第1章 S4 一元二次函数与一元二次不等式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§4 一元二次函数与一元二次不等式 知识 清单破 知识点 1 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及性质 a>0 a<0 图 象     第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 性 质 图象是一条抛物线,且开口向上,并向上无限延伸 图象是一条抛物线,且开口向下,并向下无限延伸 对称轴:直线x=-  顶点坐标:  在区间 上,函数值y随自变量x的增大而减小; 在区间 上,函数值y随自变量x的增大而增大 在区间 上,函数值y随自变量x的增大而增大; 在区间 上,函数值y随自变量x的增大而减小 当x=- 时,y有最小值,ymin=   当x=- 时,y有最大值,ymax=   第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 一元二次不等式 1.一元二次不等式 (1)概念:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知 数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式. (2)一元二次不等式的解:使一元二次不等式成立的x的值. (3)一元二次不等式的解集:使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 2.一元二次不等式与相应函数、方程的关系 y=ax2+bx+c(a>0) 方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程ax2+bx+c=0的实数根 x1,x2(x1<x2) x1=x2=-  没有实数根 函数y=ax2+bx+c的图象       不等式ax2+bx+c>0的解集 {x|x<x1,或x>x2}   R 不等式ax2+bx+c<0的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.不等式ax2+x-5>0一定是一元二次不等式.(　    ) ✕ 2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),且不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x< x2},则必有a>0. (　    ) √ 3.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　    ) 　方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,说明函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点.当a>0时, 图象在x轴上方,不等式ax2+bx+c>0的解集为R;当a<0时,图象在x轴下方,不等式ax2+bx+c>0的 解集为⌀. ✕ 提示 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集 不可能为{x|x1<x<x2}.(　    ) 　当a<0时,解集为{x|x1<x<x2}. ✕ 提示 5.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象在x轴上 方的点的横坐标x组成的集合.(　    ) √ 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 一元二次不等式的解法 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准:通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正. (2)判别式:对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根:求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图:根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的草图. (5)写解集:根据图象写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式时,一般需要进行分类讨论,可从以下几方面进行: (1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准; (2)以判别式与零的大小关系作为分类标准; (3)若判别式大于零,但两根的大小关系不能确定,则以两根的大小关系作为分类标准. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0. 解析    (1)当a=0时,原不等式为一元一次不等式,即-2x+4>0,解得x<2. (2)当a<0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2>0,其两根分别为x1=2,x2= ,且 <2,所以 不等式ax2-2(a+1)x+4>0的解集为 . (3)当a>0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2≥0,其两根分别为x1=2,x2= . ①若 <2,则a>1,不等式的解集为 ; ②若 >2,则0<a<1,不等式的解集为 ; ③若 =2,则a=1,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠2}. 综上,当a=0时,不等式的解集为{x|x<2}; 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 当a<0时,不等式的解集为 ; 当a>1时,不等式的解集为 ; 当0<a<1时,不等式的解集为 ; 当a=1时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠2}. