5.3.5 随机事件的独立性（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

5.3.5　随机事件的独立性 基础过关练 题组一　相互独立事件的判断 1.袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,设事件A=“第一次摸到白球”,事件B=“第二次摸到白球”,事件C=“第一次摸到黑球”,则(　　) A.A与B是互斥事件 B.A与B不是相互独立事件 C.B与C是对立事件 D.A与C是相互独立事件 2.一个正八面体的八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},设A1={1,2,3,4},A2={1,2,3,5},A3={1,6,7,8},则(　　) A.A1与A2互斥 B.A1与A3相互对立 C.相互独立 D.P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) 3.(多选题)抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子,记下骰子朝上一面的点数,用x表示红色骰子的点数,y表示绿色骰子的点数,定义事件:A=“x+y=7”,B=“xy为奇数”,C=“x>3”,则下列结论正确的是(　　) A.事件A与B互斥 B.事件A与B是对立事件 C.事件B与C相互独立 D.事件A与C相互独立 题组二　相互独立事件发生的概率 4.已知事件A,B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6.若A与B互斥,令m=P(AB),若A与B相互独立,令n=P(),则m+n=(　　) A.0.18　　　　B.0.28　　　　C.0.42　　　　D.0.46 5.(多选题)下面结论正确的是(　　) A.若事件A与B是互斥事件,则A与也是互斥事件 B.若事件A与B是相互独立事件,则也是相互独立事件 C.若P(A)=0.6,P(B)=0.2,A与B相互独立,则P(A+B)=0.8 D.若P(A)=0.8,P(B)=0.7,A与B相互独立,则P(A)=0.24 6.如图所示,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　) A. 7.甲、乙两人独立地破译某个密码,甲译出密码的概率为,乙译出密码的概率为,则密码被译出的概率是(　　) A. 8.甲、乙两名同学参加一项射击游戏,每击中一次目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为(　　) A. 9.(多选题)如图所示,该电路中,五个盒子表示保险匣,设A、B、C、D、E五个盒子分别被断开为事件Mi(i=1,2,3,4,5).盒中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率,则下列结论正确的是(　　) A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为 B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为 C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为 D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为 10.在一次投篮比赛中,甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为,若每次投球三人互不影响,则在一次投球中,三人中至少有两人投篮命中的概率为　　　　.  11.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　.  12.甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发,已知甲公司研发成功的概率为,甲、乙两家公司都研发成功的概率为,乙、丙两家公司都未研发成功的概率为,各家公司是否研发成功互不影响. (1)求乙、丙两家公司各自研发成功的概率; (2)若至少有一家公司研发成功,则称作实现了“取得重大突破”的目标,如果没有实现目标,那么三家公司都进行第二轮研发,求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率. 13.本着健康、低碳的生活,租共享电动车出行的人越来越多,某共享电动车租车点的收费标准是起步价2元(20分钟及以内),超过20分钟每10分钟收费1元(不足10分钟的部分按10分钟计算).现有甲、乙、丙三人来该租车点租车(各租一车一次,且三人还车时间相互独立),设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为,20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为,三人租车时间都不会超过40分钟. (1)求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率; (2)求甲、乙、丙三人的租车费用之和为11元的概率. 