第2章 专题强化练3 函数的最大（小）值问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

专题强化练3　函数的最大(小)值问题 1.(多选题)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是(　　) A. f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1 B. f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值 C. f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5 D. f(x)在区间[0,a](a>1)上的最大值为f(a) 2.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设h(x)=maxx2,x,6-x,则h(x)的最小值为(　　) A.　　　B.3　　　　 C.　　　D.4 3.已知函数f(x)的定义域为[1,2],设函数f(1-x)的定义域为D,若∃x∈D,使得a>x2-x+1成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1)　　　B.(-∞,3) C.(1,+∞)　　　D.(3,+∞) 4. (多选题)关于函数f(x)=,下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最大值可能是-1 B.函数f(x)的图象一定具有对称性 C.“函数f(x)的最大值为1”是“a>0,b=0”的必要不充分条件 D.函数f(x)在定义域内不可能是单调函数 5.已知函数f(x)=存在最大值,则a的取值范围是　　　　.  6.设函数f(x)=|x2-2ax|在区间[0,1]上的最大值为g(a),则当g(a)取得最小值时,a=　　　　.  7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-3f(-x)=12x-2,二次函数g(x)的最小值为-16,且g(-2)=g(0)=-15. (1)分别求函数f(x)和g(x)的解析式; (2)设h(x)=f(x)+g(a-x)-2a,x∈[-1,1],求h(x)的最小值F(a). 8.已知函数f(x)=ax+的图象过点(3,15). (1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; (2)设函数g(x)=(3m-1)x+7,若对任意的x1∈[1,6],总存在x2∈[-2,4],使得g(x2)=f(x1)成立,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练3　函数的最大(小)值问题 1.BC　函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1. 在选项A中,因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误; 在选项B中,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5, f(2)=2, f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,B正确; 在选项C中,因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确; 在选项D中,当1<a<2时, f(x)在区间[0,a]上的最大值为f(0)=2,当a≥2时, f(x)在区间[0,a]上的最大值为f(a),D错误.故选BC. 2.C　在同一直角坐标系中画出y=x2,y=x,y=6-x的图象,则函数h(x)的图象为图中实线部分. 由图可知,函数h(x)图象的最低点为A, 联立解得即A. 所以h(x)的最小值为.故选C. 3.C　∵函数f(x)的定义域为[1,2], ∴在f(1-x)中,1≤1-x≤2,解得-1≤x≤0, ∴函数f(1-x)的定义域D=[-1,0], ∵∃x∈D,使得a>x2-x+1成立, ∴a>(x2-x+1)min, 设g(x)=x2-x+1,x∈[-1,0], 易知g(x)在[-1,0]上单调递减, ∴g(x)min=g(0)=1,∴a>1, ∴实数a的取值范围为(1,+∞).故选C. 4.BCD　对于A,若函数f(x)的最大值是-1,则f(x)=≤-1恒成立,但f(0)=1>-1,不符合,故A错误. 对于B,若a=0,则f(x)=的图象关于点对称; 若a≠0,令t=ax2+bx+1=a+1,其图象关于直线x=-对称,则函数f(x)=的图象关于直线x=-对称,故B正确. 