精品解析：北京市顺义区2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试卷

北京市顺义区2024～2025学年第二学期期末质量监测 高二数学试卷 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 等于（ ） A. 35 B. 210 C. D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】按照排列数计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：B 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 所以，. 故选：C 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导即可得到结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 4. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照基础函数的导数计算逐一判断即可. 【详解】对A，，故错误； 对B，，正确； 对C，，故错误； 对D，，故错误. 故选：B 5. 已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合图象直接判断即可. 【详解】由图可知：，所以A，C，D均错，B正确. 故选：B 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到原函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对A，由图可知：函数在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，故错误； 对B，导函数在附近同号，因此在不取极值，故错误； 对C，由图，函数在区间上单调递减，故错误； 对D，由图，函数在区间上单调递减，故正确. 故选：D 7. “万物和生——故宫博物院藏动物题材绘画特展”在故宫博物院文华殿书画馆开展，展览分为“百鸟鸣春”“百兽率舞”“百态生灵”3个单元.现有甲、乙、丙三名游客参观展览，每人选择其中的一个单元进行参观，则至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 19种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】根据计数原理利用间接法计算即可. 【详解】由题可知：至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有种. 故选：C 8. 已知等差数列的公差，前项和为，且，则（ ） A. ，或， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】分，，三种情况结合等差数列性质求解即可. 【详解】因为等差数列的公差，且， 所以等差数列单调递减， 当时，成立； 当时，，， 若此时等号成立，即，此时； 当时，， 若此时等号成立，即，此时； 综上，，或，. 故选：A 9. 已知函数，当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意得到，构建函数，在单调递增，等价转换，利用导数可得结果. 【详解】当时，，即， 所以函数在单调递增，所以在恒成立， 则在恒成立，所以在恒成立，所以. 故选：A 10. 已知无穷数列满足，，给出下列四个结论： ①当时，数列是递增数列， ②当时，数列是递减数列； ③存在，数列是等比数列； ④存在，数列是等差数列. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】对于①②，通过研究函数在和上的单调性，结合题意可判断选项正误；对于③，由题可得若存在，数列是等比数列，则 ，然后通过考虑方程两边对应函数增长速度可判断方程解的情况，据此可判断选项正误；对于④，考虑为常数列可判断选项正误. 【详解】对于①，由题，则， 令，则当，，， 从而在上单调递减，则，其中. 因，则. 注意到，则， 注意到，则， 从而类似可得，，即数列是递增数列，故①正确； 对于②，，. 又注意到，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 又注意到，则，其中. 因，则， 又，则，从而， 从而类似可得，，即数列是递减数列，故②正确； 对于③，假设存在，使数列是等比数列， 则，注意到当时， 函数的增长速度远大于函数的增长速度， 又，则时，方程无解，则不存在，使数列是等比数列，故③错误. 对于④，考虑数列为常数列，则，注意到时，满足条件. 则取，可使为等差数列.故④正确. 故选：D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.） 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】列式计算即可. 【详解】由题可知：，所以函数定义域为 故答案为： 12. 高二（1）班的某个小组由2名男生和3名女生组成，若从该小组随机抽取3名学生参加义务植树劳动，则恰有1名男生被抽到的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接按照古典概型公式计算即可. 【详解】由题可知：恰有1名男生被抽到概率为. 故答案为： 13. 已知数列是等比数列，，，记，则______；的最大值为_____. 