4.1.2 指数函数的性质与图象（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

4.1.2　指数函数的性质与图象 基础过关练 题组一　指数函数的概念 1.下列函数是指数函数的是(　　) A.y=x2　　　　B.y=32x+1 C.y=3×4x　　　　D.y=9x 2.若函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则(　　) A.a=1或a=2　　　　B.a=1 C.a=2　　　　D.a>0且a≠1 题组二　指数(型)函数的图象 3.已知函数y=的图象与指数函数y=ax的图象关于y轴对称,则实数a的值是(　　) A.1　　　　B.2 C.4　　　　D.8 4.已知函数f(x)=ax-1-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m+xn的图象不经过(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 5.要得到函数y=的图象,只需将函数y=41-x的图象(　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 6.函数f(x)=2x+3-x的图象可能为(　　) A B C D 7.已知函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的大致图象如图所示,则下列不等式一定成立的是(　　) A.b+d>a+c　　　　B.b+d<a+c C.a+d>b+c　　　　D.a+d<b+c 8.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)=(x>0),函数f(x)的图象经过点(2,16). (1)写出函数f(x)的解析式; (2)在同一坐标系中用描点法作出函数f(x),g(x)的图象,并求出当f(x)<g(16)时,自变量x的取值范围; (3)当x>0时,用N(x)表示f(x),g(x)中的最小者,记N(x)=min{f(x),g(x)}(例如,min{3,9}=3),求函数N(x)的值域. 题组三　指数(型)函数的性质及其应用 9.函数y=的定义域是(　　) A.[-2,+∞)　　　　B.[-1,+∞) C.(-∞,-1]　　　　D.(-∞,-2] 10.已知a=0.3-0.3,b=0.3-0.2,c=2-0.01,则(　　) A.c<b<a　　　　B.c<a<b　　　　C.b<a<c　　　　D.a<c<b 11.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　C.[0,1]　　　　D.(0,1] 12.(多选题)已知函数f(x)=3-|x|-3|x|,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的图象关于原点对称　　　　 B.f(x)的最大值为0 C.f(x)在(0,+∞)上单调递减　　　　 D.f(-3)>f(2) 13.(多选题)已知函数f(x)=,则(　　) A.f(x)在[2,+∞)上单调递增 B.f(x)的值域为(0,+∞) C.不等式f(x)<256的解集为(-1,5) D.若g(x)=2-ax·f(x)在(-∞,1]上单调递减,则实数a的取值范围为[-2,+∞) 14.若函数f(x)的值域为(0,1],且满足f(x)=f(-x),则f(x)的解析式可以是f(x)=　　　　.  15.已知函数f(x)=a2x+ax+1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为13,则实数a的值为　　　　.  16.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=1-2x. (1)求x<0时, f(x)的解析式; (2)求不等式f(x)<1的解集. 17.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a的值,判断f(x)的单调性并用定义证明; (2)若存在t∈[1,2],使得f(t2-2t)+f(2t2-k)>0成立,求实数k的取值范围. 题组四　指数(型)函数的实际应用 18.据统计,第y年到滨河国家湿地公园越冬的白鹤只数x近似满足y=3ax-2,观测发现第1年有越冬白鹤300只,则估计第7年有越冬白鹤(　　) A.700只　　　　B.600只　　　　C.500只　　　　D.400只 19.