对于C,当a=0,b=0时,f(x)=1,此时f(x)的最大值为1,充分性不成立;当a>0,b=0时,f(x)=,令t=ax2+1(a>0),则t在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)的最大值为f(0)=1,必要性成立,故为必要不充分条件,故C正确. 对于D,当a≠0时,函数f(x)的图象关于直线x=-对称,不是单调函数; 当a=0,b=0时,f(x)=1,f(x)不具有单调性; 当a=0,b>0时,f(x)=,f(x)在上单调递减; 当a=0,b<0时,f(x)=,f(x)在上单调递增, 所以函数f(x)在定义域内不可能是单调函数,故D正确. 故选BCD. 5.答案　[0,4] 解析　①若a<0,则函数f(x)在(-∞,a)上单调递减,f(x)不存在最大值; ②若a=0,则f(x)=当x≥0时,f(x)max=f(3)=8>-9,故函数f(x)存在最大值; ③若0<a≤3,则x≥a时,函数f(x)在(a,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,故f(x)≤f(3)=8, x<a时,函数 f(x)单调递增,故f(x)<f(a)=a2-9, 因为函数f(x)存在最大值,所以a2-9≤8,又0<a≤3,所以0<a≤3; ④若a>3,则x≥a时,函数f(x)单调递减,f(x)≤f(a)=8-(a-3)2,x<a时,f(x)单调递增,f(x)<f(a)=a2-9, 因为函数f(x)存在最大值,所以8-(a-3)2≥a2-9,又a>3,所以3<a≤4. 综上,a的取值范围是[0,4]. 6.答案　-1 解析　设h(x)=x2-2ax. 当a≤0时,函数h(x)=x2-2ax在[0,1]上单调递增, 故g(a)=h(1)=1-2a; 当a>1时,函数h(x)=x2-2ax在[0,1]上单调递减,此时g(a)=|h(1)|=2a-1; 当<a≤1时,f(0)=0,f(1)=|1-2a|=2a-1,f(a)=a2, 而f(a)-f(1)=(a-1)2≥0,故g(a)=a2; 当0<a≤时,f(0)=0,f(1)=|1-2a|=1-2a,f(a)=a2,g(a)=max{f(1),f(a)}, 由f(a)=f(1),解得a=-1舍去), ∴当-1<a≤时,g(a)=a2, 当0<a≤-1时,g(a)=1-2a. 综上,g(a)= ∵当a≤-1时,g(a)单调递减, 当a>-1时,g(a)单调递增, ∴当a=-1时,g(a)取得最小值. 7.解析　(1)由f(x)-3f(-x)=12x-2①, 可得f(-x)-3f(x)=-12x-2②, 由①②可得f(x)=3x+1. 设二次函数g(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则解得 故g(x)=x2+2x-15. (2)h(x)=f(x)+g(a-x)-2a =(3x+1)+(a-x)2+2(a-x)-2a-15 =(x-a)2-, 当a≤-1时,h(x)在[-1,1]上单调递增, 所以h(x)min=h(-1)=a2+2a-; 当a≥1时,h(x)在[-1,1]上单调递减, 所以h(x)min=h(1)=a2-2a-; 当-1<a<1时,h(x)在[-1,a]上单调递减,在[a,1]上单调递增,所以h(x)min=h(a)=-. 综上所述,F(a)= 8.解析　(1)∵f(x)=ax+的图象过点(3,15), ∴f(3)=3a+=15,解得a=4. 所以f(x)=4x+. 任取x3,x4∈(0,+∞),且x3<x4, 则f(x3)-f(x4)= =4(x3-x4)- =, ∵x3<x4,∴x3-x4<0, ∵x3,x4∈(0,+∞),∴x3x4>0. 当x3,x4∈时,x3x4-<0, ∴f(x3)-f(x4)>0,即f(x3)>f(x4), ∴函数f(x)在区间上单调递减, 当x3,x4∈时,x3x4->0, ∴f(x3)-f(x4)<0,即f(x3)<f(x4), ∴函数f(x)在区间上单调递增. ∴f(x)在上单调递减,在上单调递增. (2)由(1)可知,f(x)=4x+在区间上单调递减,在区间上单调递增, ∴f(x)min=f =12,f(x)的最大值只能是f(1)和f(6)中的较大者, ∵f(1)=13,f(6)=, 从而f(x)∈. 记函数g(x)=(3m-1)x+7在[-2,4]上的值域为M,由题意可知⊆M. 当3m-1=0,即m=时,g(x)=7,故M={7},不符合题意; 当3m-1>0,即m>时,g(x)=(3m-1)x+7在区间[-2,4]上单调递增,M=[-6m+9,12m+3], 则∴m≥; 当3m-1<0,即m<时,g(x)=(3m-1)x+7在区间[-2,4]上单调递减,M=[12m+3,-6m+9], 则∴m≤-. 综上可知,m≥或m≤-. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$