能力提升练 题组　相互独立事件发生的概率 1.一个盒子里有3个分别标有1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取两次,则在两次取球中,标号的最大值是3的概率为(　　) A. 2.电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率是,整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路,则从A到B连通的概率是(　　) A. 3.投壶是我国古代的一种娱乐活动,比赛投中的得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种,其中“有初”算“两筹”,“贯耳”算“四筹”,“散射”算“五筹”,“双耳”算“六筹”,“依竿”算“十筹”,三场比赛得筹数累计最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为,投中“贯耳”的概率为,投中“散射”的概率为,投中“双耳”的概率为,投中“依竿”的概率为,未投中(0筹)的概率为.乙的投掷水平与甲相同,且甲、乙投掷相互独立.比赛第一场两人平局,第二场甲投中“有初”,乙投中“双耳”,则三场比赛结束时,甲获胜的概率为(　　) A. 4.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5,0.4,0.3,a,如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率,则a的最大值是　　　　.  5.甲、乙、丙、丁4人进行足球传球训练,每人每次随机把球传给其他人,从甲开始第一次传球,则前5次传球中,乙恰有2次传球的概率为　　　　.  6.甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛,赛程如下面的框图所示,其中编号为i的方框表示第i场比赛,方框中是进行该场比赛的两名棋手,第i场比赛的胜者称为“胜者i”,负者称为“负者i”,第6场为决赛,获胜的人是冠军,已知甲每场比赛获胜的概率均为,而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同. (1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率; (2)求甲获得冠军的概率; (3)求乙进入决赛,且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 答案与分层梯度式解析 5.3.5　随机事件的独立性 基础过关练 1.B 2.D 3.AD 4.B 5.BD 6.A 7.C 8.C 9.ACD 1.B　对于A,第一次摸到白球与第二次摸到白球可以同时发生,故事件A与B不是互斥事件,A错误;对于B,因为是不放回地摸球,所以第一次摸球对第二次摸球有影响,故事件A和事件B不是相互独立事件,B正确;对于C,事件B的对立事件是“第二次摸到黑球”,故C错误;对于D,事件A与C是对立事件,故D错误.故选B. 2.D　由题意得,P(A1)=, A1,A2有相同的样本点2,3,所以不互斥,A错误; A1,A3有相同的样本点1,所以不相互对立,B错误; ={6,7,8},则P(,因为P()≠P(),所以C错误; 因为A1A2A3={1},所以P(A1A2A3)==P(A1)P(A2)P(A3),D正确. 3.AD　对于A,事件A包含的基本事件为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), 事件B包含的基本事件为(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5), 事件A与B不能同时发生,所以事件A与B互斥,所以A正确; 对于B,由事件A与B不能同时发生,但能同时不发生,所以不是对立事件,所以B错误; 对于C,由事件C=“x>3”,得P(C)=,且P(BC)=,而P(BC)≠P(B)P(C), 所以事件B与C不相互独立,所以C错误; 对于D,P(A)=,因为P(AC)=P(A)P(C),所以事件A与C相互独立,所以D正确. 4.B　因为A,B互斥,所以m=P(AB)=0, 因为A与B相互独立,所以相互独立, 又P(A)=0.3,P(B)=0.6, 所以n=P()=(1-0.3)×(1-0.6)=0.28,所以m+n=0.28,故选B. 5.BD　若事件A,B互斥且相互对立,则A与是同一事件,显然不互斥,故A错误. 若A与B是相互独立事件,则A与,B与都是相互独立事件,故B正确; 若A与B相互独立,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8-0.12=0.68,故C错误; 若A与B相互独立,则P(A)=P(A)·(1-P(B))=0.8×(1-0.7)=0.24,故D正确.故选BD. 6.A　“左边圆盘指针落在奇数所在区域”记为事件A,则P(A)=,“右边圆盘指针落在奇数所在区域”记为事件B,则P(B)=,易知事件A,B相互独立,所以两个指针同时落在奇数所在区域的概率为P(AB)=P(A)P(B)=,故选A. 7.C　易知密码被译出的对立事件是两个人都没有译出密码,所以密码被译出的概率P=1-. 8.C　设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则P(A)=)=1-p,依题意得,解得p=,故选C. 9.ACD　由题意知,P(M1)=,所以A,B两个盒子串联后畅通的概率为,因此A正确; D,E两个盒子并联后畅通的概率为1-,因此B错误; A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为1-,因此C正确; 当开关合上时,整个电路畅通的概率为,因此D正确. 故选ACD. 10.答案　 解析　由已知得,一次投球中,三人中恰有两人投篮命中的概率P1=, 一次投球中,三人投篮均命中的概率P2=. 所以在一次投球中,三人中至少有两人投篮命中的概率P=P1+P2=. 11.答案　0.46 解析　设“同学甲答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立.同学甲得分不低于300分对应于事件(A1∩A2∩A3)∪(A1∩∩A3)∪(∩A2∩A3)发生,故所求概率P=P[(A1∩A2∩A3)∪(A1∩∩A3)∪(∩A2∩A3)]=P(A1∩A2∩A3)+P(A1∩∩A3)+P(∩A2∩A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46. 12.解析　(1)设甲、乙、丙三家公司研发成功分别为事件A,B,C,则P(A)=. ∵各家公司是否研发成功互不影响,∴事件A,B,C相互独立, ∴P(AB)=P(A)·P(B)=)·P()=[1-P(B)]·[1-P(C)]=, ∴P(B)=,故乙、丙两家公司各自研发成功的概率分别为. (2)设一轮研发能实现“取得重大突破”的目标为事件M, 由(1)可知,P(M)=1-P(, 设不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”的目标为事件N,∴P(N)=P(M)+P()·P(M)=, 所以不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率为. 13.解析　(1)由题意可得,甲、乙、丙30分钟以上且不超过40分钟还车的概率分别为, 三人都不超过20分钟还车的概率为, 三人都20分钟以上且不超过30分钟还车的概率为, 三人都30分钟以上且不超过40分钟还车的概率为. 故甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率P=. (2)由题意可得,甲、乙、丙三人的租车费用之和为11元,则三人的租车费用组合为3元,4元,4元, 甲的租车费用为3元,乙,丙的租车费用均为4元的概率为. 乙的租车费用为3元,甲、丙的租车费用均为4元的概率为. 丙的租车费用为3元,甲、乙的租车费用均为4元的概率为. 故甲、乙、丙三人的租车费用之和为11元的概率为. 能力提升练 1.C 2.B 3.C 1.C　记每次取到标号是3的球为事件A,则P(A)=,且每次取球是相互独立的. 记在两次取球中,标号的最大值是3为事件M,其对立事件是两次都没有取到标号为3的球, 则P(,则P(M)=1-P(,所以在两次取球中,标号的最大值是3的概率为. 故选C. 2.B　由题图可知,A,C之间未连通的概率是,连通的概率是1-.E,F之间连通的概率是,未连通的概率是1-,故D,B之间未连通的概率是,故D,B之间连通的概率是1-.故A,B之间连通的概率是,故选B. 3.C　要使三场比赛结束时甲获胜,则第三局比赛甲、乙对应的投中情况可能为(散射,未投中),(双耳,未投中),(依竿,未投中),(依竿,有初),(依竿,贯耳),(依竿,散射), 所以甲获胜的概率P=. 故选C. 4.答案　0.79 解析　由题意得1-(1-0.5)(1-0.4)(1-0.3)≥a,解得a≤0.79. ∴a的最大值是0.79. 5.答案　 解析　由题意得每人每次随机把球传给另外三人的概率都为, 乙恰有2次传球的情况可分为在第2次和第4次传球,在第2次和第5次传球,在第3次和第5次传球,则所求的概率为. 6.解析　(1)乙连负两场,即乙在第1场、第4场比赛中均负,所以乙连负两场的概率P1=. (2)甲获得冠军,则甲参加的比赛结果有三种情况: 1胜3胜6胜;1负4胜5胜6胜;1胜3负5胜6胜, 所以甲获得冠军的概率P2=. (3)若乙的决赛对手是甲,则两人参加的比赛结果有两种情况: 甲:1胜3胜,乙:1负4胜5胜;甲:1负4胜5胜,乙:1胜3胜, 所以甲与乙在决赛相遇的概率P3=. 若乙的决赛对手是丙,则两人只可能在第3场和第6场相遇,两人参加的比赛的结果有两种: 乙:1胜3胜,丙:2胜3负5胜;乙:1胜3负5胜,丙:2胜3胜, 因为甲每场比赛获胜的概率与其他人不同,所以需考虑甲参加比赛的结果,则乙与丙在第3场和第6场相遇的概率P4=. 若乙的决赛对手是丁,则情况和乙的决赛对手是丙时相同,其概率P5=. 所以乙进入决赛,且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$