4.2.3 对数函数的性质与图象（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

4.2.3　对数函数的性质与图象 基础过关练 题组一　对数函数的概念 1.给出下列函数:①y=log5x+1;②y=logax2(a>0且a≠1); ③y=(x>0且x≠1),其中对数函数的个数为(　　) A.1　　　　B.2 C.3　　　　D.4 2.已知对数函数f(x)=(a2-3a+3)logax(a>0,且a≠1),则f的值为　　　　.  3.已知f(x)为对数函数,f=-2,则f()=　　　　.  题组二　对数(型)函数的图象 4.若0<b<1<a,则函数y=logb(x+a)的图象不经过(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 5.函数f(x)=的图象大致是(　　) A　　　　B C　　　　D 6.已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1,a,b为常数)的图象如图,则下列结论正确的是(　　) A.a>1,b<-1　　　　 B.a>1,-1<b<0 C.0<a<1,b<-1　　　　 D.0<a<1,-1<b<0 7.已知函数f(x)=loga(2x-3)+1(a>0且a≠1),其图象恒过点P,则点P的坐标为　　　　.  8.已知函数y=loga的图象经过第二、三、四象限,则实数a的取值范围为　　　　.  题组三　对数(型)函数的性质及其应用 9.设f(x)=,则函数f 的定义域为(　　) A.　　　　B.[1,+∞) C.　　　　D.[0,+∞) 10.已知a=log47,b=log930,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c　　　　B.c<a<b C.a<c<b　　　　D.c<b<a 11.已知a>0且a≠1,若函数y=loga(4-ax)在[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(1,2]　　　　D.(1,4) 12.(多选题)已知函数f(x)=ln(-x)+2,则(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)在(0,+∞)上单调递增 C.当x>0时,f(x)∈(0,2] D.f(lg 3)+f=4 13.已知f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是(　　) A.∪(1,+∞) C.　　　　D.(0,1)∪(10,+∞) 14.(多选题)已知函数f(x+1)=loga(x+2)(a>0且a≠1),则(　　) A. f(x)=logax B. f(x)的图象恒过原点 C. f(x)无最大值 D. f(x)是增函数 15.已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足当x1≠x2时,恒有 >0成立,那么实数a的取值范围为(　　) A.(1,2)　　　　B. C.(1,+∞)　　　　D. 16.设函数f(x)=lg,a∈R,若当x∈(-∞,1)时,f(x)都有意义,则实数a的取值范围为　　　　.  17.已知函数y=log(x2+ax+6)在(-∞,2)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  18.已知函数f(x)=的值域是R,则实数a的最大值是　　　　.  19.已知f(x)=lo(x2-ax+5a). (1)若a=2,求f(x)的值域; (2)若f(x)在[1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. 20.已知函数f(x)=x++b是奇函数,且f(1)=2. (1)判断函数f(x)在区间[2,4]上的单调性,并给予证明; (2)已知函数F(x)=logc(c>0且c≠1),F(x)在[2,4]上的最大值为2,求c的值. 能力提升练 题组一　对数(型)函数的图象 1.已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=与g(x)=logbx的图象可能是(　　) ABCD 2.已知函数f(x)的图象如图所示,那么该函数的解析式可能为(　　) A.f(x)= C.f(x)= 题组二　对数(型)函数的性质及其应用 3.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a),下列说法正确的是(　　) A.若f(x)的定义域为R,则-4≤a≤0 B.若f(x)的值域为R,则a≤-4或a≥0 C.若a=2,则f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) D.若f(x)在(-2,-1)上单调递减,则a≤ 4.