A,B,C,D的横坐标, 由f(2)=ln 2知0<m<ln 2,则x1x2=1,(4-x3)(4-x4)=1, ∴≥2x1x2=2,x3=4-x2,x4=4-x1, 分离参数得k≥, 设g(x)=, 令x1+x2=t,则2<x1+x2<,t∈,则g(t)=,再令4-t=n,则t=4-n, 则g(n)=+2, ∵n+≥2(当且仅当n=时取“=”),∴g(n)≤2-,即g(x)≤2-, ∴k≥2-,即实数k的最小值为2-. 思想方法　与对数函数有关的方程根的问题,常通过画出相应函数的图象,将方程的根转化为函数图象交点的横坐标,进而解决问题,这是数形结合思想在本章中的重要体现,利用数形结合思想解决函数问题时应注意以下几点:①准确画出函数图象,注意函数的定义域;②科学设置参数,并建立参数之间的关系,将数与形进行合理转换;③掌握数学曲线中的代数特征,掌握参数的取值对曲线形状和位置的影响. 5.D　∵6a=3,∴a=log63,∵12ac=3,∴ac=log123,则c==log126,1-a=log62, 又3b-ab=5a-ab,∴, ∴-1=log561-a=(1-a)log56=log62·log56=log52,∴=log510,即b=lg 5, 将a,b,c通过换底公式转换成自然对数的形式,再比较大小. 则a=log6, b=lg =1-lg 2=1-, c=log12, ∵-,∴a<b<c,故选D. 6.解析　由题意得f(2)=lg(2a-3)=0,∴2a-3=1,解得a=2,∴f(x)=lg(2x-3). 当x∈[3,4]时,2x-3>0恒成立,令kx2>0,则k>0, 由2f(x)>lg(kx2)得2lg(2x-3)=lg (2x-3)2>lg(kx2),∴(2x-3)2>kx2, 对不等式进行变形,把k分离出来,通过分离参数将不等式有解问题转化为求函数的最值问题. 即k<+4, 令t=,则t∈, 令g(t)=9t2-12t+4=9,则当t∈时,g(t)max=g, ∴k<,又k>0,∴0<k<, 即实数k的取值范围为. 思想方法　在对数的运算中,常通过换底公式将不同底的对数转化为同底的对数,方便进行运算;在对数函数问题中,常将不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题,这些都是转化与化归思想在本章中的应用. 7.解析　(1)令u(x)=x2-2ax+3,则f(x)=u(x). 因为f(x)的值域为R,所以u(x)能取(0,+∞)内的一切值, 所以Δ=4a2-12≥0,解得a≤-或a≥. 故实数a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞). (2)因为f(x)在[1,2]内单调,且y=x在定义域内单调递减, 所以u(x)在[1,2]内也单调,且当x∈[1,2]时u(x)>0, f(x)的单调性不确定,可分单调递增和单调递减进行讨论,再根据复合函数同增异减的原则求a的范围. 当u(x)在[1,2]内单调递增时,f(x)在[1,2]内单调递减,则a≤1且u(1)=4-2a>0,解得a≤1; 当u(x)在[1,2]内单调递减时,f(x)在[1,2]内单调递增,则a≥2且u(2)=7-4a>0,无解. 综上,实数a的取值范围为(-∞,1]. 8.解析　(1)因为函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称, 所以h(x)=ax(a>0,且a≠1), 因为点P(2,16)在函数h(x)的图象上, 所以16=a2,解得a=4或a=-4(舍去).故a=4. (2)g(x)=loga·loga=(logax-loga2)(logax-loga8)=(logax)2-4loga2·logax+3(loga2)2. 令t=logax,则φ(t)=t2-4tloga2+3(loga2)2,其图象开口向上,且对称轴为直线t=2loga2. 对数函数t=logax的底数含有参数a,可分0<a<1和a>1两种情况讨论,研究函数的单调性、值域等. ①当0<a<1时,由≤x≤8,得3loga2≤logax≤-loga2, 可得φ(t)max=φ(-loga2)=(-loga2)2+4(loga2)2+3(loga2)2=8(loga2)2=8, 解得a=或a=2(舍去); ②当a>1时,由≤x≤8,得-loga2≤logax≤3loga2, 可得φ(t)max=φ(-loga2)=(-loga2)2+4(loga2)2+3(loga2)2=8(loga2)2=8, 解得a=2或a=(舍去). 综上,实数a的值为或2. 思想方法　在对数(型)函数问题中,底数对函数的图象和性质有影响,当底数的值不确定时要注意对底数进行分类讨论;与对数函数有关的复合函数问题中,判断单调性时,可根据同增异减的原则确定分类标准分类求解等.这些都是分类讨论思想在本章中的重要体现. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$