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,我国规定:100 mL血液中酒精含量达到20~80 mg(包括20 mg,但不包括80 mg)的驾驶员即为饮酒驾车,80 mg及以上的人即为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL,如果停止饮酒后,他血液中酒精含量会以每小时25%的速度减少,那么他要想驾车,至少需要经过的小时数为(　　) A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3 能力提升练 题组一　指数(型)函数的图象 1.“a>1”是“函数f(x)=ax-a(a>0且a≠1)的图象经过第三象限”的(　　) A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件 2.如图所示,函数y=|2x-2|的图象是(　　) A B C D 3.函数f(x)=的图象大致是(　　) A 　B　 C 　D 题组二　指数(型)函数的性质及其应用 4.已知定义在R上的偶函数f(x)对任意x1,x2∈ (-∞,0)(x1≠x2)都有>0,若a=20.3,b=,c=3-0.5,则(　　) A.f(-a)>f(b)>f(c)　　　　B.f(c)>f(-b)>f(a) C.f(b)>f(a)>f(-c)　　　　D.f(c)>f(-a)>f(-b) 5.已知函数f(x)=a·4x-(a-2)2x+1在(-2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为(　　) A.[0,4]　　　　B.(0,4] C.[2,+∞)　　　　D.{0}∪[2,+∞) 6.(多选题)高斯是德国著名的数学家,是近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为y=[x],[x]表示不超过x的最大整数.例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=,g(x)=[f(x)],则下列说法正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在R上是增函数 C.g(x)是偶函数 D.g(x)的值域是{-1,0} 7.(多选题)已知函数f(x)=a+b(a,b∈R),则下列结论正确的有　　(　　) A.存在实数a,b,使得函数f(x)为奇函数 B.若函数f(x)的图象经过原点,且无限接近于直线y=2,则b=2 C.若函数f(x)在区间[0,π]上单调递减,则a>0 D.当a∈[-1,1]时,若∀x∈[-1,1],函数f(x)≤1恒成立,则b的取值范围为 (-∞,1) 8.已知函数f(x)=a·4x-a·2x+1+1-b(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1. (1)求a,b的值; (2)若不等式f(x)-k·4x≥0在[-1,1]上有解,求实数k的取值范围. 答案与分层梯度式解析 4.1.2　指数函数的性质与图象 基础过关练 1.D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A 7.B 9.C 10.A 11.D 12.BC 13.ACD 18.B 19.C 1.D 2.C　由题意得解得a=2. 3.C　由题意得与a互为倒数,即=1,解得a=4. 4.D　∵a0=1,∴f(x)=ax-1-2的图象恒过定点(1,-1),∴m=1,n=-1,∴g(x)=1+,其图象不经过第四象限. 5.A　因为y==(2-2)x=4-x=41-(x+1), 所以只需将函数y=41-x的图象向左平移1个单位长度,即可得到函数y=的图象. 6.A　f(0)=20+30=2, f(1)=2+>2=f(0),故排除D; f(-2)=2-2+32=, f(-1)=2-1+3==f(-2),故排除C; f=4, 所以<2,即f<f(0),故排除B.故选A. 7.B　如图,作出直线x=1,其与各函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b, 故c>d>a>b,所以b+d<a+c.故选B. 8.解析　(1)∵f(x)的图象经过点(2,16), ∴f(2)=a2=16,解得a=±4,又a>0,∴a=4, ∴f(x)=4x,x∈R. (2)列表: x - 0 1 f(x) 1 2 4 x 1 2 g(x) 3 2 1 描点作图: 令f(x)<g(16),得4x<,即4x<4-2, 又y=4x在区间(-∞,+∞)上单调递增, ∴x<-2,故x的取值范围是(-∞,-2). (3)由(2)及题意可得N(x)的图象如下: 由图可知,N(x)的值域为(0,2]. 9.C　由题意得-125≥0,即,所以2x-1≤-3,解得x≤-1,故所求函数的定义域为(-∞,-1]. 10.A　因为y=0.3x在R上单调递减,且-0.3<-0.2<0,所以0.3-0.3>0.3-0.2>0.30=1,即a>b>1. 