已知函数f(x)=|log3x|,当0<n<m时,f(m)=f(n),若f(x)在[n2,m]上的最大值为2,则=(　　) A.9　　　　B.4 C.3　　　　D.2 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且∀x1,x2∈(1,+∞),当x1≠x2时都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a=f(log5),b=f(log4324),c=f(22.5),则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c　　　　B.c>a>b C.c>b>a　　　　D.b>c>a 6.若函数f(x)=log(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为　　　　.  7.已知f(x)=log2(4m·x)log2,1≤log2x≤3,m为实数. (1)当m=1时,求函数f(x)的最大值; (2)求函数f(x)的最大值g(m)的解析式. 8.已知函数f(x)=ln为奇函数. (1)求实数k的值; (2)判断并证明函数f(x)的单调性; (3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为ln,lnmβ-,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 4.2.3　对数函数的性质与图象 基础过关练 1.A 4.A 5.A 6.D 9.C 10.C 11.B 12.AD 13.A 14.BC 15.D 1.A　①中log5x后面加1,所以不是对数函数;②中真数不是自变量x,所以不是对数函数;显然③中函数是对数函数;④中log3x前的系数不是1,所以不是对数函数;⑤中底数是自变量x,而非常数,所以不是对数函数.故选A. 2.答案　-1 解析　∵函数f(x)=(a2-3a+3)logax是对数函数,∴解得a=2,∴f(x)=log2x,∴f=-1. 3.答案　 解析　设f(x)=logax(a>0且a≠1),则loga=-2,所以,所以a=,所以f(x)=x, 所以f(. 4.A　∵0<b<1,∴y=logbx在(0,+∞)上单调递减,且过第一、四象限, 将y=logbx的图象向左平移a(a>1)个单位长度,得到y=logb(x+a)的图象,故函数y=logb(x+a)的图象不经过第一象限. 5.A　函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 当x<0时,-x+1>1, f(x)==-lg(-x+1)<0; 当0<x<1时,0<-x+1<1, f(x)==lg(-x+1)<0; 当x>1时, f(x)==lg(x-1),该函数图象可以看成将函数y=lg x的图象向右平移一个单位长度得到的.故选A. 6.D　根据题图得函数f(x)=loga(x-b)为减函数,所以0<a<1. 令loga(x-b)=0,得x=1+b,因为函数图象与x轴的交点在正半轴上,所以x=1+b>0,即b>-1, 又因为函数图象与y轴有交点, 所以b<0,所以-1<b<0. 7.答案　(2,1) 解析　令2x-3=1,得x=2,则f(2)=1,所以f(x)的图象过定点(2,1),即P(2,1). 8.答案　 解析　由题意得<a<1. 9.C　依题意得0<4x-3≤1,即3<4x≤4,解得<x≤1, 所以f(x)的定义域为,所以+1≤1, 即-≤0,解得-<x≤0, 所以函数f . 易错警示　求定义域问题时,需列出满足题意的不等式(组),列不等式(组)的依据:一是分式的分母不为零;二是偶数次方根的被开方数非负;三是对数的真数为正;四是对数的底数大于0且不等于1.解题时防止因错列、漏列不等式而出错. 10.C　由题可得c==c,所以a<c<b,故选C. 11.B　因为a>0且a≠1,所以y=4-ax在[1,2]上单调递减,又y=loga(4-ax)在[1,2]上单调递减,所以a>1,又4-2a>0,所以a<2,所以1<a<2. 12.AD　因为-x=|x|-x≥0,所以f(x)的定义域为R,因此A正确. 当x>0时, f(x)=ln(+2, 令u=,则g(t)=ln t+2,显然随着x增大,u增大,t减小,从而g(t)减小, 故f(x)在(0,+∞)上单调递减,因此B错误. 由B可知f(x)<f(0)=ln 1+2=0+2=2,故当x>0时, f(x)<2,因此C错误. f(x)+f(-x)=ln(-x)·(+x)]+4=ln 1+4=0+4=4,所以f(lg 3)+f=f(lg 3)+f(-lg 3)=4,因此D正确.故选AD. 13.A　∵函数f(x)为偶函数, f(lg x)>f(1), ∴f(|lg x|)>f(1). 又函数f(x)在[0,+∞)上是减函数, ∴|lg x|<1,即-1<lg x<1,解得<x<10. 故x的取值范围是. 14.BC　因为f(x+1)=loga(x+2)=loga(x+1+1),所以f(x)=loga(x+1),A错误. 