【答案】 ①. ##0.5 ②. 64 【解析】 【分析】假设公比，按照等比数列基本量计算即可；分析每一项的特点然后判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，，所以，则； 因为，所以后面的项有正有负且绝对值越来越小， 又，从第5项开始，每一项的绝对值均小于1， 所以的最大值为. 故答案为：，64 14. 已知随机变量的分布列如下，若，，成等差数列，且，则_____；写出符合条件的的一个值______. 0 1 2 3 【答案】 ①. ②. 2（答案不唯一） 【解析】 【分析】由概率之和为1和等差中项得到方程组，求出，利用期望公式和计算出，可得答案. 【详解】由题意得且， 解得， ， ，，故， 所以， 不妨令满足要求. 故答案为：，2（答案不唯一） 15. 已知函数 ，给出下列四个结论： ①在上单调递减； ②的值域为； ③当时，方程有且只有3个不等实根； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】直接利用函数的图象确定函数的单调性，利用函数的图象确定函数的零点的个数，利用函数的导数确定函数的值域，利用不等式的关系确定参数的取值范围，进一步确定①②③④的结论． 【详解】因为函数则函数的图像大致如下： 由图可得函数在上不单调，故①不正确； 由于函数在上单调递减，在上单调递减， 又时，，时，，，，时，， 则的值域为，故②正确； 当时，，设， 则当时，，所以， 令得，则时，，函数单调递增，时，，函数单调递减， 所以，故当时，只有一个零点； 当时，，所以， 令得，则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 所以，又，； 则，使得； 综上，函数有且只有3个零点，所以方程有且只有3个不等实根，故③正确； 若，则当时，恒成立，所以，即， 令，则，所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 则，所以； 当，不等式恒成立； 当时，恒成立，所以，即， 令，则，又恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，则时， 即恒成立，故函数在上单调递增， 又，则； 综上，，则，故④正确. 故答案为：②③④. 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的展开式按的降幂排列，且只有第3项的二项式系数最大. （1）直接写出的值； （2）求展开式中各项系数的和； （3）判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，说明理由. 【答案】（1）4 （2）0 （3）存在，-4 【解析】 【分析】（1）依据题意直接判断即可； （2）使用赋值法，令可得结果； （3）列出通项，然后简单计算即可. 【小问1详解】 由题可知：只有第3项的二项式系数最大，所以 【小问2详解】 令，所以展开式中各项系数的和为0 【小问3详解】 展开式的通项为, 令，所以存在常数项， 17. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公比，根据条件得到方程组，求出公比，得到通项公式； （2）利用等差数列通项公式得到，然后分组求和得到结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由，且等比数列为递增数列，所以， ，解得（负值舍去）， 所以，即； 【小问2详解】 由数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以， 所以， . 18. 已知函数，当时，取得极值. （1）求a，b的值； （2）若函数在区间上的最大值为2，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）对函数求导，将极值点和极值代入导数和函数中即可求得结果，再检验结果. （2）根据函数的单调性和极值，确定的范围. 【小问1详解】 对函数求导得：. 因为当时，取得极值， 所以， 解得， 此时函数的解析式为，. 当或时，；当时，； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数取极小值，极小值为，即满足条件， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数解析式为，. 当或时，；当时，； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 而， 所以要使得函数在区间上的最大值为2，则. 19. 某中学为了解学生对某款校服样品的满意度，从全校随机抽取了200名学生进行对该款校服样品满意情况的问卷调查，所得样本数据如下（单位：人）： 性别 初中部 高中部 满意 不满意 满意 不满意 男生 25 30 40 20 女生 15 20 26 24 假设每个学生对该款校服样品是否满意相互独立，用频率估计概率. （1）从该校男生中随机抽取1人，估计该生对该款校服样品满意的概率； （2）从该校初中部、高中部各随机抽取1人，记X为这2人中对该款校服样品满意的人数，估计X的分布列和数学期望； （3）从该校初中部、高中部各随机抽取2人，其中对该款校服样品满意的人数分别记为，，写出方差与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式计算即可； （2）列出的所有可能取值，并计算所对应的概率，然后列出分布列，最后按照期望公式计算即可； （3）得出，，然后按照公式计算出，然后判断即可. 【小问1详解】 从该校男生中随机抽取1人，估计该生对该款校服样品满意的概率为 【小问2详解】 初中部共有90人，满意的有40人，不满意的有50人； 高中部共有110人，满意的有66人，不满意的有44人. 