第1章 单元整合练 不等式在集合、逻辑关系及二次函数中的应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

单元整合练　不等式在集合、逻辑关系及 二次函数中的应用 1.已知集合A=x∈Z≤0,B={y|y=x2,x∈A},则集合A∪B的非空真子集的个数为(　　) A.14　　　　B.15　　　　C.30　　　　D.62 2.若“x2-3x+2<0”是“x2-(2a+1)x+a2+a>0”的一个充分不必要条件,则a的取值范围是(　　) A.0<a<2　　　B.a<0或a>2 C.a≤0或a≥2　　　D.1<a<2 3.若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为(　　) A.a-2<a≤　　　B.a-2≤a≤ C.aa<-2或a≥　　　D.aa≤-2或a≥ 4.(多选题)已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<1或x>3},则下列结论正确的是(　　) A.c<0 B.a+2b+4c<0 C.cx+a<0的解集为xx>- D.cx2-bx+a>0的解集为xx<-1或x>- 5.当x>0时,关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,则b+的最小值为　　　　.  6.下列结论正确的有　　　　.(填序号)  ①不存在实数a使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为⌀; ②不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的一个必要条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0; ③若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R; ④不等式>1的解集为{x|x<1}. 7.已知A={x|x2-7x+6<0},B={x|x2-4x+4t-t2<0}. (1)当t=5时,求A∩B; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数t的取值范围. 8.已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}. (1)若a>0,且不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且仅有9个整数解,求a的取值范围; (2)解关于x的不等式:ax2+(b-1)x+5<0. 答案与分层梯度式解析 单元整合练　不等式在集合、逻辑关系及 二次函数中的应用 1.D　由≤0得-1<x≤3,又x∈Z,所以A={0,1,2,3}, 故B={0,1,4,9},所以A∪B={0,1,2,3,4,9},有6个元素,所以A∪B的非空真子集的个数为26-2=62.故选D. 2.C　令A={x|x2-3x+2<0},则A={x|1<x<2}, 令B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)>0},则B={x|x>a+1或x<a}, 若“x2-3x+2<0”是“x2-(2a+1)x+a2+a>0”的一个充分不必要条件,则A⫋B,因此a+1≤1或a≥2,即a≤0或a≥2.故选C. 3.C　①当a2-4=0,即a=±2时, 若a=2,则原不等式为4x-1≥0,解得x≥,则不等式的解集为xx≥,不是空集; 若a=-2,则原不等式为-1≥0,无解,不符合题意. ②当a2-4≠0,即a≠±2时, 若不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则有解得-2<a<, 则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时,有a<-2或a≥且a≠2. 综上可得,实数a的取值范围为aa<-2或a≥.故选C. 4.ABC　因为不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<1或x>3}, 所以方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3,且a<0, 由根与系数的关系得1+3=-,解得b=-4a,c=3a<0,A正确; a+2b+4c=a-8a+12a=5a<0,B正确; 不等式cx+a<0可化为3ax+a<0,因为a<0,所以3x+1>0,解得x>-,所以不等式cx+a<0的解集为xx>-,C正确; 不等式cx2-bx+a>0可化为3ax2+4ax+a>0,因为a<0,所以3x2+4x+1<0,即(x+1)(3x+1)<0,解得-1<x<-,所以不等式cx2-bx+a>0的解集为,D错误.故选ABC. 5.答案　4 解析　由题意可得a≠0, 当a<0时,由x>0可得ax-1<0, ∵关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,∴x2+bx-4≤0在(0,+∞)上恒成立, ∵函数y=x2+bx-4的图象是开口向上的抛物线,∴x2+bx-4≤0在(0,+∞)上不恒成立,故舍去; 当a>0时,若x>,则ax-1>0,此时x2+bx-4≥0,若0<x<,则ax-1<0,此时x2+bx-4≤0,即为函数y=x2+bx-4的图象与x轴交点的横坐标,∴-4=0,解得b=4a-, ∴b+≥2,当且仅当4a=,即a=时等号成立,故b+的最小值为4. 6.答案　①② 解析　对于①,当a≥0时,不等式ax2+x+1≥0的解集不为⌀, 当a<0时,要使不等式ax2+x+1≥0的解集为⌀,只需Δ=1-4a<0,解得a>,因为a<0,所以不存在实数a使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为⌀,①正确; 对于②,当a<0且Δ=b2-4ac≤0时,ax2+bx+c≤0在R上恒成立,故不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的一个必要条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0,②正确; 对于③,函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根,故ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0恒成立,因此不等式ax2+bx+c>0的解集不一定为R,③错误; 对于④,由>1得>0,即(1-x)x>0,解得0<x<1,④错误. 故答案为①②. 7.解析　(1)A={x|x2-7x+6<0}={x|1<x<6}, 当t=5时,B={x|x2-4x+4t-t2<0}={x|x2-4x-5<0}={x|-1<x<5}, ∴A∩B={x|1<x<5}. (2)由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A⫋B, B={x|x2-4x+4t-t2<0}={x|(x-t)[x-(4-t)]<0},显然t≠4-t,∴t≠2. ①当4-t>t,即t<2时,B={x|t<x<4-t},要满足A⫋B,则且等号不能同时成立,解得t≤-2; ②当4-t<t,即t>2时,B={x|4-t<x<t},要满足A⫋B,则且等号不能同时成立,解得t≥6. 综合①②得实数t的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). 8.解析　(1)∵a>0,∴由题可得ax2+bx+c≥2恒成立,且ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}, 故方程ax2+bx+c=3的两个根为2和3, 则解得 ∴ax2+bx+c=ax2-5ax+6a+3≥2恒成立, 即≥-x2+5x-6=-恒成立,所以≥,所以0<a≤4. ax2+(b-3)x-c≤0,即ax2-(5a+3)x-(6a+3)≤0, 即[ax-(6a+3)](x+1)≤0,解得-1≤x≤6+, ∵不等式有且仅有9个整数解,故7≤6+<8,解得<a≤3. 综上可得,a的取值范围为. (2)当a>0时,由(1)得0<a≤4, ax2+(b-1)x+5<0,即ax2-(5a+1)x+5<0,即(ax-1)·(x-5)<0, ①当0<a<时,原不等式的解集为x5<x<; ②当a=时,原不等式的解集为⌀; ③当<a≤4时,原不等式的解集为x<x<5. 当a<0时,由题意可得ax2+bx+c≤3恒成立,且ax2+bx+c≥2的解集为{x|2≤x≤3}, 则解得 ∴ax2+bx+c=ax2-5ax+6a+2≤3恒成立,即ax2-5ax+6a-1≤0恒成立,故Δ=25a2-4a(6a-1)≤0, 解得-4≤a<0. ax2+(b-1)x+5<0,即ax2-(5a+1)x+5<0,即(ax-1)·(x-5)<0,该不等式的解集为xx<或x>5. 当a=0,b>0时,解得 则ax2+(b-1)x+5<0即5<0,无解; 当a=0,b<0时,解得 则ax2+(b-1)x+5<0即-2x+5<0,解得x>. 综上可得,当-4≤a<0时,不等式的解集为xx<或x>5; 当a=0,b>0时,不等式的解集为⌀; 当a=0,b<0时,不等式的解集为xx>; 当0<a<时,不等式的解集为x5<x<; 当a=时,不等式的解集为⌀; 当<a≤4时,不等式的解集为x<x<5. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$