令x+1=1,得x=0,则f(0)=0,故f(x)的图象恒过原点,B正确. 当a>1时,u=x+1(x>-1)单调递增,y=logau单调递增,由复合函数的单调性可得f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上单调递增,所以f(x)无最大值; 当0<a<1时,u=x+1(x>-1)单调递增,y=logau单调递减,由复合函数的单调性可得f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上单调递减,所以f(x)无最大值, 所以C正确,D错误. 15.D　由题可知函数f(x)在R上为增函数, 则≤a<2. 16.答案　[0,+∞) 解析　f(x)=lg =lg(4x+2x+a). 由题意得4x+2x+a>0,即a>-(4x+2x)在x∈(-∞,1)上恒成立. 令t=2x,则t∈(0,2),g(t)=-t2-t=-. 易知g(t)在(0,2)上单调递减,∴g(t)∈(-6,0), ∴a≥0. 17.答案　[-5,-4] 解析　令g(x)=x2+ax+6,∴y=logg(x). ∵y=log(x2+ax+6)在(-∞,2)上单调递增, ∴g(x)在(-∞,2)上单调递减,且g(x)>0在(-∞,2)上恒成立, ∴ ∴实数a的取值范围是[-5,-4]. 18.答案　8 解析　当x<0时, f(x)=4-∈(-∞,3). 当x≥0时, f(x)单调递增, 要想f(x)的值域为R,则当x≥0时, f(x)min≤3, 即当x∈[0,+∞)时, f(0)≤3,即log2a≤3,解得0<a≤8,故实数a的最大值为8. 19.解析　(1)若a=2,则f(x)=lo(x2-2x+10), 因为x2-2x+10=(x-1)2+9≥9>0,当且仅当x=1时,等号成立, 所以f(x)的定义域为R,且y=lox在定义域内单调递减,所以f(x)≤lo9=-2, 所以f(x)的值域为(-∞,-2]. (2)因为y=lox在定义域内单调递减, 所以y=x2-ax+5a在[1,+∞)上单调递增,且x2-ax+5a>0在[1,+∞)上恒成立, 所以解得-<a≤2, 所以a的取值范围为. 20.解析　(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∵f(1)=1+a+b=2,∴f(-1)=-1-a+b=-2, ∴a=1,b=0. 经检验,a=1,b=0满足题意,∴f(x)=x+. 函数f(x)在区间[2,4]上是增函数.证明如下: 任取x1,x2∈[2,4]且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1x2-1). ∵x1,x2∈[2,4],x1<x2, ∴x1x2>4,x1x2-1>0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴函数f(x)在区间[2,4]上是增函数. (2)当x∈[2,4]时, f(x)∈, ∴f(x)-. 若0<c<1,则y=logcx单调递减,当f(x)-时, F(x)有最大值logc; 若c>1,则y=logcx单调递增,当f(x)-=2时,F(x)有最大值logc2=2, ∴c=. 综上,c=或c=. 能力提升练 1.B 2.C 3.BD 4.A 5.B 1.B　因为log2a+log2b=0,所以log2(ab)=0,所以ab=1,则a>1,0<b<1,或b>1,0<a<1. 当a>1,0<b<1时,函数f(x)=与g(x)=logbx均为减函数,四个选项均不满足; 当b>1,0<a<1时,函数f(x)=与g(x)=logbx均为增函数,结合选项可知两函数在同一坐标系中的图象可能是B. 2.C　由题图可知,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),图象关于原点对称,函数f(x)是奇函数,当x>1时, f(x)>0. f(x)=的定义域为(0,+∞),故排除A; 若 f(x)=则当x>1时, f(x)<0,故排除B; 若f(x)=则当x趋向于0+时, f(x)=趋向于-1,当x趋向于0-时, f(x)=(x+1)·ex趋向于1,故排除D.故选C. 3.BD　对于A,若f(x)的定义域为R,则x2+ax-a>0在R上恒成立,所以Δ=a2+4a<0,所以-4<a<0,所以A错误; 对于B,若f(x)的值域为R,则y=x2+ax-a能取到大于0的所有实数,则a2+4a≥0,所以a≥0或a≤-4,所以B正确; 对于C,若a=2,则f(x)=lg(x2+2x-2),易得函数的定义域为(-∞,-1-)∪(-1+,+∞),设u=x2+2x-2,v=lg u,由复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递减区间即为函数u=x2+2x-2(u>0)的单调递减区间,为(-∞,-1-),所以C错误; 对于D,若f(x)在(-2,-1)上单调递减,则(-1)2+a×(-1)-a≥0且-≥-1,所以a≤,所以D正确. 