考前必背（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

考 前 必 背 一、根式与分数指数幂 1.根式的性质 (1)()n=a(n>1,且n∈N*). (2) 2.分数指数幂 (1)正分数指数幂:a>0,m,n∈N*,且是既约分数. (2)负分数指数幂:a>0,m,n∈N*,且是既约分数. 规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 3.有理数指数幂的运算法则 (1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q). (2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q). (3)(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q). 二、指数函数 1.指数函数的概念 一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1. 2.指数函数的性质与图象 函数 y=ax(a>0且a≠1) a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 奇偶性 非奇非偶函数 定点 过定点(0,1),即x=0时,y=1 函数值 的变化 当x<0时,0<y<1; 当x>0时,y>1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 单调性 增函数 减函数 注:指数函数y=ax与y=a-x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称. 三、对数 1.对数的概念与运算 (1)对数的概念 在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数. (2)对数式与指数式的互化:ab=N⇔b=logaN(a>0且a≠1). 特别地,loga1=0,logaa=1,=N,logaab=b(a>0且a≠1). (3)运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么loga(MN)=logaM+logaN; logaMα=αlogaM;loga=logaM-logaN. (4)换底公式 logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1). (5)相关结论 lologab(a>0且a≠1,b>0,s∈R,t∈R且t≠0); logab=(a>0且a≠1,b>0且b≠1). 2.两种特殊的对数 (1)以10为底的对数称为常用对数,log10N简写为lg N. (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,logeN简写为ln N. 四、对数函数 1.对数函数的概念 一般地,函数y=logax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1. 2.对数函数的性质与图象 函数 y=logax(a>0且a≠1) a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 奇偶性 非奇非偶函数 定点 过定点(1,0),即x=1时,y=0 函数值 的变化 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 单调性 增函数 减函数 注:对数函数y=logax与y=logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称. 五、反函数 一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.函数y=f(x)的反函数记作y=f -1(x). 值得注意的是,y=f(x)的定义域与y=f -1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f -1(x)的定义域相同,y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称. 六、幂函数 定义 一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数 常见幂函数 的图象 幂函数的 共同特征 1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点(1,1). 2.如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. 3.如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴 七、增长速度的比较 1.函数y=f(x)在[x1,x2]上的平均变化率 定义式 实质 函数值的改变量与自变量的改变量之比 作用 比较函数值变化的快慢 2.三种函数模型的比较 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0,+∞) 上的增减性 增 增 增 图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐变“缓” 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度远远快于y=kx(k>0)的增长速度,y=kx(k>0)的增长速度快于y=logax(a>1)的增长速度 结果 存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax 八、随机抽样 抽样 方法 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随 机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 从总体中逐个抽取 分层抽样在 各层抽样时 采用简单随 机抽样 总体中的 个体数目较少 分层 抽样 将总体分成互不交叉的 层,然后分层抽取 总体由差异 明显的几部 分组成 九、数据的数字特征 1.最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值. 2.平均数 (1)数据x1,x2,…,xn的平均数为(x1+x2+…+xn)=xi. (2)若x1,x2,…,xn的平均数为,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a+b. 3.中位数 将一组数从小到大排序后,中间的数或者中间两数的平均数为这组数的中位数. 4.百分位数 一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值. 5.众数 一组数据中,出现次数最多的数据. 6.极差 一组数的最大值减去最小值所得的差. 7.方差与标准差 (1)如果x1,x2,…,xn的平均数为,则方差为s2=)2.方差的算术平方根称为标准差. (2)若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2,x1+a,x2+a,…,xn+a的方差为s2. 十、频率分布直方图的特征 1.纵坐标是,小矩形的面积=组距×=频率. 2.所有矩形的面积之和为1. 3.(1)众数:最高小矩形底边中点的横坐标; (2)中位数:把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的部分,分界线与横轴交点的横坐标; (3)平均数:每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和. 十一、分层抽样中的平均数与方差 假设样本是用分层抽样的方法得到的,且是分两层抽样.第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为,方差为t2,则样本均值,样本方差b2=. 十二、事件之间的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”) A⊆B(或 B⊇A) 相等关系 如果事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等” A=B 事件的 和(或并) 给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) A+B(或A∪B) 事件的 积(或交) 给定事件A,B,由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) AB(或A∩B) 互斥事件 给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥 AB=⌀ (或A∩B=⌀) 对立事件 给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件 十三、概率 概率加法公式 概率乘法公式 古典概型 当A与B互斥(即AB=⌀)时,有P(A+B)=P(A)+P(B) 如果A,B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B) P(C)= 十四、向量的运算 向量运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 求两个向量差的运算 　　　  数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下: 当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反. (2)当λ=0或a=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; λa+μa=(λ+μ)a; λ(a+b)=λa+λb, 其中λ,μ∈R 十五、向量基本定理 1.共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa. 2.平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb. 十六、平面向量的坐标运算 1.平面向量的坐标运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1),|a|=, a∥b⇔x2y1=x1y2. 2.两点间的距离公式与中点坐标公式 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=||= . (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x,y),则x=. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$