的所有可能取值为0，1，2 所以， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望为 【小问3详解】 由题可知：初中部满意的概率为，高中部满意的概率为， 所以，， 则，，所以 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上没有极值点，且函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别计算即可得到结果； （2）计算，令，然后对参数讨论即可； （3）分别对进行讨论得到函数的单调性且判断符号即可. 【小问1详解】 当时，，所以，，， 所以所求切线方程，即 【小问2详解】 函数定义域为，， 令，所以或 当，即时， 若，；若，， 所以在单调递减，在单调递增. 若当，即时，恒成立，所以在单调递增. 当，即时， 若，；若，， 所以在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 当时，，令，不符合题意； 当时，， 若 ，，所以函数在单调递增， 若函数在区间上有且只有一个零点，则 若时，，即， 由（2）可知： （i）若，则函数在单调递减，又，函数在区间上无零点，不符合题意； （ii）若，则函数在单调递增，又，函数在区间上无零点，不符合题意； （iii）若时，在单调递减，在单调递增， 因为函数在区间上没有极值点，所以函数在区间上单调递增或单调递减，又，函数在区间上无零点，不符合题意； 综上所述：. 21. 已知项数列，对任意，都有，记，的取值构成集合. （1）写出，； （2）求； （3）记，若，求的取值集合. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义列举即可； （2）根据题意分析设中取值情况即可确定； （3）由，得或，再分析的和的情况，即可确定. 【小问1详解】 时，，所以， ，所以. 【小问2详解】 时，， 由（1）可知的值由前面的的决定，而， 设中有个取，则有个取， 所以， 即. 【小问3详解】 由（2）知，，或， 或时，中有个取，个取， 设， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市顺义区2024～2025学年第二学期期末质量监测 高二数学试卷 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 等于（ ） A. 35 B. 210 C. D. 21 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上单调递减 7. “万物和生——故宫博物院藏动物题材绘画特展”在故宫博物院文华殿书画馆开展，展览分为“百鸟鸣春”“百兽率舞”“百态生灵”3个单元.现有甲、乙、丙三名游客参观展览，每人选择其中一个单元进行参观，则至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 19种 D. 24种 8. 已知等差数列的公差，前项和为，且，则（ ） A ，或， B. ， C ， D. ， 9. 已知函数，当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知无穷数列满足，，给出下列四个结论： ①当时，数列是递增数列， ②当时，数列递减数列； ③存在，数列是等比数列； ④存在，数列是等差数列. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.） 11. 函数的定义域为______. 12. 高二（1）班的某个小组由2名男生和3名女生组成，若从该小组随机抽取3名学生参加义务植树劳动，则恰有1名男生被抽到的概率为_____. 13. 已知数列是等比数列，，，记，则______；的最大值为_____. 14. 已知随机变量的分布列如下，若，，成等差数列，且，则_____；写出符合条件的的一个值______. 0 1 2 3 15. 已知函数 ，给出下列四个结论： ①上单调递减； ②的值域为； ③当时，方程有且只有3个不等实根； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的展开式按的降幂排列，且只有第3项的二项式系数最大. （1）直接写出的值； （2）求展开式中各项系数的和； （3）判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，说明理由. 17. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 18. 已知函数，当时，取得极值. （1）求a，b的值； （2）若函数在区间上的最大值为2，求k的取值范围. 19. 某中学为了解学生对某款校服样品的满意度，从全校随机抽取了200名学生进行对该款校服样品满意情况的问卷调查，所得样本数据如下（单位：人）： 性别 初中部 高中部 满意 不满意 满意 不满意 男生 25 30 40 20 女生 15 20 26 24 假设每个学生对该款校服样品是否满意相互独立，用频率估计概率. （1）从该校男生中随机抽取1人，估计该生对该款校服样品满意的概率； （2）从该校初中部、高中部各随机抽取1人，记X为这2人中对该款校服样品满意的人数，估计X的分布列和数学期望； （3）从该校初中部、高中部各随机抽取2人，其中对该款校服样品满意的人数分别记为，，写出方差与的大小关系.（结论不要求证明） 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上没有极值点，且函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 21. 已知项数列，对任意，都有，记，的取值构成集合. （1）写出，； （2）求； （3）记，若，求的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $