4.4 幂函数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

4.4　幂函数 基础过关练 题组一　幂函数的概念 1.已知函数①y=,其中为幂函数的是(　　) A.①②④⑤　　　　B.③④⑥ C.①②⑥　　　　D.①②④⑤⑥ 2.已知幂函数f(x)=(k2+k-1)xα的图象过点,则k-α=　　(　　) A.或- C.-或- 题组二　幂函数的图象及其应用 3.已知幂函数y=xα在第一象限内的图象如图所示,α分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的α依次为(　　) A.2,1,,-1 B.2,-1,1, C.,1,2,-1 D.-1,1,2, 4.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过A(0,0),B(1,1),C(-1,-1),D(4,2)中的三个点,则f(3)的值可能为(　　) A. C.3　　　　D.9 5.函数y=ax与y=xa的图象如图所示,则实数a的值可能是(　　) A.　　　　D.3 题组三　幂函数的性质及其应用 6.函数f(x)=(-x2+2x+3的单调递减区间为(　　) A.[-1,1]　　　　B.(-∞,1]　　　　C.(-1,1]　　　　D.(1,3) 7.已知a=,则(　　) A.a<b<c　　　　B.c<b<a　　　　C.b<c<a　　　　D.c<a<b 8.已知幂函数①y=x-1;②y=; ③y=x3;④y=x-2.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质:a.偶函数;b.值域是{y|y∈R且y≠0};c.在(-∞,0)上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个是正确的,一个是错误的,则他研究的函数是　　　　.(填序号)  9.已知幂函数f(x)=(m2-2m+2)(k∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若f(2x-1)<f(2-x),求x的取值范围; (3)若正实数a,b满足a+b=4m,求的最小值. 能力提升练 题组一　幂函数的图象及其应用 1.已知函数y=ax-3-(a>0且a≠1)的图象恒过点P.若点P在幂函数f(x)的图象上,则幂函数f(x)的图象大致是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 2.已知点(n,8)在幂函数f(x)=(m-2)xm的图象上,则g(x)=的值域为(　　) A.[0,1]　　　　B.[-2,0]　　　　C.[-1,2]　　　　D.[-2,1] 3.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),则下列结论正确的有(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)为增函数 C.若x>1,则f(x)>1 D.若x1>x2>0,则f 4.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上. (1)求函数f(x)和g(x)的解析式; (2)定义h(x)=求函数h(x)的最大值及单调区间. 题组二　幂函数的性质及其应用 5.已知幂函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为偶函数,若函数y=f(x)-4(a-1)x在区间(2,4)上单调,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,2]　　　　B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[2,3]　　　　D.(-1,2]∪[3,+∞) 6.已知函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值(　　) A.恒大于0　　　　B.恒小于0 C.等于0　　　　D.无法判断 7.写出一个同时具有下面三个性质的幂函数:　　　　.  (1)偶函数;(2)值域是{y|y>0};(3)在(-∞,0)上是增函数. 8.已知幂函数f(x)=(2m2-2m-3)xm. (1)若f(x)的定义域为R,求f(x)的解析式; (2)若f(x)为奇函数,∃x∈[1,2],使f(x)>3x+k-1成立,求实数k的取值范围. 答案与分层梯度式解析 4.4　幂函数 基础过关练 1.C 2.B 3.A 4.BC 5.B 6.C 7.C 1.C　幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数. ①是α=-1的情形;②是α=2的情形;③不是幂函数;④是常数函数,不是幂函数;⑤中x2的系数是2,不是幂函数;⑥是α=-的情形.所以只有①②⑥是幂函数.故选C. 易错警示　幂函数的解析式y=xα中,α为常数,xα的系数为1. 2.B　由题意得k2+k-1=1,解得k=1或k=-2. 因为f(x)的图象过点,所以,解得α=.所以k-α=或k-α=-. 3.A　幂函数y=xα在区间(0,1)上的图象符合“指大图低”的规律,所以在区间(0,1)上,从上至下的曲线对应的幂函数的指数依次为-1,,1,2,所以与曲线C1,C2,C3,C4相对应的α依次为2,1,,-1.故选A. 4.BC　设f(x)=xa, 由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B. 若f(x)的图象经过A,B,C三点,由f(-1)=(-1)a=-1,得a为正奇数或分子,分母均为奇数的分数,则f(x)的解析式可能为f(x)=x,满足f(0)=0,此时f(3)=3; 若f(x)的图象经过A,B,D三点,由f(4)=4a=2,得a=,则f(x)=,满足f(0)=0,此时f(3)=; 若f(x)的图象经过B,C,D三点,由f(4)=4a=2,得a=,则f(x)=,此时点C不在f(x)的图象上,即f(x)的图象不能同时经过B,C,D三点. 故选BC. 5.B　观察题图可知,图象①对应指数函数y=ax,图象②对应幂函数y=xa, 由图象①知函数y=ax单调递减,所以0<a<1,排除D; 由图象②知函数y=xa在x<0时有意义,所以a的分母为奇数,排除A,C. 故选B. 6.C　由-x2+2x+3>0,得x2-2x-3<0,即(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3,所以f(x)的定义域为(-1,3), 令t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,则t=-x2+2x+3在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递减,又y=在(0,+∞)上单调递减, 所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,1]. 