4.A　作出f(x)的图象,如图所示. 由0<n<m, f(m)=f(n),得 0<n<1<m,-log3n=log3m,即log3n+log3m=log3(mn)=0,所以mn=1. 易知n2-n=n(n-1)<0,所以 0<n2<n<1,所以f(n2)>f(n)=f(m), 所以f(x)在[n2,m]上的最大值为 f(n2)=|log3n2|=|2log3n|=-2log3n=2,所以log3n=-1,解得n=,所以 m==3,所以=9. 5.B　因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 又因为∀x1,x2∈(1,+∞),当x1≠x2时都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.由f(x)=f(2-x),得f(log5)=f(2+log25). 因为log24<log25<log28,所以2<log25<3,所以4<2+log25<5. log4324=lo182=log218=1+log29,因为log28<log29<log216,所以3<log29<4,所以4<1+log29<5,所以4<log4324<5. 因为2+log25=log24+log25=log220,log4324=log218,所以4<log4324<2+log25<5. 因为22.5=,所以5<22.5<6,所以4<log4324<2+log25<5<22.5<6. 又函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(log4324)<f(2+log25)<f(22.5),所以b<a<c. 6.答案　 解析　根据对数函数的概念得-x2+4x+5>0,解得-1<x<5. 易知二次函数y=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为直线x=-=2, 由复合函数的单调性得函数f(x)=log(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5). 要使函数f(x)=log(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增, 只需≤m<2, 故实数m的取值范围是. 7.解析　(1)∵1≤log2x≤3, ∴当m=1时, f(x)=(2+log2x)(2-log2x)=4-(log2x)2≤3,当log2x=1时,取等号, 故函数f(x)的最大值是3. (2)f(x)=(2m+log2x)(2-log2x), 令log2x=s,s∈[1,3], 则h(s)=(2m+s)(2-s)=-s2+(2-2m)s+4m=-[s-(1-m)]2+m2+2m+1, 当1-m≤1,即m≥0时,h(s)在[1,3]上单调递减,故h(s)max=h(1)=2m+1; 当1<1-m<3,即-2<m<0时,h(s)在[1,1-m]上单调递增,在[1-m,3]上单调递减,故h(s)max=h(1-m)=m2+2m+1; 当1-m≥3,即m≤-2时,h(s)在[1,3]上单调递增,故h(s)max=h(3)=-2m-3. 综上,g(m)= 8.解析　(1)因为函数f(x)=ln为奇函数, 所以f(x)+f(-x)=0, 即ln=0对定义域内任意x均成立,所以k2=1,即k=±1, 显然k≠-1,所以k=1. 经验证,k=1符合题意. (2)函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函数. 证明:由(1)知f(x)=ln ,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=ln -ln =ln , 因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)<0,且(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)(x2+1)>0, 所以0<<1, 所以f(x1)-f(x2)=ln <0, 即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上为增函数. 同理可得, f(x)在(-∞,-1)上也为增函数. 所以函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函数. (3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上为增函数, 因为函数f(x)在[α,β]上的值域为 , 所以m>0,且 所以 即α,β是方程的两个不等实根, 问题等价于方程mx2-=0在(1,+∞)上有两个不等实根,其中m>0, 令h(x)=mx2-,x∈(1,+∞), 则 即故0<m<. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$