第1章 2_2 全称量词与存在量词（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§2 常用逻辑用语 知识点 1 全称量词与存在量词 知识 清单破 2.2 全称量词与存在量词 1.全称量词命题与全称量词 　　在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.在命题中,诸 如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“∀”表 示,读作“对任意的”. 2.存在量词命题与存在量词 在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中,诸如“有些” “有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示,读作“存在”. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 符号表示 命题否定的 符号表示 命题否定的类型 全称量词命题 ∀x∈M,x具有性质p(x) ∃x∈M,x不具有性质p(x) 存在量词命题 存在量词命题 ∃x∈M,x具有性质p(x) ∀x∈M,x不具有性质p(x) 全称量词命题 　　量词命题的否定可先改变量词,再否定结论. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展    一些常用词语和相应的否定词语如下表. 原词语 等于 (=) 小于 (<) 大于 (>) 有 是 否定 词语 不等于 (≠) 不小于 (≥) 不大于 (≤) 没有 不是 原词语 都是 至少有一个 至多有一个 至多有n个 否定词语 不都是 一个也没有 至少有两个 至少有(n+1)个 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.全称量词命题的描述中一定含有全称量词,存在量词命题的描述中一定含有存在量词.  (　    ) ✕ 2.“矩形的对角线相等”是存在量词命题. (　    ) ✕ 3.命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”. (　    ) ✕ “对顶角相等”是全称量词命题,其否定为“有些对顶角不相等”. 提示 4.一个命题与它的否定可以同真同假. (　    ) ✕ 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断 1.要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)成立”是真命题,需要验证对集合M中的每个元素x,都 有p(x)成立,但要判定该命题是假命题,只要举出一个反例即可,即集合M中至少存在一个x,使 p(x)不成立; 要判定存在量词命题“∃x∈M,使p(x)成立”是真命题,只需在集合M中能找到一个x,使p(x) 成立即可,否则,这一命题就是假命题. 2.命题与命题的否定的真假相反.当命题的否定的真假不易判断时,可以通过判断原命题的真 假来得出命题的否定的真假. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:无论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根; (2)q:有些正整数没有1和它本身以外的约数; (3)r:∀x∈R,4x2-4x+1≥0; (4)s:∃x∈R,x2+2 021≤0. 解析    (1)p的否定:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根. 因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,所以p的否定为假命题. (2)q的否定:任意正整数都有1和它本身以外的约数. 因为1的约数只有1,所以q的否定为假命题. (3)r的否定:∃x∈R,4 -4x+1<0. 因为∀x∈R,4x2-4x+1=(2x-1)2≥0恒成立,所以r的否定是假命题. (4)s的否定:∀x∈R,x2+2 021>0. 因为x2+2 021≥2 021>0,所以s的否定为真命题. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 2 含量词命题及其否定中的参数问题 1.全称量词命题求参数范围的问题一般转化为“恒成立”问题,存在量词命题求参数范围的 问题一般转化为“有解”问题.解题时,可通过构造函数,利用数形结合求参数,也可用分离参 数法求参数. 2.对于命题p的有些问题,正面解决很难或者很复杂,我们可以考虑它的反面,即把与命题p有 关的问题转化成与命题¬p有关的问题,从而把问题简化,即“正难则反”的方法,也就是“补 集思想”的应用. 3.常见结论: (1)∃x∈D,y=0,等价于方程y=0在x∈D上有实数根; (2)∀x∈D,y>0,就是不等式y>0在x∈D上恒成立,等价于ymin>0; (3)∃x∈D,y>0,就是不等式y>0在x∈D上有解,等价于ymax>0; (4)∀x∈D,y<0,就是不等式y<0在x∈D上恒成立,等价于ymax<0; (5)∃x∈D,y<0,就是不等式y<0在x∈D上有解,等价于ymin<0. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知函数y=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存 在,请说明理由; (2)若存在实数x,使不等式m-y>0成立,求实数m的取值范围. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)存在. 不等式m+y>0可化为m>-y, 即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4. 故存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,此时m>-4. (2)不等式m-y>0可化为m>y. 若存在实数x,使不等式m>y成立,只需m>ymin, 又y=x2-2x+5=(x-1)2+4,∴ymin=4,∴m>4. 故实数m的取值范围是{m|m>4}. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 $$