7.C　由y=(x>0)单调递增,可知c==a, 由y=x15(x>0)单调递增,b15=()15=310=(35)2=2432,可得b<c,所以b<c<a. 8.答案　④ 解析　函数y=x-1为奇函数,值域是{y|y∈R且y≠0},在(-∞,0)上是减函数,故①不符合; 函数y=为奇函数,值域为R,在(-∞,0)上是增函数,故②不符合; 函数y=x3为奇函数,值域为R,在(-∞,0)上是增函数,故③不符合; 函数y=x-2为偶函数,值域是(0,+∞),在(-∞,0)上是增函数,故④符合. 9.解析　(1)由f(x)为幂函数得m2-2m+2=1,所以m=1, 因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以5k-2k2>0,解得0<k<,又k∈Z,所以k=1或k=2. 当k=1时, f(x)=x3为奇函数,不满足题意, 当k=2时, f(x)=x2为偶函数,满足题意, 所以f(x)=x2. (2)因为函数f(x)为偶函数, 所以f(2x-1)<f(2-x)⇔f(|2x-1|)<f(|2-x|), 又f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以|2x-1|<|2-x|,即(2x-1)2<(2-x)2,解得-1<x<1, 所以x的取值范围为(-1,1). (3)因为a>0,b>0且a+b=4m=4, 所以(a+1)+(b+1)=6,即=1, 所以, 当且仅当,且a+b=4,即a=1,b=3时取等号, 所以. 能力提升练 1.A 2.D 3.BCD 5.B 6.A 1.A　令x-3=0,得x=3,∴y=a0-. 设f(x)=xα(α为常数),∵点P在幂函数f(x)的图象上,∴f(3)=3α=,解得α=-1,∴f(x)=x-1,故选A. 2.D　∵f(x)是幂函数,∴m-2=1,解得m=3, ∴f(x)=x3,将(n,8)代入,得n3=8,解得n=2, ∴g(x)=, 则解得2≤x≤3, 故函数g(x)的定义域是[2,3], 易知函数g(x)在[2,3]上单调递减,g(2)=1,g(3)=-2,故函数g(x)的值域是[-2,1], 故选D. 3.BCD　因为函数f(x)=xα的图象经过点(9,3), 所以9α=3,解得α=,则f(x)=,定义域为[0,+∞),定义域不关于原点对称,所以f(x)不是偶函数,易知f(x)为增函数,所以当x>1时, f(x)>1,作出函数f(x)的图象,如图所示: 由图象知A(x2, f(x2)),B(x1, f(x1)),C, f, 所以当x1>x2>0时, f, 故选BCD. 4.解析　(1)设f(x)=xα, 因为点(,2)在幂函数f(x)的图象上, 所以()α=2,解得α=2,即f(x)=x2. 设g(x)=xβ, 因为点在幂函数g(x)的图象上, 所以2β=,解得β=-1,即g(x)=x-1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x-1的图象,可得函数h(x)的图象如图所示(图中实线部分). 由题意及图象可知h(x)=根据函数h(x)的解析式及图象可知,函数h(x)的最大值为1,单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(-∞,0)和(1,+∞). 5.B　因为函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为幂函数,所以-2m2+m+2=1,解得m=1或m=-. 当m=1时, f(x)=x2为偶函数,符合题意; 当m=-时, f(x)=为非奇非偶函数,不符合题意.所以 f(x)=x2,所以y=x2-4(a-1)x,其图象的对称轴为直线x=2(a-1). ①若函数y=x2-4(a-1)x在(2,4)上单调递增,则2(a-1)≤2,解得a≤2; ②若函数y=x2-4(a-1)x在(2,4)上单调递减,则2(a-1)≥4,解得a≥3. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,2]∪[3,+∞). 6.A　因为函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=-2或m=3, 又因为对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 所以函数f(x)=(m2-m-5)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-6>0, 所以m=3,则f(x)=x3,显然f(x)为奇函数, 由a+b>0得a>-b,所以f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0. 7.答案　y=x-2(答案不唯一) 解析　函数y=f(x)=x-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又f(-x)=(-x)-2==x-2=f(x),所以函数f(x)是偶函数. 因为y=x-2=>0,所以函数y=x-2的值域是{y|y>0}. 易知函数y=x-2在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增, 所以y=x-2是同时具有给定三个性质的一个幂函数.(答案不唯一) 8.解析　(1)因为f(x)=(2m2-2m-3)xm是幂函数, 所以2m2-2m-3=1,解得m=2或m=-1. 当m=2时, f(x)=x2,其定义域为R,符合题意; 当m=-1时, f(x)=x-1=,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),不符合题意.所以f(x)=x2. (2)由(1)可知f(x)为奇函数时, f(x)=x-1=, ∃x∈[1,2],使f(x)>3x+k-1成立,即∃x∈[1,2],使>3x+k-1成立, 所以∃x∈[1,2],使k-1<-3x成立, 令h(x)=-3x,x∈[1,2],则k-1<h(x)max,x∈[1,2]. ∀x1,x2∈[1,2],且x1<x2,则h(x1)-h(x2)=, 因为1≤x1<x2≤2,所以x2-x1>0,>0, 所以(x2-x1)>0,即h(x1)>h(x2), 所以h(x)=-3x在[1,2]上是减函数, 所以h(x)max=h(1)=1-3=-2, 所以k-1<-2,解得k<-1, 所以实数k的取值范围是(-∞,-1). 12 学科网（北京）股份有限公司 $$