因为y=2x在R上单调递增,且-0.01<0, 所以c=2-0.01<20=1,所以c<b<a. 11.D　由f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在区间[1,2]上单调递减,得a≤1;由g(x)=(a+1在区间[1,2]上单调递减,得0<<1,因此a+1>1,解得a>0.因此实数a的取值范围是(0,1],故选D. 12.BC　f(x)=3-|x|-3|x|的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=3-|-x|-3|-x|=3-|x|-3|x|=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,A错误; f(x)=3-|x|-3|x|=-3|x|,当x>0时, f(x)=-3x,由y=,y=-3x在(0,+∞)上单调递减可得f(x)在(0,+∞)上单调递减,C正确; f(-3)=f(3)<f(2),D错误; 因为f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以当x<0时, f(x)单调递增, 所以f(x)的最大值为f(0)=0,B正确. 故选BC. 13.ACD　函数y=x2-4x+3=(x-2)2-1在[2,+∞)上单调递增,在R上的值域为[-1,+∞),而函数y=2x在R上单调递增,所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递增, f(x)≥2-1=,A正确,B错误; 不等式f(x)<256⇔<28⇔x2-4x+3<8⇔x2-4x-5<0,解得-1<x<5,C正确; 函数g(x)=,显然y=x2-(a+4)x+3在上单调递减, 而函数y=2x在R上单调递增,则函数g(x)在上单调递减, 因此(-∞,1]⊆,即≥1,解得a≥-2,即实数a的取值范围为[-2,+∞),D正确. 14.答案　(答案不唯一) 解析　由题意可知,函数的值域为(0,1],且函数为偶函数,满足条件的函数可以是f(x)=.(答案不唯一) 15.答案　3或 解析　f(x)=a2x+ax+1,令ax=t,则t>0, 则y=t2+t+1=,该二次函数在(0,+∞)上单调递增. ①若a>1,则f(x)在[-1,1]上单调递增,故f(x)max=f(1)=a2+a+1=13,解得a=3或a=-4(舍去); ②若0<a<1,则f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)max=f(-1)=+1=13,解得a=或a=-(舍去). 综上可得a=3或a=. 16.解析　(1)当x>0时, f(x)=1-2x; 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=1-2-x, 又f(x)是R上的奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-(1-2-x)=2-x-1, ∴x<0时, f(x)=2-x-1. (2)当x>0时,不等式f(x)<1可化为1-2x<1,∴2x>0,显然成立; 当x=0时,由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,0<1,成立; 当x<0时,不等式f(x)<1可化为2-x-1<1,∴2-x<2,解得x>-1,∴-1<x<0. 综上可知,不等式f(x)<1的解集为(-1,+∞). 17.解析　(1)由题意,得f(0)==0,所以a=-1, 当a=-1时, f(x)=-1, 则f(-x)==-f(x),则f(x)为奇函数,满足题意,故a=-1. 函数f(x)=在定义域R上单调递减,证明如下: 任取x1,x2∈R且x1<x2, f(x1)-f(x2)=>0, 因为>0,所以f(x1)>f(x2), 故函数f(x)=在定义域R上单调递减. (2)由f(t2-2t)+f(2t2-k)>0,得f(t2-2t)>-f(2t2-k). 因为f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)>f(k-2t2), 由(1)知f(x)在R上为减函数,所以t2-2t<k-2t2, 即存在t∈[1,2],使得k>3t2-2t成立, 令g(t)=3t2-2t,其图象开口向上,对称轴为直线t=,所以g(t)在[1,2]上单调递增, 故k>g(1)=3-2=1, 所以k的取值范围为(1,+∞). 18.B　由题意知,当y=1时,x=300,所以1=3300a-2,解得a=,故y=-2.当y=7时,7=-2,解得x=600. 19.C　设他需要经过x小时才能驾车, 则60(1-25%)x<20,即. 当x=3时,; 当x=4时,. 