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 　　与一元二次不等式有关的恒(能)成立问题,可借助一元二次函数的图象求解,必要时可通 过分离参数,利用最值求解.解决恒成立问题一定要分清自变量和参数,一般地,已知范围的是 自变量,求解范围的是参数.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的一元二次函 数的图象在给定区间内全部在x轴上方,恒小于0就是相应的一元二次函数的图象在给定区间 内全部在x轴下方. 讲解分析 疑难2 一元二次不等式恒(能)成立问题 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 (1)已知关于x的不等式mx2+2mx-8≥0有解,则m的取值范围是　　 　    ; (2)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间[1,4]内有解,则a的取值范围为　　 　    . 思路点拨    (1)对m的大小进行分类讨论,结合一元二次函数与一元二次不等式的关系求解. (2)思路一:将参数a分离出来,即a<x2-4x-2,由a<(x2-4x-2)max,x∈[1,4]求a的取值范围. 思路二:设y=x2-4x-2-a,不等式x2-4x-2-a>0在区间[1,4]内有解,即当x=1,或x=4时,y>0,由此求出a 的取值范围. {m|m≤-8或m>0} {a|a<-2} 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当m=0时,原不等式化为-8≥0,解集为⌀,故不满足题意; 当m>0时,一元二次不等式对应的一元二次函数的图象开口向上,显然满足题意; 当m<0时,由题意得Δ=(2m)2-4m×(-8)≥0,所以m≤-8. 综上,当m≤-8或m>0时,关于x的不等式mx2+2mx-8≥0有解. (2)解法一:原问题等价于a<x2-4x-2在区间[1,4]内有解, 所以a<(x2-4x-2)max,x∈[1,4], 因为y=x2-4x-2在[1,4]上的最大值是-2,所以a<-2. 解法二:设y=x2-4x-2-a, 不等式x2-4x-2-a>0在区间[1,4]内有解,即存在x∈[1,4],使y>0, 所以当x=1,或x=4时,y>0成立, 即1-4-2-a>0,或16-16-2-a>0, 解得a<-2. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 (1)若不等式x2+ax-3>-4的解集为R,求实数a的取值范围; (2)若不等式x2+ax-3≤2ax-6对任意x∈[1,3]恒成立,求实数a的取值范围. 思路点拨    (1)不等式x2+ax-3>-4的解集为R即x2+ax+1>0恒成立,即对应一元二次函数图象开 口向上,且和x轴无交点. (2)思路一:通过分离参数,将原问题转化为最值问题,求得a的取值范围即可. 思路二:不等式x2+ax-3≤2ax-6对任意x∈[1,3]恒成立即x2-ax+3≤0对任意x∈[1,3]恒成立,结合 函数y=x2-ax+3的图象知区间[1,3]两端点对应的函数值均不大于0,从而求得a的取值范围. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵不等式x2+ax-3>-4的解集为R,∴x2+ax+1>0的解集为R, ∴Δ=a2-4<0,解得-2<a<2. 故a的取值范围是(-2,2). (2)解法一:x2+ax-3≤2ax-6对任意x∈[1,3]恒成立,即x2-ax+3≤0对任意x∈[1,3]恒成立,∴a≥  ,x∈[1,3]. ∵当x∈[1,3]时, =4,∴a≥4. 故a的取值范围是[4,+∞). 解法二:不等式x2+ax-3≤2ax-6对任意x∈[1,3]恒成立即x2-ax+3≤0对任意x∈[1,3]恒成立, 设y=x2-ax+3,则当x=1且x=3时,y≤0,即 解得a≥4. 故a的取值范围是[4,+∞). 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难3 一元二次不等式的实际应用 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 1.阅读、理解材料:应用题多为“文字语言、符号语言和图形语言”并用,且很多应用题文字 篇幅较长,应正确理解材料,弄清题意. 2.建立一元二次不等式模型:根据对题意的分析,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式 问题. 3.解数学模型:解一元二次不等式得出数学模型的解. 4.还原成实际问题的解:将此一元二次不等式的解转化为实际问题的解. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小 时60元,装卸费为1 000元,猪肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车速度(单位:千米/时)值的 2倍.(说明:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费) (1)若运输的总费用不超过1 260元,求汽车行驶速度值的范围; (2)若要使运输的总费用最小,汽车应以怎样的速度行驶? 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设汽车行驶的速度为x千米/时,运输的总费用为y元,则y= ×60+1 000+2x. 令 ×60+1 000+2x≤1 260,整理得x2-130x+3 600≤0,解得40≤x≤90. ∴若运输的总费用不超过1 260元,则汽车行驶速度值的范围应为{x|40≤x≤90}. (2)由(1)知运输的总费用y= ×60+1 000+2x.∵ ×60+1 000+2x=2x+ +1 000≥2  +1 000=1 240, 当且仅当2x= ,即x=60时取等号, ∴若要使运输的总费用最小,则汽车应以60千米/时的速度行驶. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 $$