所以他至少需要经过4小时才能驾车,故选C. 能力提升练 1.C 2.B 3.C 4.D 5.A 6.BD 7.ABC 1.C　当a>1时, f(0)=1-a<0,再结合指数函数y=ax(a>1)的图象特征可知f(x)的图象经过第一、三、四象限,所以充分性成立; 对于函数f(x)=ax-a(a>0且a≠1),当0<a<1时, f(0)=1-a>0且f(x)单调递减,此时f(x)的图象不经过第三象限,当a>1时, f(0)=1-a<0且f(x)单调递增,此时f(x)的图象经过第三象限,所以必要性成立. 综上所述,“a>1”是“函数f(x)=ax-a(a>0且a≠1)的图象经过第三象限”的充要条件. 2.B　∵y=|2x-2|=∴当x=1时,y=0, 当x>1时,函数y=2x-2单调递增,且y>0, 当x<1时,函数y=2-2x单调递减,且y>0. 故选B. 3.C　易得函数f(x)的定义域为xx≠±,关于原点对称,且f(-x)==-f(x), 所以函数f(x)=为奇函数,其图象关于原点对称,故排除B; 因为当x>0时,ex>1>e-x>0,所以当0<x<时, f(x)=<0,当x>时, f(x)=>0,故排除D; 当x趋近于+∞时, f(x)也趋近于+∞,故排除A. 故选C. 4.D　由题意可知,当x1<x2<0时,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. a=20.3>20=1,b==20.5>20.3=a,0<c=3-0.5<30=1,所以b>a>c>0,所以f(b)<f(a)<f(c), 由函数f(x)是偶函数,可得f(c)>f(-a)>f(-b). 5.A　令t=2x,则y=at2-(a-2)t+1,当x∈(-2,+∞)时,t=2x单调递增,且t>. 当a=0时,y=at2-(a-2)t+1=2t+1,该函数单调递增,则函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增,符合题意; 当a>0时,y=at2-(a-2)t+1的图象开口向上,对称轴为直线t=,由题意得,所以0<a≤4; 当a<0时,y=at2-(a-2)t+1的图象开口向下,对称轴为直线t=, 该函数在上单调递减,不符合题意. 综上,a的取值范围为[0,4]. 6.BD　对于A,易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为函数f(x)=,所以f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,故A错误; 对于B,因为y=ex为增函数,所以y=为减函数,y=-为增函数,所以f(x)=为增函数,故B正确; 对于C,因为g(1)=[f(1)]==-1,所以g(1)≠g(-1), 所以g(x)不是偶函数,故C错误; 对于D,因为1+ex>1,所以-,所以g(x)=[f(x)]的值域为{-1,0},故D正确. 7.ABC　在A中,当a=b=0时, f(x)=0(x∈R),此时f(x)为奇函数,故A正确. 在B中,易知y=为偶函数,在区间[0,+∞)上单调递减,图象过点(0,1),且无限接近于x轴,若函数f(x)=a+b的图象经过原点,且无限接近于直线y=2,则a=-2,b=2,故B正确. 在C中,若函数f(x)=a+b在区间[0,π]上单调递减,则a>0,故C正确. 在D中,当a∈(0,1]时,∀x∈[-1,1],有+b≤f(x)≤a+b,若f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,则a+b≤1,即b≤1-a,而0≤1-a<1,故b≤0; 当a=0时, f(x)=b,若∀x∈[-1,1], f(x)≤1恒成立,则b≤1; 当a∈[-1,0)时,∀x∈[-1,1],有a+b≤f(x)≤+b,若f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,则+b≤1,即b≤1-,而1<1-,故b≤1. 综上,b的取值范围为(-∞,0],故D不正确. 故选ABC. 8.解析　(1)令t=2x,x∈[1,2],则t∈[2,4],原函数可转化为g(t)=at2-2at+1-b. ∵a>0,∴g(t)在[2,4]上单调递增. ∵t=2x在[1,2]上单调递增, ∴f(x)在[1,2]上单调递增, ∴ (2)由(1)知f(x)=4x-2·2x+1, ∴f(x)-k·4x=4x-2·2x+1-k·4x. 令m=2x,由x∈[-1,1],得m∈, 则m2-2m+1-k·m2≥0在上有解, 即k≤1-上有解. 令h(m)=1-,m∈, 则h(m)max=h=1,∴k≤1, 故实数k的取值范围为(-∞,1]. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$